南京市玄武区2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)

南京市玄武区2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．2的相反数是

A．－2 B．－12 C．12 D．2

2．9等于

A．－3 B．3 C．±3 D．3

3．南京青奥会期间约有2023000人次参与了青奥文化教育活动．将数据2023000用科学记数法表示为

A．10.2×105B．1.02×105 C．1.02×106 D．1.02×107

4．如图，∠1＝50°，如果AB∥DE，那么∠D＝

A．40° B．50° C． 130° D．140°

5．不等式组x＞－1，2x－3≤1．的解集在数轴上表示正确的是

A． B． C． D．

6．如图，水平线l1∥l2，铅垂线l3∥l4，l1⊥l3，若选择l1、l2其中一条当成x轴，且向右为正方向，再选择l3、l4其中一条当成y轴，且向上为正方向，并在此平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2－ax－a的图象，则下列关于x、y轴的叙述，正确的是

A．l1为x轴，l 3为y轴 B．l1为x轴，l4为y轴

C．l2为x轴，l 3为y轴 D．l2为x轴，l4为y轴

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

7．使式子x＋1有意义的x的取值范围是 ▲ ．

8．一组数据：1，4，2，5，3的中位数是 ▲．

9．分解因式：2x2－4x＋2＝ ▲ ．

10．计算：sin45°＋12－38＝ ▲ ．

11．小明与家人和同学一起到游泳池游泳，买了2张成人票与3张学生票，共付了155元．已知成人票的单价比学生票的单价贵15元，设学生票的单价为x元，可得方程▲．

12．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为 ▲ ．

13．如图，ON⊥OM，等腰直角三角形ACB中，∠ACB＝90°，边AC在OM上，将△ACB绕点A逆时针旋转75°，使得点B的对应点E恰好落在ON上，则OAEA＝ ▲ ．

14．如图，∠ACB＝90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使3CE＝CD，过点B作BF∥DE， 与AE的延长线交于点F．若AB＝6，则BF的长为 ▲ ．

15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC、BO，已知∠CAB＝36°，∠ABO＝30°，则∠D＝ ▲ °．

16．函数y1＝k1x＋b的图象与函数y2＝ k2 x的图象交于点A（2，1）、B（n，2），则不等式－ k2 x＜－k1x＋b的解集为 ▲ ．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（6分）解方程组：x＋y＝－3，2x－y＝6．

18．（7分）先化简，再求值：a－2a＋3÷a2－42a＋6－5a＋2，其中a＝1．

19．（7分）如图，矩形花圃ABCD一面靠墙，另外三面用总长度是24 m的篱笆围成．当矩形花圃的面积是40 m2时，求BC的长．

20．（8分）在一个不透明的口袋里装有四个球，这四个球上分别标记数字－3、－1、0、2，除数字不同外，这四个球没有任何区别．

（1）从中任取一球，求该球上标记的数字为正数的概率；

（2）从中任取两球，将两球上标记的数字分别记为x、y，求点（x，y）位于第二象限的概率．

21．（7分）为了解南京市民每天的阅读时间情况，随机抽取了部分市民进行调查，根据调查结果绘制如下尚不完整的频数分布表：

阅读时间

x（min） 0≤x＜30 30≤x＜60 60≤x＜90 x≥90 合计

频数 450 400 ②50④

频率 ①0.4 0.1 ③1

（1）补全表格中①~④的数据；

（2）将每天阅读时间不低于60 min的市民称为“阅读爱好者”，若我市约有800万人，请估计我市能称为“阅读爱好者”的市民约有多少万人？

22．（9分）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连接BE、DF，DF交对角线AC于点G，且DE＝DG．

（1）求证：AE＝CG；

（2）试判断BE和DF的位置关系，并说明理由.

23．（8分）游泳池完成换水需要经过“排水—清洗—注水”三个过程．如图，图中折线表示的是游泳池在换水过程中池中的水量y（m3）与时间t（min）之间的关系．

（1）求注水过程中y与t的函数关系式；

（2）求清洗所用的时间．

24．（8分）在海上某固定观测点O处的北偏西60°方向，且距离O处40海里的A处，有一艘货轮正沿着正东方向匀速航行，2小时后，此货轮到达O处的北偏东45°方向的B处．在该货轮从A处到B处的航行过程中．

（1）求货轮离观测点O处的最短距离；

（2）求货轮的航速．

25．（9分）如图，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD的延长线交于点A，OE∥BD，交BC于点F，交AE于点E.

（1）求证：∠E＝∠BCO；

（2）若⊙O的半径为3，cosA＝45，求EF的长．

26．（9分）已知二次函数y＝x2—2x＋c（c为常数）．

（1）若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，求c的取值范围；

（2）已知该二次函数的图象与x轴交于点A（－1，0）和点B，与y轴交于点C，顶点为D，若存在点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，求m的值．

27．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝12 cm，半径为4 cm的⊙O与AB、AC两边都相切，与BC交于点D、E．点P从点A出发，沿着边AB向终点B运动，点Q从点B出发，沿着边BC向终点C运动，点R从点C出发，沿着边CA向终点A运动．已知点P、Q、R同时出发，运动速度分别是1 cm/s、x cm/s、1.5 cm/s，运动时间为t s.

（1）求证：BD＝CE；

（2）若x＝3，当△PBQ∽△QCR时，求t的值；

（3）设△PBQ关于直线PQ对称的图形是△PB'Q，求当t和x分别为何值时，点B'与圆心O恰好重合．

南京市玄武区2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)参考答案及评分标准

说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

题号 1 2 3 4 5 6

答案 A B C C D A

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．x≥－1； 8．3 9．2(x－1)210．2－211．3x＋2(x＋15)＝155

12．24 13．12 14．815．96 16．x＞0，－2＜x＜－1

三、解答题（本大题共11小题，共88分）

17．（本题6分）

解：x＋y＝－3，①2x－y＝6．②

①＋②，得 3x＝3，解得 x＝1．

将x＝1代入①，得 1＋y＝－3，解得 y＝－4．

所以原方程组的解为x＝1，y＝－4． 6分

18．（本题7分）

解：a－2a＋3÷a2－42a＋6－5a＋2

＝a－2a＋3÷(a＋2)(a－2)2(a＋3)－5a＋2

＝a－2a＋3?2(a＋3)(a＋2)(a－2)－5a＋2

＝2(a－2)(a＋3)(a＋3)(a＋2)(a－2)－5a＋2

＝2a＋2－5a＋2

＝－3a＋2．

当a＝1时，原式＝－1． 7分

19．（本题7分）

解：设BC的长度为x m．

由题意得 x?24－x2＝40．

解得 x1＝4，x2＝20．

答：BC长为4 m或20 m． 7分

20．（本题8分）

解：（1）正数为2，该球上标记的数字为正数的概率为14． 3分

（2）点（x，y）所有可能出现的结果有：

（－3，－1）、（－3，0）、（－3，2）、（－1，0）、（－1，2）、（0，2）、

（－1，－3）、（0，－3）、（2，－3）、（0，－1）、（2，－1）、（2，0）．

共有12种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，

满足“点（x，y）位于第二象限”（记为事件A）的结果有2种，所以P(A)＝16． 8分

21．（本题7分）

解：（1）①0.45；②100；③0.05；④2023； 4分

（2）800×(0.1＋0.05)＝120（万人）

答：我市能称为“阅读爱好者”的市民约有120万人． 7分

22．（本题9分）

解：（1）证明：在正方形ABCD中，

∵AD＝CD，

∴∠DAE＝∠DCG，

∵DE＝DG， ∴∠DEG＝∠DGE，

∴∠AED＝∠CGD．

在△AED和△CGD中，

∵∠DAE＝∠DCG，∠AED＝∠CGD，DE＝DG，

∴△AED≌△CGD，

∴AE＝CG． 4分

（2）解法一：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠DCG．

又∵AE＝CG，

∴△AEB≌△CGD，

∴∠AEB＝∠CGD．

∵∠CGD＝∠EGF，

∴∠AEB＝∠EGF，

∴ BE∥DF． 9分

解法二：BE∥DF，理由如下：

在正方形ABCD中，

∵AD∥FC，

∴CGAG＝CFAD．

∵CG＝AE,

∴AG＝CE．

又∵在正方形ABCD中，AD＝CB，

∴CGCE＝CFCB．

又∵∠GCF＝∠ECB，

∴△CGF∽△CEB，

∴∠CGF＝∠CEB，

∴ BE∥DF． 9分

23．（本题8分）

解：（1）设注水过程中y与t之间的函数关系式为y＝kt＋b．

根据题意，当t＝95时，y＝0；当t＝195时，y＝2023．

所以0＝95k＋b，2023＝195k＋b．解得k＝10，b＝－950．

所以，y与t之间的函数关系式为y＝10t－950． 4分

（2）由图象可知，排水速度为2023－202325＝20 m3/min．

则排水需要的时间为202320＝75 min．

清洗所用的时间为95－75＝20 min． 8分

24．（本题8分）

解：（1）如图，作OH⊥AB，垂足为H．

在Rt△AOH中，∵cos∠AOH＝OHAO．∴OH＝cos60°?AO＝20．

即货轮离观测点O处的最短距离为20海里． 4分

（2）在Rt△AOH中，∵sin∠AOH＝AHAO，∴AH＝sin60°?AO＝203，

在Rt△BOH中，∵∠B＝∠HOB＝45°，∴HB＝HO＝20．

∴AB＝203＋20，

∴货轮的航速为203＋202＝103＋10（海里/小时）． 8分

25．（本题9分）

（1）证明：连接BO．

∵OE∥BD，

∴∠E＝∠ABD．

∵AE与⊙O相切于点B，∴OB⊥AE．

∴∠ABD＋∠OBD＝90°．

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CBO＋∠OBD＝90°．

∴∠ABD＝∠CBO．

∵OB＝OC，

∴∠CBO＝∠BCO．

∴∠E＝∠BCO． 4分

（2）解：在Rt△ABO中，cosA＝ABAO＝45，可设AB＝4k，AO＝5k，

BO＝(5k)2－(4k)2＝3k．

∵⊙O的半径为3，∴3k＝3，∴k＝1．

∴AB＝4，AO＝5．

∴AD＝AO－OD＝5－3＝2．

∵BD∥EO，

∴ABAE＝ADAO＝25，∴AE＝10．

∴EB＝AE－AB＝6．

在Rt△EBO中，EO＝EB2＋OB2＝35．

∵OE∥BD，

∴∠EFB＝∠DBF＝90°．

∵∠FEB＝∠BEO，∠EFB＝∠EBO，

∴△EFB∽△EBO．

∴EFEB＝EBEO，即EF6＝635．

∴EF＝2023． 9分

26．（本题9分）

解：（1）由题意可得，该二次函数与x轴有两个不同的交点，

也就是当y＝0时，方程x2—2x＋c＝0有两个不相等的实数根，

即b2－4ac＞0，所以4－4c＞0，c＜1．

又因为该二次函数与两个坐标轴有三个不同的交点，所以c≠0．

综上，若该二次函数的图象与两坐标轴有三个不同的交点，

c的取值范围为c＜1且c≠0． 4分

（2）因为点A（－1，0）在该二次函数图象上，可得0＝(－1)2－2×(－1)＋c，c＝－3．

所以该二次函数的关系式为y＝x2—2x－3，可得C（0，－3）．

由x＝－b2a＝1，可得B（3，0），D（1，－4）．

若点P（m，0）（m＞3）使得△CDP与△BDP面积相等，

可得点C、B到DP的距离相等，此时，CB∥DP．

设过点C、B的直线的函数关系式为y＝kx＋b，即0＝3k＋b，－3＝0k＋b．解得k＝1，b＝－3．

设过点D、P的直线的函数关系式为y＝x＋n，即－4＝1＋n．解得n＝－5．

即y＝x－5，当y＝0时，x＝5，即m＝5． 9分

27．（本题10分）

（1）证明：连接AO并延长交BC于点H．连接OE、OD．

∵⊙O与AB、AC两边都相切，

∴点O到AB、AC两边的距离相等．

∴AH是∠CAB的平分线．

∵AB＝AC，

∴AH⊥BC，AH平分BC．

∵OE＝OD，OH⊥ED，

∴OH平分ED．

∵CE＝CH－EH，BD＝BH－DH，

且CH＝BH，EH＝DH，

∴ BD＝CE． 3分

（2）解：在Rt△ABC中，BC＝122＋122＝122．

∵△PBQ∽△QCR，∴BPCQ＝BQCR，即12－t122－3t＝3t1.5t．解得t＝242－125． 6分

（3）解：设⊙O与AB相切于点M，连接OM、OB、OP、OQ，H参考（1）中作法．

∵点O与点B关于PQ对称，

∴PQ垂直平分BO．

∴OP＝BP，OQ＝BQ．

∵⊙O与AB相切于点M，∴OM⊥AB．

设BP＝a，在Rt△OMP中，(12－4－a)2＋42＝a2，解得a＝5；

设BQ＝b，在Rt△OHB中，(62－b)2＋(22)2＝b2，解得b＝2023．

t＝12－51＝7 s． x＝20237＝20231 cm． 10分