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南京市江宁区2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析) 一、选择题：（每小题2分，共12分） 1．下列手机软件图标中，是中心对称图形的是（ ▲ ） 2．下列事件是必然事件的是（ ▲ ） A．某射击运动员射击一次，命中靶心 B．单项式加上单项式，和为多项式 C．打开电视机，正在播广告 D．13名同学中至少有两名同学的出生月份相同 3．函数 ，自变量x的取值范围是（ ▲ ） A. x＞2B. x＜2C. x 2 D. x 2 4．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式中正确的是（ ▲ ） A． -a＞b B．－a＜b C．－a＞－bD．a＞－b 5．如图，以原点为圆心的圆与反比例函数 的图像交于A、B、C、D四点，已知点A的横坐标为1，则点C的横坐标（▲） A． ﹣4 B． ﹣3 C． ﹣2 D． ﹣1 6．若关于 的一元二次方程 有两个不同的实数根 ，方程 有两个不同的实数根 ，则 的大小关系为（ ▲ ） A． B．C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7．写出大于-2的一个负数：▲． 8．计算 结果是▲ ． 9．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=35°，那么∠2= ▲°． 10．正比例函数 的图像经过点(－2，1)、(1，y1)、(2，y2)，则y1 ▲ y2（填“＜”或“＞”）． 11.二次函数 的图像顶点坐标是 ▲ ． 12. 已知棱柱的侧棱长为6，俯视图是边长为4的等边三角形，则此棱柱的侧面积为 ▲ ． 13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=130°，则∠BOD= ▲ °． 14．如图， 是⊙O的直径，点 在⊙O上，且 ，AC=12， ，垂足为 ，则OD的长为 ▲ ． 15．如图，在△ABC中，AB=4，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转45°后得到△A′BC′，则阴影部分的面积为▲． 16．如图，圆心O恰好为正方形ABCD的中心，已知AB＝10，⊙O的半径为1，现将⊙O在正方形内部沿某一方向平移，，当它与正方形ABCD的某条边相切时停止平移，设此时的平移的距离为d，则d的取值范围是 ▲． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．（6分）解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 18. （6分）解方程组： 19. （6分）计算： ． 20．（8分）一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息： A B C D E 平均分 方差 数学 71 72 69 68 70 ▲ 2 英语 88 82 94 85 76 85 ▲ （公式：方差 ，其中 是平均数．） （1）求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差． （2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝个人成绩－平均成绩 标准差．（说明：标准差为方差的算术平方根） 从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？ 21．（8分）某校举行班级网球对抗赛，每个班级选派一对男女混合双打选手参赛，九年级一班准备在小明、小亮两名男选手和小敏、小颖、小丽三名女选手中，选择男、女选手各一名组成一对参赛． （1）列出所有可能的配对结果； （2）如果小明与小丽、小亮与小敏是最佳组合，那么组成最佳组合的概率是多少？ 22．（8分）已知一元二次方程 ． （1）若方程有两个实数根，求m的范围； （2）若方程的两个实数根为 ， ，且 +3 =3，求m的值。 23．（8分）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH=EH， （1）求证：四边形EBFC是菱形； （2）如果∠BAC=∠ECF，求证：AC⊥CF． 24. （9分）在数学活动课上，为测量教学楼前的一座雕塑AB的高度。小明在二楼C处，利用测角仪测得雕塑顶端A处的仰角为 ，底部B处的俯角为 ，小华在五楼D处，利用测角仪测得雕塑顶端A处的俯角为 ，.若CD为10米，请求出雕塑AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据 ）． 25．（9分）长城汽车销售公司5月份销售某型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售辆超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台． （1）设5月份该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式； （2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划5月份销售利润45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？（注：销售利润＝销售价－进价） 26．（10分）如图，以菱形ABCD的顶点C为圆心画⊙C，⊙C与AB相切于点G，与BC、CD分别相交于点E、F． （1）求证：AD与⊙C相切； （2）如果∠A＝135°，AB＝2，现用扇形CEF做成圆锥的侧面，求圆锥的底面圆的半径． 27. （10分）如图①，直线l1、l2相交于点O，长为2的线段AB在直线l2上，点P是直线l1上一点，且∠APB＝30°． （1）请在图①中作出符合条件的点P（不写画法，保留作图痕迹）； （2）若直线l1、l2的夹角为60°，线段AB在直线l2上左右移动． ①当OA的长为多少时，符合条件的点P有且只有一个？请说明理由； ②是否存在符合条件的点P有三个的情况？若存在，求出OA的长；若不存在，请说明理由． 南京市江宁区2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)参考答案及解析 一、选择题：（每小题2分，共12分） 1．C； 2． D； 3． C； 4． A； 5． B； 6．A 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7． 答案不唯一，如-1； 8．1； 9．55； 10．＞； 11.（1，1）； 12.72； 13．100； 14． 2.5；15． 42； 16．4≤d≤42 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17．(6分)去分母，得2x+3(x-3)≤6 ………………………………………………1分 整理，2x+3x-9≤6………………………………………………2分 得5x≤15………………………………3分 ∴x≤3 …………………………………………………………4分 将解集在数轴上表示为： ……………………6分 18. (6分)由方程①，得 y=4-2x, ③ ……………………………………………………1分 将③代入②，得 x+2(4-2x)=5 解此方程，得 x=1， ……………………………………………………3分 将x=1代入①，得y=2 ……………………………………………………5分 所以原方程组的解为 ……………………………………………6分 19．(6分)原式= ……………………………………………2分 = ……………………………………………4分 =2x ……………………………………………………6分 20．(8分)（1）数学成绩的平均分为 ．…………2分 英语成绩的标准差为 …4分 （2）A同学数学标准分为 ……………………………………5分 A同学英语标准分为 ……………………………………………6分 因为 ＞ ，所以，A同学在本次考试中，数学学科考得更好．………8分 21. (8分)（1）小明、小敏；小明、小颖；小明、小丽；小亮、小敏； 小亮、小颖；小亮、小丽--5分 画树状图4分，结果1分；表格法5分 （2）共有6种等可能结果…………………………6分 P（最佳组合）= 13 ． ……………………………………8分 22(8分)．解：（1）Δ=4-4m ………………………………………………1分 因为方程有两个实数根 所以，4-4m≥0，…………………………………………………3分 即m≤1 …………………………………………………………4分 （2）由一元二次方程根与系数的关系，得 + =2…………5分 又 +3 =3 所以， = ……………………………………………………6分 再把 = 代入方程，求得 = ……………………………………8分 23．(8分)证明：（1）∵AB=AC，AH⊥CB，∴BH=HC． ∵FH=EH，∴四边形EBFC是平行四边形．………………………2分 又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形． ………………………4分 （2）证明：∵四边形EBFC是菱形．∴ ∠1= ∠ECF ∵AB=AC，AH⊥CB，∴∠2= ∠BAC ∵∠BAC=∠ECF∴∠1=∠2． ……………………………………6分 ∵AH⊥CB∴∠2+∠ACH=90°．∴∠1+∠ACH=90°． 即AC⊥CF． ………………………………………………8分 24．(9分)解：过点 作 于 ．……………………………1分 ， ． ………………………………………………2分 ．………………………………3分 在 中， ，………………………4分 ，…………………5分 在 中， ，…………………6分 （米）．………8分 所以，雕塑 的高度约为6.8米．………………………………9分 25．(9分)（1）①当0≤x≤5且x为整数时，y＝30 ……………………2分 ②当6≤x≤30，且x为整数时，y＝30－0.1×（x－5）＝－0.1x＋30.5 ………4分 （2）若该月售出低于5辆，（32－30）×5＜45，不符合题意，因此售出要多于5辆． ……………………………5分 设该月销售x辆，则由题可得：x[32－（－0.1x＋30.5）]＝45…………………………7分 解得：x1＝15，x2＝－30（舍去） 答：该月需要售出15辆汽车．……………………………9分 26．(10分)（1）证明：连接CG、AC，过点C作CH⊥AD, 垂足为H ………1分 ∵AB与⊙C相切，∴CG⊥AB，…2分 ∵四边形ABCD为菱形，∴AC平分∠BAD…3分 ∴CG＝CH, ∴AD与⊙C相切…5分 （2）∵∠A＝135°，∴∠B＝45°， 在Rt△CBG中，得∠B＝45°，BC＝AB＝2， ∴CG＝1，即：R＝1． …7分 设圆锥底面的半径为r，则2πr＝ …9分 ∴r＝ ．答：圆锥底面圆的半径为 …10分 27．(10分)（1）如图（以AB为边在x轴上方作等边三角形ABC，以C为圆心，AB长为半径作圆，与直线l1有两个交点P1、P2，则P1、P2是符合条件的点） …3分 （2）如备用图①，当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的右侧时，则∠APB＝30° 连接CP，过A作AD⊥l1于D 则AD＝CP＝2，∴OA＝ AD sin60° ＝ 4 3 3 …………………………………………6分 如备用图②，当直线l1与⊙C相切于点P，且A在O的左侧时，则∠APB＝30° 连接CP，过B作BE⊥l1于E 则BE＝CP＝2，∴OB＝ BE sin60° ＝ 4 3 3∴OA＝ 4 3 3＋2 ……………………7分 综上所述，当A在O的右侧，OA＝ 4 3 3 或A在O的左侧，OA＝ 4 3 3＋2时符合条件的点P有且只有一个 （3）存在 ………………………………………8分 如备用图③，当直线l1与⊙C1相交于点P1、P2，与⊙C2相切于点P3时连接C2P3，过O作OF⊥BC2于F,则OF＝C2P3＝2，∴OB＝ BE sin60° ＝ 4 3 3 ∴OA＝ 4 3 3－2 ---9分 如备用图④，当直线l1与⊙C1相切于点P1，与⊙C2相交于点P2、P3时连接C1P1，过A作AG⊥l1于G 则AG＝C1P1＝2，∴OA＝ AG sin60° ＝ 4 3 3 ………………10分 综上所述，当A在O的右侧，OA＝ 4 3 3－2或A在O的左侧，OA＝ 4 3 3 时，符合条件的点P有三个 | 
