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北京西城区2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析) 一、选择题(本题共30分，每小题3分) 1．2023年羊年除夕夜的10点半，在央视春晚送红包的活动中，微信“摇一摇”峰值的摇动次数达到8.1亿次 /分钟，送出微信红包120 000 000个．将120 000 000用科学记数法表示应为 A. B. C. D. 2．如图，BD∥AC，AD与BC交于点E，如果∠BCA=50°， ∠D=30°， 那么∠DEC等于 A. 75°B. 80° C. 100°D. 120° 3．64的立方根是 A. B.C. 8D. 4 4．函数 中，自变量 的取值范围是 A. B. x≥2 C. x＞2 D. x≥ 5．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，且DE∥BC， 如果 ，AC=6，那么AE的长为 A. 3B. 4C. 9 D. 12 6．某居民小区开展节约用电活动，该小区100户家庭4月份的节电情况如下表所示． 节电量（千瓦时） 20 30 40 50 户数（户） 20 30 30 20 那么4月份这100户家庭的节电量（单位：千瓦时）的平均数是 A. 35 B. 26 C. 25 D. 20 7. 若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于 A. 2B. 1C.D. 8．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O， 边AB与⊙O相切，切点为B．如果∠A=34°，那么∠C等于 A．28° B．33° C．34° D．56° 9．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系xOy中，O是原点， 若点A的坐标为 ，则点C的坐标为 A． B．C． D． 10．在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标为 ．如果以原点为圆心，半径为1的⊙O上存在点N，使得 ，那么m的取值范围是 A． ≤m≤1B. ＜m＜1 C. 0≤m≤1D. 0＜m＜1 二、填空题(本题共18分，每小题3分) 11．若 则． 12．若一个凸n边形的内角和为 ，则边数n = ． 13．两千多年前，我国的学者墨子和他的学生做了小孔成像的实验．他的做法是，在一间黑暗的屋子里，一面墙上开一个小孔，小孔对面的墙上就会出现外面景物的倒像．小华在学习了小孔成像的原理后，利用如下装置来验证小孔成像的现象．已知一根点燃的蜡烛距小孔20cm，光屏在距小孔30cm处，小华测量了蜡烛的火焰高度为2cm，则光屏上火焰所成像的高度为______cm． 14．请写出一个图象的对称轴是直线 ，且经过 点的二次函数的表达式： ______． 15．如图，在平面直角坐标系x Oy中，直线 与双曲线 （n≠0）在第一象限的公共点是 ．小明说：“从图象上可以看出，满足 的x的取值范围是 ．”你同意他的观点吗？答： ．理由是 ． 16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点D为直线 上且在第一象限内的任意一点， ⊥ 轴于点 ，以 为边在 的右侧作正方形 ；直线 与边 交于点 ，以 为边在 的右侧作正方形 ；直线 与边 交于点 ，以 为边在 的右侧作正方形 ，……，按这种方式进行下去，则直线 对应的函数表达式为，直线 对应的函数表达式为. 三、解答题(本题共30分，每小题5分) 17．如图，△ABC是等边三角形，D，E两点分别在AB，BC的延长线上，BD=CE，连接AE，CD．求证：∠E＝∠D． 18．计算： . 19．已知 ，求代数式 的值． 20．解方程： ． 21．列方程（组）解应用题： 某超市的部分商品账目记录显示内容如下： 商品 时间 第一天 第二天 第三天 牙膏(盒) 7 14 ？ 牙刷（支） 13 15 12 营业额（元） 121 187 124 求第三天卖出牙膏多少盒． 22．已知关于x的函数 ． （1）求证：无论m取何实数，此函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m＞0时，如果此函数的图象与x轴公共点的横坐标为整数，求正整数m的值． 四、解答题(本题共20分，每小题5分) 23．如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C 与点A重合，点D的落点记为点D′ ，折痕为EF，连接CF． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若∠B=45°，∠FCE=60°，AB= ，求线段D′F的长． 24.2023年以来，北京市人口结构变迁经历了5个阶段，从2023年至今已进入第五个阶段 ——人口膨胀增长阶段.以下是根据北京市统计局2023年1月的相关数据制作的统计图. 根据以上信息解决下列问题： （1）以下说法中，正确的是 （请填写所有正确说法的序号） ① 从2023年至2023年，全市常住人口数在逐年下降； ② 2023年末全市常住人口数达到近年来的最高值； ③ 2023年末全市常住人口比2023年末增加36.8万人； ④ 从2023年到2023年全市常住人口的年增长率连续递减. （2）补全“2023年末北京市常住人口分布图”，并回答：2023年末朝阳、丰台、石景山、海淀四区的常住人口总数已经达到多少万人？ （3）水资源缺乏制约着北京市的人口承载能力，为控制人口过快增长，到2023年底，北京市要将全市常住人口数控制在2023万以内（即不超过2023万）.为实现这一目标，2023年的全市常住人口的年增长率应不超过 ．（精确到0.1%） 25．如图1，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在线段ED上．连接AF并延长交 ⊙O于点G，在CD的延长线上取一点P，使PF=PG． （1）依题意补全图形，判断PG与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当E为半径OA的中点，DG∥AB，且 时，求PG的长． 26．（1）小明遇到下面一道题： 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90o，∠ACB=30o，BE⊥AC于点E，且 ．如果AB=1，求CD边的长． 小明在解题过程中发现，图1中，△CDE与△相似，CD的长度等于，线段CD与线段 的长度相等； 他进一步思考：如果 （ 是锐角），其他条件不变，那么CD的长度可以表示为CD=；（用含 的式子表示） （2）受以上解答过程的启发，小明设计了如下的画图题： 在Rt△OMN中，∠MON=90o，OM＜ON，OQ⊥MN于点Q，直线l经过点M，且l∥ON．请在直线l上找出点P的位置，使得 ．请写出你的画图步骤，并在答题卡上完成相应的画图过程．（画出一个即可，保留画图痕迹，不要求证明 ） 五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27． 已知一次函数 （k≠0）的图象经过 ， 两点，二次函数 （其中a＞2）． （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若 ，求当 且 ≤0时，自变量x的取值范围； ②如果满足 且 ≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，直接写出a的取值范围． 28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH. （1）如图1，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是 ； （2）如图2，当点E在DC边 上且不是DC的中点时，（1）中的结论是否成立？若成立 给出证明；若不成立，说明理由； （3）如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值． 29．对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形G，给出如下定义：在图形G上若存在两点M，N，使△PMN为正三角形，则称图形G为点P的τ型线，点P为图形G的τ型点， △PMN为图形G关于点P的τ型三角形． （1）如图1，已知点 ， ，以原点O为圆心的⊙O的半径为1．在A，B两点中，⊙O的τ型点是____，画出并回答⊙O关于该τ型点的τ型三角形；（画出一个即可） （2）如图2，已知点 ，点 （其中m＞0）．若线段EF为原点O的τ型线， 且线段EF关于原点O的τ型三角形的面积为 ，求m的值； （3）若 是抛物线 的τ型点，直接写出n的取值范围． 北京西城区2023九年级数学下册期中试卷(含答案解析)参考答案及评分标准 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D B B A C A C A 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11 12 13 14 15 16 8 3 （答案不唯一） 不同意 x的取值范围是 或 （或其他正确结论） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.证明：如图1. ∵ △ABC是等边三角形， ∴ AC=BC，∠ACB＝∠ABC=60°．……………………… ……………………… 1分 ∵ D，E两点分别在AB，BC的延长线上， ∴ ∠ACE＝∠CBD=120°． …………………2分 在△ACE和△CBD中， ……………………… 3分 ∴ △ACE≌△CBD．……………………… 4分 ∴ ∠E＝∠D．…………………………………………………………………… 5分 18．解： ………………………………………………………………4分 . ………………………………………………………………………… 5分 19．解： = ………………………………………………………………2分 = = ．………………………………………………………………………3分 ∵ ， ∴ ．…………………………………………………………………… 4分 ∴ 原式= ．……………………………… ……………5分 20．解：去分母，得 ．…………………………………………………… 1分 去括号，得 ． ………………………………………………………2分 整理，得 ．……………………………………………………………… 3分 解得 ． …………………………………………………………………… 4分 经检验， 是原方程的解． …………………………………………………5分 所以原方程的解是 ． 21．解：设牙膏每盒x元，牙刷每支y元．…………………………………………………1分 由题意，得 …………………………………………………… 2分 解得 ……………………………………………………………………… 3分 （盒）． ………………………………………………………… 4分 答：第三天卖出牙膏8盒．………………………………………………………………5分 22．解：（1）当m=0 时，该函数为一次函数 ，它的图象与x轴有公共点. ……………………… 1分 当m≠0 时，二次函数 ． ． ∵ 无论m取何实数，总有 ≥0，即 ≥0， ∴ 方程 有两个实数根． ∴ 此时函数 的图象与x轴有公共点．……………2分 综上所述，无论m取何实数，该函数的图象与x轴总有公共点． （2）∵m＞0， ∴ 该函数为二次函数，它的图象与x轴的公共点的横坐标为 ． ∴ ， ．………… …………………… 3分 ∵ 此抛物线与x轴公共点的横坐标为整数， ∴正整数m=1或3．………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1）证明：如图2． ∵点C与点A重合，折痕为EF， ∴ ，AE=EC． ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD∥BC． ∴ ． ∴ ． ∴ AE=AF．……………………………………1分 ∴ AF=EC． 又∵ AF∥EC， ∴ 四边形AFCE是平行四边形．…………… 2分 又AE=AF， ∴ 四边形AFCE为菱形．………………………… 3分 （2）解：如图3，作AG⊥BE于点G，则∠AGB=∠AGE=90°． ∵ 点D的落点为点D′ ，折痕为EF， ∴ . ∵ 四边形ABCD为平行四边形， ∴ AD=BC． 又∵AF=EC， ∴ ，即 ． ∵在Rt△AGB中，∠AGB=90°，∠B=45°，AB= ， ∴ AG=GB=6. ∵ 四边形AFCE为平行四边形， ∴ AE∥FC. ∴ ∠4=∠5=6 0°. ∵ 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠4=60°， ∴ . ∴ . ∴ .…………………5分 24.解：（1）③④.………………………………… 2分 （2）补全统计图见图4. ………………… 3分 2023万人. ………………………… 4分 （3）1.3%.………………………………… 5分 25. 解：（1）补全图形如图5所示.…………………… 1分 答：PG与⊙O相切. 证明：如图6，连接OG . ∵ PF=PG， ∴ ∠1=∠2. 又∵OG=OA， ∴ ∠3=∠A. ∵ CD⊥AB于点E， ∴ ∠A+∠AFE =90°. 又∵∠2 =∠AFE， ∴ ∠3+∠1=90°. ……………………… 2分 即 OG⊥PG. ∵ OG为⊙O的半径， ∴ PG与⊙O相切. …………………… 3分 （2）解：如图7，连接CG. ∵ CD⊥AB于点E， ∴ ∠OEC=9 0°. ∵ DG∥AB， ∴∠GDC=∠OEC =90°. ∵∠GDC是⊙O的圆周角， ∴ CG为⊙O的直径. ∵ E为半径OA的中点， ∴ . ∴ ∠OCE=30°即∠GCP =30°. 又∵∠CGP=90°， ， ∴ . …………………………… 5分 26.解：（1）CAD， ，BC. ……………………………… 3分 .……………………………………………4分 （2）方法1：如图8，以点N为圆心，ON为半径作圆，交直线l于点 ， ，则点 ， 为符合题意的点.………………………… 5分 方法2：如图9，过点N画NO的垂线 ，画NQ的垂直平分线 ，直线 与 交于点R，以点R为圆心，RN为半径作圆，交直线l于点 ， ， 则点 ， 为符合题意的点.……………… 5分 五、解答题(本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分) 27．解：（1）∵ 一次函数 （k≠0）的图象经过 ， 两点， ∴ 解得 …………………………… 1分 ∴ ．…………… 2分 ∵ ， ∴ 二次函数图象的顶点坐标为 ．………… 3分 （2）①当 时， ．………… 4分 如图10，因为 且 ≤0，由图象得2＜x≤4．…… 6分 ② ≤a＜ ．……………………………7分 28．解：（1）CH=AB． ………………………………… 1分 （2）结论成立．………………………………… 2分 证明：如图11，连接BE． 在正方形ABCD中， AB=BC=CD=AD，∠A=∠BCD=∠ABC=90°． ∵ DE=DF， ∴ AF=CE． 在△ABF和△CBE中， ∴ △ABF≌△CBE． ∴ ∠1=∠2．…………………………………………3分 ∵ EH⊥BF，∠BCE=90°， ∴ H，C两点都在以BE为直径的圆上． ∴ ∠3=∠2． ∴ ∠3=∠1． ∵ ∠3+∠4=90°，∠1+∠HBC=90°， ∴ ∠4=∠HBC． ∴ CH=CB．………………………………………………………………… 5分 ∴ CH=AB．………………………………………………………………… 6分 （3） ．………………………………………………………………………7分 29．解：（1）点A．………………………………………1分 画图见图12．（画出一个即可）………… 2分 △AMN（或△AJK）. …………………… 3分 （2）如图13，作OL⊥EF于点L. ∵ 线段EF为点O的τ型线， ∴ OL即为线段EF关于点O的τ型三角形的高. ∵线段EF关于点O的τ型三角形的面积为 ， ∴ . ……………………………… 4分 ∵ ， ， | 
