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顺义区2023九年级数学下册期中测试卷(含答案解析) 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1． 的倒数是（ ） A． B． C． D． 2．2023年春节，顺义区相关部门做了充分的准备工作，确保了消费品市场货源充足．据统计，春节一周长假期间共实现销售收入约3.284亿元，同比增长4.8%．将“3.284亿”用科学记数法表示正确的是 A． B． C． D． 3．若分式 的值为0，则 的值为 A． 1或2 B．2 C．1 D．0 4．某品牌吹风机抽样检查的合格率为99%，则下列说法中正确的是 （） A．购买100个该品牌的吹风机，一定有99个合格 B．购买2023个该品牌的吹风机，一定有10个不合格 C．购买10个该品牌的吹风机，一定都合格 D．即使购买1个该品牌的吹风机，也可能不合格 5．校足球队10名队员的年龄情况如下： 年龄（单位：岁） 12 13 14 15 人数 4 3 2 1 则这个队队员年龄的众数和平均数分别是（ ） A．12， 13.1 B．12，13 C．13，13.1 D．13，13 6． 某中学的铅球场地如图所示，已知半径OA=10米， 米，则扇形OAB的面积为 A. 平方米 B. 平方米 C. 平方米D. 平方米 7．如图，在数轴上，点A表示的数是 ，点B，C表示的数是两个连续的整数，则这两个整数为 A．4和5 B． -5和-4 C．3和4 D．-4和-3 8．在平行四边形、正方形、正五边 形、正六边形四个图形中是中心对称图形的个数是 A．1B．2 C．3D．4 9．如图，A，B，C，D为⊙O上四点，若∠BOD=110o， 则∠A的度数是 A． 110oB． 115o C．120oD．125o 10．如图，大小两个正方形在同一水平线上，小正方形从图①的位置开始，匀速向右平移，到图③的位置停止运动．如果设运动时间为x，大小正方形重叠部分的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．计算： =． 12．分解因式： ． 13．如图，B为地面上一点，测得点B到树底部C的距离为10米， 在点B处放置一个1米高的测角仪BD，并测得树顶A的仰角为53°， 则树高AC约为 米（精确到0.1米）． （参考数据：cos53°≈0.60，sin53°≈0.80，tan53°≈1.33） 14．如果关于x的方程x2﹣2x+k=0的一个根是-1，则另一个根是． 15．乘坐某种出租汽车，当行驶路程小于或等于3千米时，乘车费用都是10元（即起步价10元），当行驶路程大于3千米时，超过3千米的部分每千米收费2元，若一次乘坐这种出租车行驶4千米，则应付车费 元；若一次乘坐这种出租车付费20元，则乘车路程是 千米． 16．如图，在平面直角坐标系 中，点 ， ， ，…， 在 轴的正半轴上，且 ， ， ，…， ，点 ， ， ，…， 在第一象限的角 平分线l上，且 ， ，…， 都与射线l垂直， 则 的坐标是_ _____， 的坐标是_ _____， 的坐标是_ _____． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．计算： ． 18．如图，AB∥CD，AB=BC，∠A=∠1， 求证：BE=CD． 19．已知 ，求代数式 的值． 20．解方程： ． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线 与直线 交于点A（-1，a）． （1）求a，m的值； （2）点P是双曲线 上一点，且OP与直线 平行，求点P的坐标． 22．列方程或方程组解应用题： 随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．某销售点2023年销售烟花爆竹2 000箱，2023年销售烟花爆竹为1 280箱．求2023年到2023年烟花爆竹销售量的年平均下降率． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．如图，四边形ABCD为矩形，DE∥AC，且DE=AB，过点E作AD的垂线交AC于点F． （1）依题意补全图，并证明四边形EFCD是菱形； （2）若AB=3，BC= ，求平行线DE与AC间的距离． 24．随着生活质量的提高，人们的消费水平逐年上升，小明把自己家2023，2023，2023年的消费数据绘制统计图表如下： 年人均各项消费支出统计表 年份 支出项目（单位：元） 2023年 2023年 2023年 食品支出 a 5 600 6 300 医疗、保健支出 2 000 2 200 3 000 家庭用品及服务支出 3 300 4 000 5 700 其他支出 2 500 4 200 6 000 根据以上信息解答下列问题： （1）a= ；并补全条形统计图； （2）我们把“食品支出总额占个人消费支出总额的百分数”叫做恩格尔系数，请分别求出小明家2023，2023，2023年的恩格尔系数，并根据变化情况谈谈你的看法． 25．如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC上一点，且AD=DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连结DE． （1）求证：AC是⊙O的切线； （2）若 ，AC=6，求⊙O的直径． 26． 如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD各边都平行于坐标轴，且A（-2，2），C（3，-2）．对矩形ABCD及其内部的点进行如下操作：把每个点的横坐标乘以a，纵坐标乘以b，将得到的点再向右平移k（ ）个单位，得到矩形 及其内部的点（ 分别与ABCD对应）．E（2，1）经过上述操作后的对应点记为 ． （1）若a=2，b=-3，k=2，则点D的坐标为，点 的坐标为； （2）若 （1，4）， （6，-4），求点 的坐标． 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．已知关于x的方程 ． （1）求证：方程 总有两个实数根； （2）求证：抛物线 总过x轴上的 一个定点； （3）在平面直角坐标系xOy中，若（2）中的“定点”记作A， 抛物线 与x轴的另一个交点为B， 与y轴交于点C，且△OBC的面积小于或等于8，求m的 取值范围． 28．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP，连结PA，PC，过点P作PD⊥AC于点D． （1）如图1，若α=60°，求∠DPC的度数； （2）如图2，若α=30°，直接写出∠DPC的 度数； （3）如图3，若α=150°，依题意补全图，并求∠DPC的度数． 29．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与x轴交于A，B两点，其中B（6，0），与y轴交于点C（0，8），点P是x轴上方的抛物线上一动点（不与点C重合）． （1）求抛物线的表达式； （2）过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，点E关于直线PC的对称点为 ，若点 落在y轴上（不与点C重合），请判断以P，C，E， 为顶点 的四边形的形状， 并说明理由； （3）在（2）的 条件 下直接写出点P的坐标． 顺义区2023九年级数学下册期中测试卷(含答案解析)参考答案及解析 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 选项 A A B D B C D C D C 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11． ； 12． ； 13．14.3； 14．3； 15．12，8；（第一空1分第二空2分） 16． （1，1）， （4，4）， ．（每空1分） 三、解答题（本题共30分，每小题5 分） 17．解： …………...4分（其中第一、三项化简各1分，第二项化简2分） …………………………………………………………………………………....5分 18． 证明：∵AB∥CD， ∴∠C=∠ABC．…………………………....1分 又∵AB=BC，∠A=∠1，……………………..3分 ∴△ABE≌△BCD，………………..……...4分 ∴BE=CD．………………………………....5分 19． 解： …………………………………………......2分（每项1分） ……………………………………………………………….……......3分 ∵ ，∴原式 ．………………………......5分 20．解： …………………………………………………....2分 ………………………………………………………………..…….....3分 经检验可知 是原方程的根，…………………………….…...……...4分 ∴原方程的根是 ．…………………………………………….…..……....5分 21． 解：（1）∵点A的坐标是（-1，a），在直线 上， ∴a=4，…………………………………………………………………………………........1分 ∴点A的坐标是（-1，4），代入反比例函数 ， ∴m=-4．…………………………………………………………………………………......2分 （2）∵OP与直线 平行， ∴OP的解析式为 ， …………………………………………………………......3分 ∵点P是双曲线 上一点， ∴设点P坐标为（x, ）， 代入到 中， ∴ ，.......................................................................................................................4分 ∴ ． ∴点P的坐标为 或 ．………………………………..………......5分 22． 解：设2023年到2023年烟花爆竹销售量的年平均下降率为x．…………….....1分 依题意可列： …………………………………………………......3分 解得 ……………………………………………………………………………......4分 答：2023年到2023年烟花爆竹销售量的年平均下降率为20%．…………………......5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23． 画图………………………………………………………………………1分 （1）证明： ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90o，CD=AB， ∵EF⊥AD， ∴∠EHD=90o， ∴∠EHD=∠ADC， ∴EF∥CD， 又∵DE∥AC， ∴四边形EFCD是平行四边形，……………......2分 又∵DE=AB， ∴DE=CD， ∴四边形EFCD是菱形．……………………......3分 （2）解：过点D作DG⊥AC于G． 在Rt△ABC中，A B=3，BC= ， ∴ ，CD=3， ∴∠ACB=30o， ……………………………………......4分 ∴∠1=60o， ∴在Rt△DCG中，CD=3， ， ∴平行线DE与AC间的距离是 ．…………......5分 24． 解：（1）2023；………………………….….... ..1分 补图……………………………………..3分 （2） 0.40，0.35，0.30．………………………........4分 说明恩格尔系数越小消费水平越高．.................5分 25． （1）证明：∵AB=AC，AD=DC， ∴∠1=∠C=∠B，..................................................1分 又∵∠E=∠B，∴∠1=∠E， ∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°， ∴∠E+∠EAD=90°， ∴∠1+∠EAD=90°， ∴AC是⊙O的切线．...........................................2分 （2）解：过点D作DF⊥AC于点F， ∵DA=DC，AC=6， ∴CF= =3，..................................... ............3分 ∵ ，∴ ， ∴在Rt△DFC中，DF=4，DC=5， ∴AD=5， ∵∠ADE =∠DFC=90°，∠E =∠C， ∴△ADE∽△DFC，......................... ....................4分 ∴ ， ∴ ， ∴AE= ，∴⊙O的直径为 ．....................5分 26． 解： （1）D（3，2）， （8，-6），..................................................................................2分 （2）依题可列： 则a=1，k=3， 2b=4，b=2，..... ....................................................4分（a，b，k求出一个给1分） ∵点E（2，1）， ∴ ．.....................................................................................................5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27． 解：（1） = ........................................................1分 = = = ∵ ， ∴方程 总有两个实数根．..............................................2分 （2 ） = ．...............................................3分 ∴ ， ， ∴抛物线 总过x轴上的一个定点（-1,0）．................4分 （3） ∵抛物线 与x轴的另一个交点为B，与y轴交于点C， ∴B（3-m,0），C（0, m-3），...................................................................................5分 ∴△OBC为等腰直角三角形， ∵△OBC的面积小于或等于8， ∴OB，OC小于或等于4， ∴3-m 4或m-3 4， .......................................................................................6分 ∴m -1或m 7． ∴-1 m 7且 ．............................................................................................7分 28．解： （1）∵边BA绕点B顺时针旋转α角得到线段BP， ∴BA= BP， ∵α=60°，∴△ABP是等边三角形，..................................1分 ∴∠BAP=60o，AP= AC， 又∵∠BAC=90°， ∴∠PAC=30o，∠ACP=75o， ∵PD⊥AC于点D， ∴∠DPC=15o．.............. ......................................................2分 （2）结论：∠DPC=75o．..................................................3分 （3） 画图.............................................................................4分 过点A作AE⊥BP于E． ∴∠AEB=90o， ∵∠ABP=150°，∴∠1=30o，∠BAE=60o， 又∵BA= BP， ∴∠2=∠3=15o， ∴∠PAE=75o， ∵∠BAC=90°， ∴∠4=75o， ∴∠PAE=∠4， ∵PD⊥AC于点D， ∴∠AEP=∠ADP =90o， ∴△APE≌△APD，..............................................................5分 ∴AE= AD， 在Rt△ABE中，∠1=30o，∴ ， 又∵AB=AC， ∴ ， ∴AD=CD， 又∵∠ADP=∠CDP=90o， ∴△ ADP≌△CDP，.............................................................6分 ∴∠DCP=∠4=75o， ∴∠DPC=15o．.......................................................................7分 另法：作平行，构造平行四边形． 29．解： （1）∵点C（0，8）在抛物线 上， ∴ ，................................................................................................................................1分 又∵B（6，0）在抛物线 上， ∴ ， ∴ ， ∴抛物线的表达式为 ．................................ ......................................2分 （2） 结论：以P，C，E， 为顶点的四 边形为菱形．..............................................3分 证明：∵E和 关于直线PC对称， ∴∠ =∠ECP， ， ， 又∵PE∥y 轴， ∴∠EPC=∠ =∠ECP， ∴EP=EC，..........................................................................................................................5分 ∴ ， ∴四边形 为菱形．................................................................................................6分 （3）∵B（6，0），C（0，8）， ∴BC的表达式为 ． 设 ，则 ， ∴PE的长为 = ， 过点E作EF⊥y轴于点F， ∴△CFE∽△COB， ∴ ，∴ ，即 ． 由PE=EC得 ，解得 ， ∴点P的坐标为 ．................................................8分（不需要过程，结论正确给2分） | 
