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石景山区2023九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析) 第Ⅰ卷（共30分） 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是正确的，请将所选答案前的字母填在题后括号内． 1． 的相反数是 A． B． C． D． 2．将 用科学记数法表示为 A． B． C． D． 3 ．有四张背面完全相同且不透明的卡片，每张卡片的正面分别写有数字 ， ， ， ，将它们背面朝上，洗均匀后放置在桌面上，若随机抽取一张卡片，则抽到的数字恰好是无理数的概率是 A． B． C． D．1 4．如图是每个面上都有一个汉字的正方体的一种展开图， 那么在正方体的表面，与“友”相对的面上的汉字是 A．爱B．国 C．善 D．诚 5．如图， ， 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，若 ，则 的度数为 A． B． C．D． 6．如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，AC= ，点D在AC上，以CD为直径作⊙O与BA相切于点E，则BE的长为 A． B． C．2 D．3 7．在某校科技节“知识竞赛”中共进行四次比赛，甲、乙两个参赛同学，四次比赛成绩情况下表所示： 次数 第一次 第二次 第三次 第四次 甲 9.7 10 10 8.4 乙 9.2 10 9.7 9.2 设两同学得分的平均数依次为 ， ，得分的方差依次为 ， ，则下列关系中完全正确的是 A． ， B． ， C． ， D． ， 8．等腰三角形一个角的度数为 ，则顶角的度数为 A． B． C． D． 或 9．如图，等边△ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为3，则阴影部分的面积为 A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，四边形 是菱形，其中点 的坐标是（0,2），点 的坐标是（ ，2），点 和点 是两个动点，其中 点 从点 出发沿 以每秒1个单位的速度做匀速运动，到点 后停止，同时点 从 点出发沿折线 → 以每秒2个单位 的速度做匀速运动，如果其中一点停止运动，则另一点也停止运动，设 、 两点的运动时间为 ， 的面积是 ，下列图象中能表示 与 的函数关系的图象大致是 A BCD 第Ⅱ卷（共90分） 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式： . 12．分式 的值为零的条件是___________. 13.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：, 可使它成为正方形. 14．如图所示，已知函数 和 的图象交点为 ，则不等式 的解集为___________. 15．综合实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山 距离为 米的 处，然后沿着射线 退后到点 ，这时恰好在镜子里看到山头 ，利用皮尺测量 米，若小宇的身高是 米，则假山 的高度为________________. 16．在平面直角坐标系 中，我们把横，纵坐标都是整数的点叫做整点，已知在函数 上有一点 （ 均为整数），过点 作 轴于点 ， 轴于点 ，当 时，矩形 内部（不包括边界） 有 个整点，当 时，矩形 内部有 个整点，当 时，矩形 内部有个整点，当 时，矩形 内部的整点最多． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．已知：如图， 是 的平分线， 是 上一点，且 于 ， 于 ， ．求证： ． 18．计算： 19．用配方法解方程： 20．若 ，求代数式 的值． 21．在平面直角坐标系 中， 是坐标原点；一次函数 图象与反比例函数 的图象交于 、 ． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求 的面积. 22．列方程或方程组解应用题 小明到学校的小卖部为班级运动会购买奖品，若购买4根荧光笔和8个笔记本需要100元，若购买8根荧光笔和4个笔记本需要80元，请问荧光笔和笔记本的单价各是多少元？ 四、解答题（本 题共20分，每小题5分） 23．如图，在 中， ， 分别是边 、 的中点， 、 是边 上的三等分点，连接 、 且延长后交于点 ，连接 、 （1）求证：四边形 是平行四边形 （2）若 ， ， ，求：四边形 的面积 24． 2023年，移动电商发展迅速。以下是某调查机构发布的相关的统计表和统计图的一部分. 2023年“移动电商行业用户规模”2023年“移动电商行业用户规模”统计图 增长率统计图 请根据以上信息解答下列问题： （1）2023年10月“移动电商行业用户规模” 是_____亿台；（结果精确到0.1亿台） 并补全条形统计图； （2）2023年9-12这三个月“移动电商行业用户规模” 比上个月增长的平均数为_______亿台，若按此平 均数增长，请你估计2023年1月“移动电商行业 用户规模”为______亿台．（结果精确到0.1亿台） （3）2023年某电商在双11共售出手机20230台， 则C品牌手机售出的台数是_______. 25．如图，点 在⊙ 上， 于点 ， ， ， 为 延长线上一点，且 ， . （1）求证： 是⊙O的切线； （2）若点 是弧 的中点，且 交 于点 ，求 的长． 26．阅读下面材料： 小玲遇到这样一个问题：如图1，在等腰三角形 中， ， ， ， 于点 ，求 的长． 小玲发现：分别以 ， 为对称轴，分别作出△ ，△ 的轴对称图形，点 的对称点分别为 ， ，延长 ， 交于点 ，得到正方形 ，根据勾股定理和正方形的性质就能求出 的长．（如图2） 请回答： 的长为， 的长为； 参考小玲思考问题的方法，解决问题： 如图3，在平面直角坐标系 中，点 ， ，点 是△ 的外角的角平分线 和 的交点，求点 的坐标． 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．已知关于 的方程 ． （1）求证：无论 取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于 的二次函数 的图象经过坐标原点，得到抛物线 ．将抛物线 向下平移后经过点 进而得到新的抛物线 ,直线 经过点 和点 ，求直线 和抛物线 的解析式； （3）在直线 下方的抛物线 上有一点 ，求点 到直线 的距离的最大值． 28．如图1，点 为正方形 的中心． （1）将线段 绕点 逆时针方向旋转 ，点 的对应点为点 ，连结 ， ， ，请依题意补全图1； （2）根据图1中补全的图形，猜想并证明 与 的关系； （3）如图2，点 是 中点，△ 是等腰直角三角形， 是 的中点， ， ， ，△ 绕 点逆时针方向旋转 角度，请直接写出旋转过程中 的最大值． 29．对于平面直角坐标系 中的点 ，定义一种变换：作点 关于 轴对称的点 ，再将 向左平移 个单位得到点 ， 叫做对点 的 阶“ ”变换． （1）求 的 阶“ ”变换后 的坐标； （2）若直线 与 轴， 轴分别交于 两点，点 的 阶“ ”变换后得到点 ，求过 三点的抛物线 的解析式； （3）在（2）的条件下，抛物线 的对称轴与 轴交于 ，若在抛物线 对称轴上存在一点 ，使得以 为顶点的三角 形是等腰三角形，求点 的坐标． 石景山区2023九年级数学下学期期中测试卷(含答案解析)参考答案及解析： 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B C A D B D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11． ； 12． ；13． 等(答案不唯一)14． 15．17米；1 6．135；25． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．证明：∵ 是 的平分线， 是 上一点， 且 于 ， 于 ， ∴ , .…………………2分 在△ 和△ 中， △ ≌△ .……………………4分 .………… …………5分 18．解：原式= ………………………………4分 =7………………………………5分 19．解：移项得： ………………………………1分 ……………………2分 ……………………………3分 ……………………………4分 ………………5分 20．解：原式= ………………………………2分 ．………………………………3分 ∵ ， ∴ ．………………………………4分 ………………………………5分 21．解：（1）∵ 、 在反比例函数 图象 上 ∴ ………………………………………………1分 ∵ ∴ ∴ ， 、 ∴所求反比例函数解析式为： …… ………………2分 将 、 代入 ∴所求直线解析式为： …………………………3分 （2）设 与 轴交点为 令 ，∴ ∴ ………………………………………………5分 22．解：设荧光笔和笔记本的单价分别是 元, 元…………………………1分 根据题意，得 ………………………………………3分 解得： ………………………………………………………4分 答：荧光笔和笔记本的单价分别是5元,10元…………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．（1） 证明：∵E、F是AC 边上的三等分点 ∴CF=EF=AE ∵N是BC中点 ∴FN是△CEB的中位线 ∴FN//BE 即DF//BE 同理可证：ED//BF ∴四边形BFDE是平行四边形………………………2分 （2）过点B作BH⊥AC于点H ∵∠A=45°，AB= ∴BH=AH=3……………………………………………. 3分 ∵∠C=30° ∴CH= ∴ ……………………………4分 ∵E、F是AC边上的三等分点 ∴ ∴ ………………………5分 24．解：（1）8.0 ；图略…………………2分 （2）0.9；10.5 …………………2分 （3）2023………………… 1分 25．（1）证明：连结 ∵ 于点 ∴ 是⊙ 的直径…………………………………1分 ∵ ，∴ 在 中， ，∴ 由勾股定理 在 中，由勾股定理逆定理： ∴ °即 ∴ 是⊙ 的切线…………………………………2分 （2）解：∵点 是弧 的中点 ∴ …………………………………3分 ∵ 是⊙ 的直径 ∴ ∴ ° ∴ ∴ 即 ∴ ……………… ∵ ∴ 可得 ∴ …………………………………5分 26．解： 的长为 ， 的长为 ；…………………2分 如 图，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点 ， 于点 …………………3分 ∵ 和 是△ 的外角的角平分线 ∴ ， ∴ ∴四边形 是正方形， ， …………4分 ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ,∴ ∴ ……………………5分 五、解答题（本题满分7分） 27．解：（1）当 时， 当 时， ∵ ，∴ 综上所述：无论 取任何实数时，方程恒有实数根；………………………3分 （2）∵二次函数 的图象经过坐标原点 ∴ ∴ ………………………4分 抛物线 的解析式为： 抛物线 的解析式为： 设直线 所在函数解析式为： 将 和点 代入 ∴直线 所在函数解析式为 ： ………5分 （3）据题意：过点 作 轴交 于 ， 可证 ,则 设 ， ， ∴ ………………………6分 ∵ ∴当 时， ∵ 随 增大而增大， ∴ 为所求.………………………7分 六、解答题（本题满分7分） 28．解： （1）正确画出图形；………………1分 （2）延长 交 于点 ，交 于点 …2分 ∵ 为正方形 的中心， ∴ ，∠ ＝90……3分 ∵ 绕点 逆时针旋转90角得到 ∴ ∴∠ ＝∠ ＝90 ∴∠ ＝∠ ……4分 在△ 和△ 中， ， ，∠ ＝∠ ， ∴△ ≌△ ∴ .……5分 ∴∠ ＝∠ ∵∠ +∠ ∴∠ +∠ =90 ∴ ⊥ ……6分 （3） 的最大值为 ……8分 七、解答题（本题满分8分） 29．解：（1）由 阶“ ”变换 定义： 将 于 轴对称的点为： …………………………………………1分 再将 向左平移 个单位得 的坐标 ……………………………………………………………………2分 （2）直线： ，令 ∴ 令 ∴ ……………………………………………………………………3分 由 阶“ ”变换定义： ………………………………………4分 设：过 三点的抛物线 的解析式 将 代入： ∴抛物线 的解析式为： ……………………………………………………………………5分 （3） ， （I）若 顶角顶点， 为腰， ∵ ∴ ， ……………………………6分 （II）若 为顶角顶点， 为腰， ∴ ……………………………………… ……………7分 （III）若 为底， 过点 作 轴交抛物线对称轴于 设 ， ， ， 在 中，由勾股定理 解得： ∴ 综上所述：点 的坐标是： ， ， ， ……8分 | 
