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海淀区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析) 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1.中国国家图书馆是亚洲最大的图书馆，截止到今年初馆藏图书达2023万册，其中古籍善本约有2023000册．2023000用科学记数法可以表示为 A．B．C．D． 2.若二次根式 有意义，则 的取值范围是 A． B． C． D． 3．我国古代把一昼夜划分成十二个时段，每一个时段叫一个时辰，古时与今时的对应关系（部分）如下表所示．天文兴趣小组的小明等4位同学从今夜23:00至明晨7:00将进行接力观测，每人两小时，观测的先后顺序随机抽签确定，小明在子时观测的概率为 古时 子时 丑时 寅时 卯时 今时 23：0 0～1：00 1：00～3：00 3：00～5：00 5：00～7：00 A．B．C．D． 4.如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形 A BC D 5.如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立 A． B. C. D. 6.甲和乙入选学校的定点投篮大赛，他们每天训练后投10个球测试，记录命中的个数，五天后将记录的数据绘制成折线统计图，如右图所示．则下列对甲、乙数据描述正确的是 A．甲的方差比乙的方差小 B．甲的方差比乙的方差大 C．甲的平均数比乙的平均数小 D．甲的平均数比乙的平均数大 7.在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书介绍如下： 对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是： A．根据“边边边”可知，△ ≌△ ，所以∠ =∠ B．根据“边角边”可知，△ ≌△ ，所以∠ =∠ C．根据“角边角”可知，△ ≌△ ，所以∠ =∠ D．根据“角角边”可知，△ ≌△ ，所以∠ =∠ 8.小明家端午节聚会，需要12个粽子.小明发现某商场正好推出粽子“买10赠1”的促销活动，即顾客每买够10个粽子就送1个粽子.已知粽子单价是5元/个，按此促销方法，小明至少应付钱 A．45元B．50元 C．55元 D．60元 9.如图，点A，B是棱长为1的正方体的两个顶点，将正方体按图中所示展开，则在展开图中A，B两点间的距离为 A． B． C． D． 10.如右图所示，点Q表示蜜蜂，它从点P出发，按照着箭头所示的方向沿P→A→B→P→C→D→P的路径匀速飞行，此飞行路径是一个以直线l为对称轴的轴对称图形，在直线l上的点O处（点O与点P不重合）利用仪器测量了∠POQ的大小．设蜜蜂飞行时间为x，∠POQ的大小为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是 AB C D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 将函数y=x2 ?2x + 3写成 的形式为． 12. 点A,B是一个反比例函数图象上的两个不同点.已知点A（2,5），写出一个满足条件的B点的坐标是． 13. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BCD=100°，AC平分∠BAD，则∠BAC的度数为． 14．如图，在一次测绘活动中，某同学站在点A观测放置于B，C两处的标志物，数据显示点B在点A南偏东75°方向20米处，点C在点A南偏西15°方向20米处，则点B与点C的距离为米． 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=1，以B为圆心， BA为半径画弧交CB的延长线与点D，则 的长为. 16.五子棋是一种两人对弈的棋类游戏，规则是：在正方形棋盘中，由黑方先行，白方后行，轮流弈子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，直到某一方首先在任一方向（横向、竖向或者是斜着的方向）上连成五子者为胜．如 图，这一部分棋盘是两个五子棋爱好者的对弈图．观察棋盘，以点O为原点，在棋盘上建立平面直角坐标系，将每个棋子看成一个点，若黑子A的坐标为 （7，5），则白子B的坐标为______________；为了不让白方获胜，此时黑方应该下在坐标为______________的位置处． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.计算： ． 18.解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来． 19．如图，已知∠BAC=∠BCA，∠BAE=∠BCD=90°，BE=BD． 求证：∠E=∠D． 20.已知 ，求代数式 的值． 21.列方程或方程组解应用题: 小明坚持长跑健身．他从家匀速跑步到学校，通常需30分钟．某周日，小李与同学相约早上八点学校见，他七点半从家跑步出发，平均每分钟比平时快了40米，结果七点五十五分就到达了学校，求小明家到学校的距离． 22．已知关于 的方程 有两个实数根． （1）求实数 的取值范围； （2）若a为正整数，求方程的根． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23.已知， 中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E， ， . (1)求证：AD=CD； (2)若tanB=3，求线段 的长． 24.小明和小腾大学毕业后准备自主创业，开一个小店卖腊汁肉夹馍．为了使产品更好地适合大众口味，他们决定进行一次抽样调查．在某商场门口将自己制作的肉夹馍免费送给36人品尝，并请每个人填写了一份调查问卷，以调查这种肉夹馍的咸淡程度是否适中．调查问卷如下所示： 经过调查，他们得到了如下36个数据： BCBADACDB CBCDCDCEC CABEADECB CBCEDEDDC （1）小明用表格整理了上面的调查数据，写出表格中m和n的值； （2）小腾根据调查数据画出了条形统计图，请你补全这个统计图； （3）根据所调查的数据，你认为他们做的腊汁肉夹馍味道适中吗？．（填“适中”或者“不适中”） 25．如图，Rt△ABC中，∠A=90°，以AB为直径的⊙O交BC于点D，点E在⊙O上， CE=CA， AB，CE的延长线交于点F． （1） 求证：CE与⊙O相切； （2） 若⊙O的半径为3，EF=4，求BD的长． 26．阅读下面材料：小明研究了这样一个问题：求使得等式 成立的x的个数．小明发现，先将该等式转化为 ，再通过研究函数 的图象与函数 的图象（如图）的交点，使问题得到解决． 请回答： （1） 当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为_______； （2） 当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为_______； （3） 当k＞1时，使得原等式成立的x的个数为_______． 参考小明思考问题的方法，解决问题： 关于x的不等式 只有一个整数解，求 的取值范围． 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线 与 轴交于点A（0,3），与 轴交于点B，C（点B在点C左侧）. （1）求该抛物线的表达式及点B，C的坐标； （2）抛物线的对称轴与 轴交于点D，若直线 经过点D和点 E ，求直线DE的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点P（ ，0），过点P作垂直于 轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在 轴下方，直接写出 的取值范围． 28．如图1，在 中，AB=AC，∠ABC = ，D是BC边上一点，以AD为边作 ，使AE=AD， + =180°． （1）直接写出∠ADE的度数（用含 的式子表示）； （2）以AB，AE为边作平行四边形ABFE， ①如图2，若点F恰好落在DE上，求证：BD=CD； ②如图3，若点F恰好落在BC上，求证：BD=CF． 29. 如图1，在平面直角坐标系 内，已知点 ， ， ， ，记线段 为 ，线段 为 ，点 是坐标系内一点.给出如下定义：若存在过点 的直线l与 ， 都有公共点，则称点 是 联络点． 例如，点 是 联络点． （1）以下各点中，__________________是 联络点（填出所有正确的序号）； ① ；② ；③ . （2）直接在图1中画出所有 联络点所组成的区域，用阴影部分表示； （3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，⊙M上只有一个点为 联络点， ①若 ，求点M的纵坐标； ②求r的取值范围． 海淀区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)参考答案及评分参考 一、 选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D B C A A A C B D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 （1,10） 注:答案不唯一 40o （5,1）；(1分) （3,7）或（7,3） (2分)答对1个给1分 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17.(本小题满分5分) 解：原式 ……………………..……………………………………………………...4分 ．……………………………………………………………………………………...5分 18. (本小题满分5分) 解法一：去括号,得 ．…………………………………………………………………..1分 移项，得 ．…………………………………………………………………..2分 合并，得 ．……………………………………………………………………3分 系数化为1，得 ．…………………………………………………………...……4分 不等式的解集在数轴上表 示如下： ． …………………………………………………………5分 解法二：去分母，得 ．…………………………………………………………………1分 移项，得 ．……………………………………………………………………2分 合并，得 ．……………………………………………………… ………..3分 系数化为1，得 ．…………………………………………………………………..4分 不等式的解集在数轴上表示如下： ． ……… …………………………………………………5分 19．(本小题满分5分) 证明：在△ABC中 ∵∠BAC=∠BCA， ∴AB=CB．……………………………………………1分 ∵∠BAE=∠BCD=90°， 在Rt△EAB和R t△DCB中， ∴Rt△EAB≌Rt△DCB．……………………………………4分 ∴∠E=∠D．…………………………………………5分 20.(本小题满分5分) 解：原式 ……………………………………………………………………….1分 ……………………………………………..………………………………2分 ．………………………………………………………………………………3分 ∵ ， ∴ ．………………………………………………………………………………………4分 ∴原式 ．………………………………………………………………………………..5分 21. (本小题满分5分) 解：设小明家到学校的距离为x米．……………………………………………………………………..1分 由题意，得 ．………………………………………………………………………..3分 解得 ．……………………………………………………………………..4分 答：小明家到学校的距离为2023米．………………………………………………………………….5分 22. (本小题满分5分) 解：（1）∵关于 的方程 有两个实数根， ∴ ．……………………………………………………………………..1分 解得 ．……………………………………………………………………………………2分 ∴ 的取值范围为 ． （2）∵ ，且a为正整数， ∴ ．…………………………………………………………………………………………3分 ∴方程 可化为 ． ∴此方程的根为 ．………………………………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23. (本小题满分5分) （1）证明： ∵ED⊥AD， ∴∠ADE=90°． 在Rt△ADE中，∠DAE=30°，AE=4， ∴ ， ．………………………………………………………………1分 ∵ ， ∴AD=DC．………………….…………………………………………………………………2分 （2）解：过点A作AF⊥BC于点F，如图． ∴∠AFC=∠AFB=90°． ∵AE=4，EC=2， ∴AC=6． 在Rt△AFC中，∠AFC =90°，∠C=30°， ∴ …………………………………………………………………………3分 在Rt△AFB中，∠AFB=90°，tanB=3， ∴ ．……….………………………………………………………………………4分 ∴ ．……….……………………………………………………………5分 24. (本小题满分5分) （1） ； ；………………………………………………………………………………...2分 （2） ………………………………………………………………...4分 （3）适中．………………………………………………………………………………….5分 25．(本小题满分5分) 证明：连接OE，OC． 在△OEC与△OAC中， ∴△OEC≌△OAC．………………………………………………………………………………..1分 ∴∠OEC=∠OAC． ∵∠OAC=90°， ∴∠OEC=90°． ∴OE⊥CF于E． ∴CF与⊙O相切．………………………………………………………………………………...2分 （2）解：连接AD． ∵∠OEC=90°， ∴∠OEF=90°． ∵⊙O的半径为3， ∴OE=OA=3． 在Rt△OEF中，∠OEF=90°，OE= 3，EF= 4， ∴ ，………………………………………………………………………3分 ． 在Rt△FAC中，∠FAC=90°， ， ∴ ．…………………… ……………………………………………………4分 ∵AB为直径， ∴AB=6=AC，∠ADB=90°． ∴BD= ． 在Rt△ABC中，∠BAC=90°， ∴ ． ∴BD= ．…………………………………… ……………………………………………….5分 26. (本小题满分5分) 解：（1）当k＝1时，使得原等式成立的x的个数为 1 ；…………………………………….………1分 （2）当0＜k＜1时，使得原等式成立的x的个数为 2 ；…………………………………………2分 （3）当k ＞1时，使得原等式成立的x的个数为 1 ．…..…………………………………………3分 解决问题：将不等式 转化为 ， 研究函数 与函数 的图象的交点. ∵函数 的图象经过点A(1,4)，B(2,2)， 函数 的图象经过点C(1,1)，D(2,4)， 若函数 经过点A(1,4)，则 ，……………………………………………………4分 结合图象可知，当 时，关于x的不等式 只有一个整数解． 也就是当 时，关于x的不等式 只有一个整数解. ……………………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. (本小题满分7分) 解：（1）∵抛物线 与 轴交于点A（0,3）， ∴ ． ∴ ． ∴抛物线的表达式为 ．…………………………………………………………………1分 ∵抛物线 与 轴交于点B，C， ∴令 ，即 ． 解得 ， ． 又∵点B在点C左侧， ∴点B的坐标为 ，点C的坐标为 ．…………………………………………………...……3分 （2）∵ ， ∴抛物线的对称轴为直线 ． ∵抛物线的对称轴与 轴交于点D， ∴点D的坐标为 ．…………………………………………………………………………...………4分 ∵直线 经过点D 和点E ， ∴ 解得 ∴直线DE的表达式为 . ………………………………………………………………………5分 （3） 或 ……………………………………………………………………………………………7分 28．(本小题满分7分) （1）∠ADE = ．…………………………………………………………………………………….…1分 （2）①证明：∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AB∥E F． ∴ ．…………………………….……2分 由（1）知，∠ADE = ， ∴ ．…………………...……3分 ∴AD⊥BC． ∵AB=AC， ∴BD=CD．……………………………………………………………………………………..……………4分 ②证明： ∵AB=AC，∠ABC = ， ∴ ． ∵四边形ABFE是平行四边形， ∴AE∥BF, AE=BF． ∴ ．……………………………………………………………………………………………5分 由（1）知， ， ∴ ．…………………………………………………………………………………………………6分 ∴ ． ∴AD=CD． ∵AD=AE=BF， ∴BF=CD． ∴BD=CF．………………………………………………………………………………………………………7分 29. (本小题满分8分) （1）②，③是 联络点．…………………………………………………………………………2分 （2）所有 联络点所组成的区域为图中阴影部分（含边界）． ………………………………………………………………………4分 （3）① ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为 联络点，阴影部分关于y轴对称， ∴⊙M与直线AC相切于(0，0)， 或与直线BD相切于(0，1)，如图所示． 又∵⊙M的半径 ， ∴点M的坐标为(0， )或(0，2)．………………6分 经检验：此时⊙M与 直线AD，BC无交点，⊙M上只有一个点为 联络点，符合题意． ∴点M的坐标为(0， )或(0，2)．∴点M的纵坐标为 或2． ② 阴影部分关于直线 对称，故不妨设点M位于阴影部分下方． ∵点M在y轴上，⊙M上只有一个点为 联络点， 阴影部分关于y轴对称， ∴⊙M与直线AC相切于O(0，0)，且⊙M与直线AD相离． 作ME⊥AD于E，设AD与BC的交点为F， ∴MO=r，MEr，F(0， )． 在Rt△AOF中，∠AOF=90°，AO=1， ， ∴ ， ． 在Rt△FEM中，∠FEM=90°，FM=FO+OM=r+ ， ， ∴ ． ∴ ．又∵ ， ∴ ．……………………………………………………………………………………8分 | 
