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昌平区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析) 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．小超同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关结果的条数是2023000 ，这个数用科学记数法表示为 A． B． C．D． 2．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示 -3的相反数的点是 A．点A B．点B C．点C D．点D 3．用5个完全相同的小正方体组 合成如图所示的立方体图形，它的主视图为 4.四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张卡片，则抽出的卡片上的图形是中心对称图形的概率为 5．如图，直线AB∥CD，Rt△DEF如图放置，∠EDF=90°，若∠1+∠F=70°， 则∠2的度数为 A．20° B．25° C．30° D．40° 6．五一期间（5月1日-7日），昌平区每天最高温度（单位：℃）情况如图所示，则表示最高温度的这组数据的中位数是 A．24B．25 C．26D．27 7．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB＝45°，则弦AB的长为 A．2 B． 4 C． D． 8．小明在学习之余去买文具，打算购买5 支单价相同的签字笔和3 本单价相同的笔记本，期间他与售货员对话如下： 请你判断在单价没有弄反的情况下，购买1支签字笔和1本笔记本应付 A．10元B．11元 C．12元 D．13元 9．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交于 两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为 A．90°B． 95° C．100° D． 105° 10.如图，正方形ABCD的边长为 5，动点P的运动路线为AB→BC，动点Q的运动路线为BD．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点停止运动时另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则下列能大致表示y与x的函数关系的图象为 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 11．分解因式：. 12．若关于x的一元二次方程 有实数根，则k的取值范围是 ． 13．已知：如图，在△ABC中，点D为BC上一点，CA=CD，CF平分∠ACB， 交AD于点F，点E为AB的中点．若EF=2，则BD = ． 14．把方程 变形为 的形式，其中h，k为常数，则． 15．在阳光体育课上，小腾在打网球，如图所示，网高0.9m，球刚好打过网，而且落在离网6 m的位置上，则球拍击球的高度h = m． 16. 如图所示，是一张直角三角形纸片，其中有一个内角为 ，最小边长为2， 点D、E分别是一条直角边和斜边的中点，先将纸片沿DE剪开，然后再将两部 分拼成一个四边形，则所得四边形的周长是． 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．计算： ． 18．如图， ， ， ， ． 求证： ． 19．求不等式 ≤ 的负整数解． 20. 已知 ，求代数式 的值． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数 与反比例函数 的图象交于 ， 两点，一次函数 的图象与y轴交于点 ． （1）求一次函数的解析式； （2）点 是 轴上一点，且 的面积是 面积的2倍，求点 的坐标． 22. 自从2023年9月1日昌平区首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便．下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格： 车型 起步公里数 起步价格 超出起步公里数后的单价 普通燃油型 3 13元 2.3元/公里 纯电动型 3 8元 2元/公里 老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内），结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省0.8元，求老张家到单位的路程是多少公里？ 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 23．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线交于点O．将△BCD沿直线BD翻折，得到△BED． （1） 画出△BED，连接AE； （2）求AE的长． 24．我区某学校为了提升学生的体艺素养，准备开设空手道、素描、剪纸三项活动课程，为了解学生对各项活动的兴趣，随机抽取了部分学生进行调查（每人从中必须选取一项，且只能选一项），将调查结果绘制成下面两个统计图，请你结合图中信息解答问题. （1）将条形统计图补充 完整； （2）本次抽样调查的样本容量是____________； （3）已知该校有2023名学生，请你根据样本估计全校学生中喜欢剪纸的人数. 25．如图，AB是⊙O的直径．半径OD垂直弦AC于点E．F是BA延长线上一点， ． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明； （2）若AB=10，AC=8，求DF的长． 26.【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题：已知α为锐角，且tanα= ，求sin2α的值． 小娟是这样解决的： 如图1，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，∠BAC=α，所以∠ACB=90°，tanα= = ． 易得∠BOC=2α．设BC=x，则AC=3x，则AB= x．作CD⊥AB于D，求出CD=（用含x的式子表示），可求得sin2α= =． 【问题解决】 已知，如图2，点M、N、P为圆O上的三点，且∠P=β，tanβ = ，求sin2β的值. 五、解答题（共3道小题，第23，24小题各7分，第25小题8分，共2 2分） 27．已知抛物线 经过原点O及点A（-4，0）和点B（-6，3）． （1）求抛物线的解析式以及顶点坐标； （2）如图1，将直线 沿y轴向下平移后与（1）中所求抛物线只有一个交点C，平移后的直线与y轴交于点D，求直线CD的解析式； （3）如图2，将（1）中所求抛物线向上平移4个单位得到新抛物线，请直接写出新抛物线上到直线CD距离最短的点的坐标及该最短距离． 28.如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=12，对角线交于点O，∠BAD的平分线交BC于E、交BD于F，分别过顶点B、D作AE的垂线，垂足为G、H，连接OG、OH． （1）补全图形； （2）求证：OG=OH； （3）若OG⊥OH，直接写出∠OAF的正切值． 29. 在平面直角坐标系 中，给出如下定义：形如 与 的两个二次函数的图象叫做“兄弟抛物线”． （1）试写出一对兄弟抛物线的解析式 与 ； （2）判断二次函数 与 的图象是否为兄弟抛物线，如果是，求出 与 的值，如果不是，请说明理由； （3）若一对兄弟抛物线各自与 轴的两个交点和其顶点构成直角三角形，其中一个抛物线的对称轴为直线 且开口向上，请直接写出这对兄弟抛物线的解析式． 昌平区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)参考答案及评分标准 一、选择题（共10道小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5] 6 7 8 9 10 答案 C D A C A B D C D B 二、填空题（共6道小题，每小题3分，共18分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 m(y+3)(y-3) k≤1，且k≠0 4 6 1.5 8或4+2 三、解答题（共6道小题，每小题5分，共30分） 17．解： = ………………………………………………………… 4分 = = ． … ……………………………………………………………… 5分 18．证明：∵ ， ， ∴ 即 ． ∴∠EAD=∠CAB． …………………………………… 1分 在△ADE和△ABC中， ∴△ADE≌△ABC．……………………………………… 4分 ∴ AD = AB． ………………………………………… 5分 19．解：去分母，得 ≤2 . ………………………………………………… 2分 移项，合并，得 ≤2． 系数化1，得 x≥-2． ………………………………………………………… 4分 所以原不等式的负整数解为 ． …………………………………………5分 20．解： ……………………………………………………2分 ． ………………………………………………………………………3分 ∵ ， ∴ ， ∴ 原式=1+2=3. ………………………………………………………………………… 5分 21．解：（1）∵ 点 ， 在反比例函数 的图象上， ∴ m=6,n=2. ∴ ，……………………………………………………………………… 1分 ∵ 一次函数 的图象过 ， 两点， ∴…………………………………………………………………… 2分 解方程组，得 ∴ 一次函数的解析式为y=-3x+3.……………………………………… 3分 （2）∵ 一次函数y=-3x+3与y轴交点C(0，3), 且B(2，-3) ∴ 面积为3. ……………………………………………………………………… 4分 ∵ 是 轴上一点，且 的面积是 面积的2倍， ∴ 设 (a,0), ∴ ，解得， . ∴ 点 的坐标为（4,0）或（-4,0）. …………………………………………… 5分 22．解：设小明家到单位的路程是x千米．……………………………… 1分 依题意，得 ．………………………………………… 3分 解这个方程，得 ． ……………………………………………………… 4分 答：小明家到单位的路程是8.2千米． ………………………………………………… 5分 四、解答题（共4道小题，每小题5分，共20分） 23．（1）如图，补全图形． …………………………… 1分 （2）解：连接CE交BD于点F． …………………………… 2分 ∵ 将△BCD沿直线BD翻折，得到△BED， ∴ BD垂直平分CE． ∵ 矩形ABCD ，AB=3，BC=6， ∴ ， ∴ ．………………………………………………………… 3分 ∴ . ∵ ， ∴ ． ∴ ． ……………………………………………………………………… 4分 ∴ ． ∵BD垂直平分CE，O为AC中点， ∴AE=2OF= ． ……………………………………………………………………… 5分 24．解：（1）补全条形统计图，如图所示． …………………………………………………… 2分 （2）100．……………………………………………………………………… 3分 （3）∵样本中喜欢剪纸的人数为30人，样本容量为100， ∴估计全校学生中喜欢剪纸的人数：2023× =360人． 答：全校学生中喜欢剪纸的有360人． ………………………………………………… 5分 25．解：（1） 与⊙O相切． ………………………………… 1分 ∵ ， 又∵ ， ∴ ． ∴ ∥ ． ………………………………… 2分 ∵半径 垂直于弦 于点 ， ∴ ． ∴ 与⊙O相切． ………………………………… 3分 （2）∵半径 垂直于弦 于点 ， =8， ∴ ． ∵ 是⊙O的直径， ∴ ． 在 中， ． ……………………………………… 4分 ∵ ∥ ， ∴ ∽ ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ………………………………………………… 5分 26．解： ． ……………………………………………………………………… 1分 Sin2α= = ． ……………………………………………………………………… 2分 如图，连接 ，并延长交⊙O 于 ,连接MQ，MO，作 于 ． 在⊙O中，∠NMQ=90°． ∵∠Q=∠P=β，ＯＭ＝ＯＮ， ∴∠MON=2∠Q=2β． ………………………………………… 3分 ∵tanβ= ， ∴设MN=k，则MQ=2k， ∴ NQ= ． ∴ OM= NQ= ． ∵ ， ∴ ． ∴ MH= ．………………………………………………………………………………… 4分 在 中，sin2β=sin∠MON = ． …………………………………… 5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．解：（1）∵ 抛物线经过 ， ， 三点， ∴…………………………………………………………………… 1分 解得………………………………………………………………………… 2分 ∴ 抛物线的解析式为 ． ∵ ∴抛物线的顶点坐标为 …………………………………………………… 3分 （2）设直线CD的解析式为 ， 根据题意，得 ，…………………………………………………… 4分 化简整理，得 ， 由 ，解得 ，………………………………………………… 5分 ∴直线CD的解析式为 ． （3）点的坐标为 ， …………………………………………………………… 6分 最短距离为 ． ……………………………………………………………… 7分 28．解：（1） ………………………………………… 1分 （2） 证明：如图，延长AE、DC交于点P． ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD． ∴ ∠ DAE=∠ AEB，∠ BAE=∠ DPA．……………………………………… 2分 ∵ AE平分∠ BAD， ∴ ∠ DAE=∠ BAE， ∴ ∠ BAE=∠ AEB，∠ DAE=∠ DPA． ∴ BA=BE，DA=DP， ……………………………………………………… 3分 又 ∵ BG⊥ AE，DH⊥ AE， ∴ G为AE中点，H为AP中点．…………………………………………… 4分 又 ∵O为AC中点，AD=BC， ∴ ， ．…………………………… 5分 ∴ OG=OH． ………………………………………………………………… 6分 （3） ． ……………………………………………………………………………… 7分 29．解：（1）答案不唯一，只要两个解析式给出相同的a值和相同的m值即可（每空各1分）…… 2分 （2）是兄弟 抛物线，理由如下． ………………………………………………………… 3分 ∵ ， ……………………………………………………… 4分 ， …………………………………………………… 5分 ∴ 二次函数 与 的图象是兄弟抛物线． 此时 ， ． …………………………………………………………………… 6分 （3） ， ；………………………………… 7分 或 ， ．………………………………………… 8分 | 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