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东城区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析) 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的. 1．如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中到原点距离相等的两个点是 A．点B与点D B．点A与点C C．点A与点D D．点B与点C 2.据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约为50 000 000 吨，将50 000 000用科学记数法表示为 A． 5×107 B． 50×106 C． 5×106 D． 0.5×108 3. 下列运算正确的是 A． B． C．D． 4．甲、乙、丙、丁四名运动员参加了射击预选赛，他们射击的平均环数－x及其方差 如下表所示．如果选出一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，应选运动员 甲 乙 丙 丁 －x 7 8 8 7 1 1 1.2 1.8 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 5. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是 A． 6 B． 5 C． 4 D． 3 6．已知一个布袋里装有2个红球，3个白球和a个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从此 布袋里任意摸出1个球，该球是红球的概率为 ，则a等于 A．1 B． 2 C． 3 D． 4 7. 如图，将△ABC沿BC方向向右平移2cm得到△DEF，若△ABC的周长为16cm，则四边形ABFD的周长为 A． 16cm B． 18cm C． 20cm D． 22cm 8．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于 BC的长为半径作弧，两弧相交 于点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若CD=AC，∠B=25°，则∠ACB的度数为 A． 90°B． 95° C． 100°D． 105° 9．如果三角形的一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是 A． 1，2，3 B． 1，1， C． 1，1， D． 1， ， 2 10. 如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB和BC上移动，记PA=x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数图象大致是 A． B． C． D． 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．使 有意义的x的取值范围是 ． 12．如图，AB//CD，∠D = 27°，∠E =36°．则∠ABE的度数是． 13．一次函数 的图象经过第一、二、三象限且经过(0,2)点.任写一个满足上述条件的一次函数的表达式是_________________. 14．小刚用一张半径为24cm的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，那么这张扇形纸板的面积是 _________________ ． 第12题图第14题图 15. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为 ． 16．如图，已知A1，A2，……，An，An＋1在x轴上，且OA1＝A1A2＝A2A3＝……＝AnAn＋1＝1，分别过点A1，A2，……，An，An＋1作x轴的垂线交直线y＝x于点B1，B2，……，Bn，Bn＋1，连接A1B2，B1A2，A2B3，B2A3， ……，AnBn＋1，BnAn＋1，依次相交于点P1，P2，P3，……，Pn，△A1B1P1，△A2B2P2，……，△AnBnPn的面积依次为S1，S2，……，Sn，则S1= ，Sn= ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 计算： 18．如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别 在直线AD的两侧，且 ∠A=∠D. 求证：AF=DC . 19．若实数a满足 ，计算 的值. 20. 已知关于x的方程 有两个相等的实 数根，求实数k的值． 21． A，B两个火车站相距 360km．一列快车与一列普通列车分别从A，B两站同时出发相向而行，快车的速度比普通列车的速度快54km/h，当快车到达B站时，普通列车距离A站还有135km．求快车和普通列车的速度各是多少？ 22．如图，一次函数 的图象经过A（0，﹣2），B（1，0）两点，与反比例函数 的图象在第一象限内的交点为M（m，4）． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）在x轴上是否存在点P，使AM⊥MP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．如图，矩形ABCD中，点O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD 交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO.若∠COB=60°，FO=FC. 求证：（1）四边形EBFD是菱形； （2）MB : OE=3：2 . 24．以下是根据全国人力资源和社会保障部公布的相关数据绘制的统计图的一部分，请你根 据图中信息解答下列问题： （1）2023年全国普通高校毕业生人数年增长率约是多少？（精确到0.1%） （2）2023年全国普通高校毕业生人数约是多少万人？（精确到万位） （3）补全折线统计图和条形统计图． 25．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠BAC的平分线交⊙O于 点D，交⊙O的切线BE于点E，过点D作 DF⊥AC，交AC的延长线于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若DF=3，DE=2．①求 值；②求 的度数． 26 .阅读材料 如图1，若点P是⊙O外的一点，线段PO交⊙O于点A,则PA长是点P与⊙O上各点之间的最短距离. 图1 图2 证明：延长PO 交⊙O于点B，显然PBPA. 如图2，在⊙O上任取一点C（与点A，B不重合），连结PC，OC. ∴PA 长是点P与⊙O上各点之间的最短距离. 由此可以得到真命题：圆外一点与圆上各点之间的最短距离是这点到圆心的距离与半径的差. 请用上述真命题解决下列问题． (1)如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是 上的一个动点，连接AP，则AP长的最小值是． 图3 (2)如图4，在边长为2的菱形 中，∠ =60°， 是 边的中点，点 是 边上一动点，将△ 沿 所在的直线翻折得到△ ，连接 ,①求线段A’M的长度; ②求线段 长的最小值. 五．解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27．在平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于点A（-3,0）、B（1,0）两点， D是抛物线顶点，E是对称轴与x轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点F和点D关于 轴对称, 点P是x轴上的一个动点，过点P作PQ∥OF交抛物线于点Q，是否存在以点O,F,P,Q为顶点的平行四边形？若存在，求出点P坐标;若不存在，请说明理由. 28. 如图1，在 中， ， 是边 上任意一点(点 与点 ， 不重合)，以 为一直角边作 ， ，连接 ， . (1) 若 ， ， ①猜想线段 ， 之间的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论； ②现将图1中的 绕着点 顺时针旋转锐角 ，得到图2，请判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由； (2) 若 ， ， ， ， 绕着点 顺时针旋转锐角 ，如图3，连接 ， ，计算 的值. 29．定义：如果一条直线能够将一个封闭图形的周长和面积平分，那么就把这条直线称作这 个封闭图形的等分线。 （1）请在如下的三个图形中，分别作一条等分线. 圆平行四边形 等腰三角形 (2)请在图中用尺规作图作一条直线 ，使它即是矩形的等分线，也是圆的等分线.(保留作图痕迹，不写作法) 东城区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)参考答案及解析： 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A D B B A C D D B 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 等 240π ； 三、解答题：（本题共30分，每小题5分） 17．原式= ………………4分 = ……………………………………5分 18．证明：∵ BC∥EF， ∴ ..............................................................2分 在 和 中， ......................................................3分 ． 4分 ． 5分 20 . ∵关于x的方程 有两个相等的实数根， ∴ ┉┉4分 解得：k=2． ∴当关于x的方程 有两个相等的实数根时，k=2．┉┉5分 21．解：设普通列车的速度为xkm/h，则快车的速度为（x+54）km/h……1分 由题意，得： 解得：x=90……3分 经检验得：x=90是这个分式方程的解．……4分 x+54=144．……5分 答：普通列车的速度为90km/h，快车的速度为144km/h． 22．解：（1）把A（0，﹣2），B（1，0）代入 得 ， 解得 ， 所以一次函数解析式为 ……2分 把M（m，4）代入 解得m=3， 则M点坐标为（3，4）， 把M（3，4）代入 得k2=12， 所以反比例函数解析式为 ……3分 （2）存在． ∴Rt△OBA∽Rt△MBP……4分 ∴P点坐标为（11，0）．……5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23． 证明:（1）连接 . ∵点 为矩形 的对角线 的中点， ∴ 必过点 且 .………1分 ∵矩形 ， ∴ ， . ∴ . 在 和 中， ∴ . ∴ . ∵ ， ∴四边形 是平行四边形.………2分 ∵ ， ， ∴ 是等边三角形. ∴ . ∴ . ∴ . ∴平行四边形 是菱形.┉┉3分 （2）∵ ， ∴点 在线段 的垂直平分线上. ∵ ， ∴点 在线段 的垂直平分线上. ∴ 是线段 的垂直平分线.………4分 ∴ . 答:2023年全国普通高校毕业生数增长率为3.0% (3) 每图各1分┉┉5分 答:2023年全国普通高校毕业生数约699万人. 25. （1）连结OD， ∵AD平分∠BAC ∴∠DAF＝∠DAO ∵OA=OD ∴∠OAD＝∠ODA ∴∠ DAF＝∠ODA ∴AF∥OD．┉┉1分 ∵DF⊥AC ∴OD⊥DF ∴DF是⊙O的切线┉┉2分 （2）①连接BD ∵直径AB， ∴∠ADB=90° ∵圆O与BE相切 ∴∠ABE=90° ∵∠DAB+∠DBA=∠DBA+∠DBE=90° ∴∠DAB=∠DBE ∴∠DBE=∠FAD ∵∠BDE=∠AFD=90° ∴△BDE∽△AFD ∴ ┉┉3分 ②连接OC，交AD于G 由①，设BE=2x，则AD=3x ∵△BDE∽△ABE∴ ∴ 解得：x1=2，x2＝ （不合题意，舍去） ∴AD=3x=6，BE=2x=4，AE=AD+DE=8 （2）① ②由①知，点A’在以点M为圆心，1为半径的圆上……4分 连接CM交圆M于点A’，过点M向CD的延长线作垂线，垂足为点H. 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 27．解：（1）据题意得 ∴解析式为y= -x2 -2x+3 ……3分 （2）当 时，y=4 ∴顶点D（-1,4）∴F(-1，-4)… 4分 若以点O、F、P、Q为顶点的平行四边形存在，则点Q（x,y）满足 ①当y= - 4时，-x2-2x+3= -4 解得， ∴ ∴ ……6分 ②当y= 4时，-x2-2x+3= 4 解 得，x= - 1 ∴Q3(-1,4) ∴P3(-2,0)……7分 综上所述，符合条件的点有三个即： 28．（1）①解： ， ；……2分 ② ， 仍然成立； 证明：设 与 的交点为点 ， 与 的交点为点 ，如图1. ∵ ， ∴ . 在 和 中， ∴ . ∴ ， .……3分 ∵ ， ， ∴ . ∴ . ∴ .……4分 （2）证明：设 与 的交点为点 ， 的延长线与 的交点为点 ，如图2. ∵ ， ……3分 （2） ……5分 ① 若等分线交边AC于点Q， 此时 ∴ 此种不存在,舍去……7分 ② 若等分线交BC于点Q， ∴等分线交BC于点Q时， ……8分 | 
