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朝阳区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析) 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．某种埃博拉病毒（EBV）长0.000 000 665nm左右．将0.000 000 665用科学记数法表示 应为 A．0. 665×10-6 B．6.65×10-7 C．6.65×10-8D．0. 665×10-9 2．下列二次根式中，能与 合并的是 A． B． C． D． 3．在下面的四个几何体中，它们各自的左视图与主视图不相同的是 A B C D 4．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DE∥BC交AC于点E， 若 ，AE=6，则EC的长为 A . 6 B. 9 C. 15 D. 18 5．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们除了颜色不同外，其余都相同，其中有4个 白球，每次试验前，将盒子中的小球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中. 大量重复上述试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，那么可以推算出n大约是 A . 10B. 14 C. 16 D. 40 甲 10 9 8 5 8 乙 8 8 7 9 8 6．某射击教练对甲、乙两个射击选手的5次成绩（单位：环）进行了统计，如下表 所示： 设甲、乙两人射击成绩的平均数分别为 、 ，射击成绩的方差分别为 、 ，则 下列判断中正确的是 A． ＜ ， ＞B． = ， ＜ C． = ， D． = ， ＞ 7．一个隧道的横截面如图所示，它的形状是以点O为圆心， 5为半径的圆的一部分，M是⊙O中弦CD的中点，EM 经过圆心O交⊙O于点E，若CD=6，则隧道的高（ME的 长）为 A．4 B．6 C．8 D．9 8．某数学课外活动小组利用一个有进水管与出水管的容器 模拟水池蓄水情况：从某时刻开始，5分钟内只进水不出 水，在随后的10分钟内既进水又出水，每分钟的进水量和 出水量是两个常数．容器内的蓄水量y（单位：L）与时间x （单位：min）之间的关系如图所示，则第12分钟容器内的 蓄水量为 A. 22 B. 25 C. 27 D. 28 9. 如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将 矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合，若 此时 = ,则△AMD′ 的面积与△AMN的面积的比为 A．1:3 B．1:4 C．1:6 D．1: 9 10. 如图，矩形ABCD中，E为AD中点，点F为BC上的动点（不 与B、C重合）．连接EF，以EF为直径的圆分别交BE，CE 于点G、H. 设BF的长度为x，弦FG与FH的长度和为y，则 下列图象中，能表示y与x之间的函数关系的图象大致是 D 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．若分式 的值为0，则x的值为． 12．分解因式： ? ． 13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为 ． 14. 如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边中线，分别以点A、C为圆心，以大于 AC长为半径画弧，两弧交点分别为点E、F，直线EF与AD相交于点O，若OA=2，则△ABC外接圆的面积为． (第14题) (第15题) 15．如图，点B在线段AE上，∠1=∠2，如果添加一个条件，即 可得到△ABC≌△ABD，那么这个条件可以是 (要求：不在图中添加其他辅助线，写出一个条件即可 )． 16．如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1:2的两部分，那么称这样的平 行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为 ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于点E， AD⊥CE于点D. 求证：BE=CD． 18．计算： ． 19．解不等式 ，并把它的解集在数轴上表示出来. 20．已知 ，求 的值． 21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于A (-3，1)，B (1，n)两点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）设直线AB与y轴交于点C,若点P在x轴上，使 BP=AC，请直 接写出点 的坐标． 22．列方程或方程组解应用题： 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23．如图，点F在□ABCD的对角线AC上，过点F、 B分别作AB、 AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF=∠FBC+∠FCB． （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）若BE=5，AD=8， ，求AC的长. 24．某校为了更好的开展“学校特色体育教育”，从全校八年级的各班分别随机抽取了5名男生和5名女生，组成了一个容量为60的样本，进行各项体育项目的测试，了解他们的身体素质情况.下表是整理样本数据，得到的关于每个个体的测试成绩的部分统计表、图: 成绩 划记 频数 百分比 优秀 正正正 a 30% 良好 正正正正正正 30 b 合格 正 9 15% 不合格 3 5% 合计 60 60 100% （说明：40---55分为不合格，55---70分为合格，70---85分为良好，85---100分为优秀） 请根据以上信息，解答下列问题： （1）表中的a =，b= ； （2）请根据频数分布表，画出相应的频数分布直方图； （3）如果该校八年级共有150名学生，根据以上数据，估计该校八年级学生身体素质 良好及以上的人数为 ． 25．如图，⊙O是△ABC 的外接圆，AB= AC ，BD是⊙O 的直径，PA∥BC，与DB的延长 线交于点P，连接AD． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若AB= ，BC=4 ，求AD的长． 26．阅读下面材料： 小凯遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O， AC=4，BD=6，∠AOB=30°，求四边形ABCD的面积． 小凯发现，分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足分别为点E、F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和使问题得到解决（如图2）． 请回答：（1）△ABD的面积为 （用含m的式子表示）． （2）求四边形ABCD的面积． 参考小凯思考问题的方法，解决问题： 如图3，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于 点O，AC=a，BD=b，∠AOB= （0°＜ ＜90°），则四边形 ABCD的面积为 （用含a、b、 的式子表示）． 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. 已知：关于 的一元二次方程 ． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为 ， （其中 ＞ ）．若 是关于 的函数，且 ，求这个函数的表达式； （3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使 ，则自变量 的取值范围为． 28．数学活动课上，老师提出这样一个问题:如果AB=BC,∠ABC=60°,∠APC=30°,连接 PB，那么PA、PB、PC之间会有怎样的等量关系呢？ 经过思考后，部分同学进行了如下的交流： 小蕾：我将图形进行了特殊化，让点P在BA延长线上（如图1），得到了一个猜想: PA2+PC2=PB2 . 小东：我假设点P在∠ABC的内部，根据题目条件，这个图形具有“共端点等线段”的特点，可以利用旋转解决问题，旋转△PAB 后得到△P′CB ,并且可推出△PBP′ ,△PCP′ 分别是等边三角形、直角三角形，就能得到猜想和证明方法. 这时老师对同学们说，请大家完成以下问题： （1）如图2，点P在∠ABC的内部， ①PA=4，PC= ，PB=. ②用等式表示PA、PB、PC之间的数量关系，并证明. （2）对于点P的其他位置，是否始终具有②中的结论？若是，请证明；若不是，请举例说明. 29.如图，顶点为A（－4,4）的二次函数图象经过原点（0,0），点P在该图象上，OP交其对称轴l于点M，点M、N关于点A对称，连接PN，ON. （1）求该二次函数的表达式； （2）若点P的坐标是（－6,3），求△OPN的面积； （3）当点P在对称轴l左侧的二次函数图象上运动时， 请解答下面问题： ① 求证：∠PNM＝∠ONM； ② 若△OPN为直角三角形，请直接写出所有符合 条件的点P的坐标. 朝阳区2023九年级数学下学期期中重点试卷(含答案解析)参考答案及评分参考： 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B B A D D C A D 二、填空题 （本题共18分，每小题3分） 11. 3 12. 13. 2 14. 15. 答案不惟一，例如 16. 8或10（写出一个正确结果给1分） 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17. 证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE， ∴∠BEC=∠CDA＝90°. ………………………1分 ∴∠EBC＋∠ECB＝90°. 又∵∠DCA＋∠ECB＝90°， ∴∠EBC=∠DCA. ………………………………2分 又∵BC=AC，……………………………………3分 ∴△BEC≌△CDA. ………………………………………………………………4分 ∴BE＝CD. ………………………………………………………………………5分 18. 解：原式 ＝ . ………………………………………………………4分 ＝ . ……………………………………………………………………5分 19. 解： .……………………………………………………………………1分 .……………………………………………………………………2分 . …………………………………………………………………………3分 解得 . ………………………………………………………………………4分 …………………………5分 20. 解： ＝ . ……………………………………………3分 ＝ ＝ .……………………………………………………………………………4分 ∵ ， ∴原式＝ . ………………………………………………………………5分 21. 解：（1）把A (-3，1)代入，有 ， 解得 . ∴反比例函数的表达式为 . ……………………………………1分 当 时， . ∴B（1，－3）. …………………………………………………………2分 把A (-3，1)，B（1，－3）代入 ，有 ， 解得 . ∴一次函数的表达式为 . ……………………………………3分 （2）（4，0）或（－2，0）. ……………………………………………………5分 22. 解：设小白家这两年用水的年平均下降率为x. …………………………………………1分 由题意，得 .………………………………………2分 解得， .……………………………………………3分 ∵ 不符合题意，舍去.………………………………………………4分 ∴ 答：小白家这两年用水的年平均下降率为 ………………………………5分 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 23.（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形． ∵∠ABF=∠ FBC＋∠FCB，∠AFB=∠FBC＋∠FCB， ∴∠ABF=∠AFB． …………………………………………………………………1分 ∴AB＝AF. ∴□ABEF是菱形． ………………………………………………………………2分 （2）解：作DH⊥AC于点H， ∵ ， ∴ . ∵BE∥AC， ∴ . ∵AD∥BC， ∴ . ∴ . Rt△ADH中， .………………………………………………3分 . ∵四边形ABEF是菱形， ∴CD= AB=BE=5， Rt△CDH中， . ………………………………………………4分 ∴ .…………………………………… ……5分 24.（1）18，50%. …………………………………………………………………………2分 （2） …………………………………………4分 （3）120. ………………………………………………………………………………5分 25.（1）证明：连接OA交BC于点E， 由AB=AC可得OA⊥BC ．………………………1分 ∵PA∥BC， ∴∠PAO=∠BEO=90°. ∵OA为⊙O的半径， ∴PA为⊙O的切线. …………………………… 2分 （2）解：根据（1）可得CE= BC=2． Rt△ACE中， . ………………………………3分 ∴tanC= ． ∵BD是直径， ∴∠BAD =90°．…………………………………………………………4分 又∵∠D =∠C， ∴AD= .………………………………………………………5分 26. 解：（1） ；……………………………………………………………………………1分 （2）由题意可知∠AEO=90°． ∵ AO= m ，∠AOB=30°， ∴AE= ． ∴S△ABD= ． 同理，CF= ． ∴S△BCD= ．…………………………………………………2分 ∴S四边形ABCD= S△ABD＋S△BCD ．…………………………………………………3分 解决问题： ．………………………………………………………………5分 五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分） 27. （1）证明： 是关于 的一元二次方程， 1分 =4． 即 ． 方程有两个不相等的实数根． 2分 （2） 解：由求根公式，得 ． ∴ 或 ． 3分 ， ＞ ， ， ． 4分 ． 即 为所求．………………………………………………………5分 （3）0＜ ≤ ． …………………………………………………………………………7分 28. （1）① ；……………………………………………………………………………1分 ② . …………………………………………………………2分 证明：作∠PBP′＝∠ABC＝60°，且使BP′＝BP，连接P′C、P′P. ……………3分 ∴∠1＝∠2. ∵AB＝CB， ∴△ABP≌△CBP′. …………………………4分 ∴PA＝P′C，∠A＝∠BCP′. 在四边形ABCP中， ∵∠ABC＝60°，∠APC＝30°， ∴∠A＋∠BCP＝270°. ∴∠BCP′＋∠BCP＝270°. ∴∠PCP′＝360°－(∠BCP′＋∠BCP)＝90°. ……………………………………5分 ∵△PBP′是等边三角形. ∴PP′＝PB. 在Rt△PCP′中， .……………………………………………6分 ∴ . （2）点P在其他位置时，不是始终具有②中猜想的结论，举例： 如图，当点P在CB的延长线上时， 结论为 . （说明：答案不惟一） ……………………………………………………………………………………………7分 29.（1）解：设二次函数的表达式为 ， 把点（0,0）代入表达式，解得 . ………………………………………1分 ∴二次函数的表达式为 ， 即 . ……………………………………………………………2分 （2）解：设直线OP为 ， 将P（－6,3）代入 ，解得 ， ∴ . 当 时， . ∴M（－4,2）. ……………………………………………………………………3分 ∵点M、N关于点A对称， ∴N（－4,6）. ∴MN＝4. ∴ . ……………………………………………………4分 （3）①证明：设点P的坐标为 ， 其中 ， 设直线OP为 ， 将P 代入 ，解得 . ∴ . 当 时， . ∴M（－4, ）. ∴AN＝AM＝ ＝ . 设对称轴l交x轴于点B，作PC⊥l于点C， 则B（－ 4,0），C . ∴OB＝4，NB＝ ＝ ，PC＝ ， NC＝ ＝ . 则 ， . ∴ . 又∵∠NCP＝∠NBO＝90°， ∴△NCP∽△NBO. ∴∠PNM＝∠ONM. …………………………………………………………………6分 ② （ ）. ………………………………………………………………8分 其他正确解法，请参考标准给分. | 
