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赣州市2023九年级数学下学期期中重点试题(含答案解析) 一、选择题：（本大题6小题，每小题3分，共18分；每小题只有一个正确选项．） 1、下列各实数中，最小的是（ ★ ）． A． B．C．D． 2、下列运算中，正确的是（ ★ ）． A． B． C．D． 3、已知 、 是一元次方程 的两个根，则 的值是（ ★ ）． A． B． C． D． 4、如图，将一张正六边形纸片的阴影部分剪下，拼成一个四边形，若拼成的四边形的面积为 ，则纸片的剩余部分的面积为 （ ★ ）． A． B． C． D． 5、若不等式组 有解，则 的取值范围在数轴上表示为（ ★ ）． 6、已知二次函数 与 轴交于点 与 ,其中 ，方程 的两根为 、 （ ），则下列判断正确的是（ ★ ）． A． ≥ B． C．D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.） 7、若 ，化简★ ． 8、如图，在 中， ，EF∥AD. 请直接写出 与AE相等的线段★ (两对即可)，写出满足勾股定理的等式 ★ (一组即可)． 9、化简 = ★ ． 10、一个扇形的圆心角为144°，半径长为0.3 m，小志好奇的思考着：这个扇形的周长是 ★ (可以使用科学计算器，结果精确到0.01) ． 11、在⊙O中，直径 ，连结AD；已知 ，则 = ★ ． 12、如图，正方体的棱长为 ，沿着共一个顶点的 三个正方形的对角线裁截掉一个几何体之后，截面 △ABC的面 积= ★ ． 13、将抛物线 ，绕着点 旋转 后，所得到的新抛物线 的 解析式是★ ． 14、以线段AC为对角线的四边形ABCD（它的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列），已知AB=BC=CD， ， ；则 的大小为★． 三、（本大题共4题，每题6分，共24分．） 15、计算： 16、已知 、 满足方程组 求代数式 的值． 17、如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上任意一点，请你仅用无刻度直尺、用连线的方法，分别在图(1)、图(2)中按要求作图(保留作图痕迹，不写作法). （1）在图（1）中，在AB边上求作一点N，连接CN，使CN = AM； （2）在图（2）中，在AD边上求作一点Q，连接CQ，使CQ∥AM. 18、如图，三根同样的绳子AA1、BB1、CC1穿过一块木板，姐妹两人分别站在木板的左、右两侧，每次各自选取本侧的一根绳子，每根绳子被选中的机会相等． （1）问：“姐妹两人同时选中同一根绳子”这一事件是 ★ 事件，概率是 ★； （2）在互相看不见的条件下，姐姐先将左侧A、C两个绳端打成一个连结，则妹妹从右侧A1、B1、C1三个绳端中随机选两个打一个结（打结后仍能自由地通过木孔）；请求出“姐姐抽动绳端B，能抽出由三根绳子连结成一根长绳”的概率是多少？ 四、（本大题4小题，每小题8分，共32分．） 19、2023年7月25日全国青少年校园足球比赛落幕，某学校为了解本校2023名学生对本次足球赛的关注程度，以利于做好教育和引导工作，随机抽取了本校内的六、七、八、九四个年级部分学生进行调查，按“各年级被抽取人数”与“关注程度”，分别绘制了条形统计图（图1-1）、扇形统计图（图1-2）和折线统计图(图2). （1）本次共随机抽查了 ★ 名学生，根据信息补全图（1-1）中条形统计图，图(1-2)中八年级所对应扇形的圆心角的度数为 ★ °； （2）如果把“特别关注”、“一般关注”、“偶尔关注”都看作成关注，那么全校关注足球赛的学生大约有多少名？ （3）①、根据上面的统计结果，谈谈你对该校学生对足球关注的现状的看法及建议； ②、如果要了解学校中小学生校园足球的关注情况，你认为应该如何进行抽样？ 20、如图，在平面直角坐标系xOy中，点 ， 在反比例函数 （m为常数）的图象上，连接AO并延长与图象的另一支有另一个交点为点C，过点A的直线l与x轴的交点为点 ，过点C作CE∥x轴交直线l于点E． （1）求m的值，并求直线l对应的函数解析式； （2）求点E的坐标； （3）过点B作射线BN∥x轴，与AE的交于点M (补全图形)， 求证： ． 21、如图 ，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面， 请观察图形并解答下列问题． （1）问：依据规律在第6个图中，黑色瓷砖有 ★ 块，白色瓷砖有 ★ 块； （2）某新学校教室要装修，每间教室面积为68m2，准备定制边长为0.5米的正方形白色瓷砖和长为0.5米、宽为0.25米的长方形黑色瓷砖来铺地面．按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好完成铺设.已知白色瓷砖每块20元，黑色瓷砖每块10元，请问每间教室瓷砖共需要多少元？ 2 2、如图，AB是⊙O的直径，AC、BC是⊙O的弦，AD∥BC，且∠DCA=∠B， 连结OD． （1）求证：DC与⊙O相切； （2）若sin B= ，OD= ， 求⊙O的半径长． 五、（本大题1小题，共10分．） 23、如图1，等边三角形ABC的边长为4，直线l经过点A并与AC垂直．当点P从点A开始沿射线AM运动，连接PC，并将△ACP绕点C按逆时针方向旋转 得到△BCQ，记点P的对应点为Q，线段PA的长为m（ ），当点Q恰好落在直线l上时，点P停止运动． (1)在图1中，当 ，求 的值； (2)在图2中，已知 于点 ， 于点 ， 于点 ，试问： 的值是否会随着点P的运动而改变？若不会，求出 的值；若会，请说明理由. (3)在图3中，连接PQ，记△PAQ的面积为S，请求出S与m的函数关系式（注明m 的取值范围），并求出当m为何值时，S有最大值？最大值为多少？ , 六、（本大题1小题，共12分．） 24、在平面直角坐标系中 中，正方形 ， ， ，．．．，按如图的方式放置．点 ．．． 和点 ．．． 分别落在直线 和x轴上．抛物线 过点 、 ，且顶点在直线 上，抛物线 过点 、 ，且顶点在直线 上，．．．，按此规律，抛物线 过点 、 ，且顶点也在直线 上，其中抛物线 交正方形 的边 于点 ，抛物线 交正方形 的边 于点 ．．．，抛物线 交正方形 的边 于点 (其中 且 为正整数）． （1）直接写出下列点的坐标： ★， ★， ★； （2）写出抛物线 、 的解析式，并写出其中一个解析式的求解过程，再猜想抛物线 的顶点坐标★； （3）①、设 ， ，试判断 与 的数量关系并说明理由； ②、点 、 、．．．， 是否在一条直线上？若是，直接写出这条直线与直线 的交点坐标；若不是，请说明理由． 赣州市2023九年级数学下学期期中重点试题(含答案解析)参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 1、A； 2、D； 3、C； 4、B； 5、C； 6、D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 7、 ； 8、 任选两个， 或者 (每个正确等式1分)； 9、 ； 10、 ；11、 ； 12、 ；13、 ； 14、 或 (答对一个得1分，两个得3分，填入错误答案的得0分)． 三、（本大题4小题，每小题6分，共24分．） 15、解：原式 ……………………………………………４分 . ……………………………………………6分 16、解：用代入元消元法或加减消元法，恒等变形方程①、②，正确的给步骤分2分； 解方程组得 ………………………………………………………４分 原式 ．………………………………………………………6分 17、解:作图如下：（每小题3分） ……………………………6分 18、解：（1）随机；… …………………………………………………………………1分 ；……………………………………………………………………3分 （2）解法一：直接列举所有可能的结果如下： ACA1B1，ACA1C1，ACB1C1；…5分 可知共有3种等可能的结果，其中符合题意的有2种(ACA1B1、 ACB1C1)， 故P(A) ； …………………………………………………………………6分 解法二:树状图如下: …………………………………………………5分 可知共有3种等可能的结果，其中符合题意的有2种，P(A) ；……………6分 四、（本大题4小题，每小题8分， 共32分．） 19、解:（1）200；补全如图；144°；(每空1分)………………………………3分 （2）解法一：根据题意得：不关注的学生所占的百分比为 ； 所以全校关注足球赛的学生大约有2023×（1-45%）=2023（人）；…………………6分 解法二：根据题意得：关注的学生所占的百分比为 , 所以全校关注足球赛的学生大约有2023×55%=2023 (人)；……………………………6分 （3）①、根据以上所求可得出：只有55%的学生关注足球，有45%的学生不关注，可以看出仍有部分学生忽略了足球的关注，希望学校做好教育与引导工作，加大对足球进校园的宣传力度，让校园足球得到更多的关注和支持，推动校园足球的发展. …………7分 ②、考虑到样本具有的随机性、代表性、广泛性，如果要了解中 小学生对足球的关注的情况，抽样时应针对不同的年级、不同性别、不同年龄段的学生进行随机抽样．（只要给出合理看法与建议，即可得分）……………………………………………………………8分 20、解：（1）∵ 点 在反比例函数 （m为常数）的图象上， ∴ ．……………………………………………………………1分 ∴ 反比例函数 （m为常数）对应的函数表达式是 ． 设直线l对应的函数表达式为 （k，b为常数，k≠0）． ∵ 直线l经过点 ， ，∴ ………………………2分 解得 ∴ 直线l对应的函数表达式为 ． ……………… 3分 （2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C的坐标为 ．……… 4分 ∵ CE∥x轴交直线l于点E， ∴ ． ∴ 点E的坐标 为 ．……………………… 5分 （3）如图7，作AF⊥BN于点G，与射线BN交于点G， 作CH⊥BN 于点H， ∵ 点 在反比例函数图象上，∴ ， ∴ ， ， ．……………6分 在Rt△ABG中， ， 在Rt△BCH中， ， ∴ ．……………………………………………8分 21、解:（1）28块，42块；……………………………………………2分 (2)设共铺了n层白色瓷砖，则: 0.5×0.25×4(n+1)+0.52×n(n+1)=68, ……………………………5分 n2+3n-270=0, 解得:n1=15，n2=-18(不合题意，舍去)； ……………………………7分 10×4×(15+1)+20×15×(15+1)=2023元; 答: 每间教室瓷砖共需要2023元. ……………………………………8分 22、（1）证明：连接OC． ∵OA、OC为半径，∴∠1=∠2，………………………1分 ∵AB是⊙O的直径，∴∠1+∠B=90°， ……………2分 已知∠DCA=∠B，又∵∠1=∠2， ∴∠OCD=∠2+∠DCA=∠1+∠B= 90° ； 所以得：DC与⊙O相切．……………………………3分 （2）、解法一： ∵AD∥BC，AB是⊙O的直径， ∴∠DAC=∠ACB=90°， ∵∠B=∠3，∴△ABC∽△DCA， …………… 4分 ∴ ， ∵∠B的正弦值为 ，设AC= ，AB=3k，则BC=2k；…………………5分 ∵ ，∴ ， ，……………………………………6分 在Rt△OCD中，OD= ，OC= ， ∴ ，…………………………………………………7分 ∴解得k=2，∴⊙O的半径长为3．………………………………………………8分 (2)、解法二：设⊙O的半径为R，则AB=2R . 在Rt△ABC中，sinB= ，∴AC= ; …………………………… 4分 ∵AD∥BC，AB是⊙O的直径， ∴∠DAC=∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，∵cos∠3=cos∠B= ， ……………………………… 5分 ∴CD= ， ……………………………………………………6分 在Rt△OCD中，由 ，得 ； ………7分 ∴R=3，故⊙O的半径为3． ……………………………………………………8分 五、（本大题1小题，共10分．） 23、解：（1） ， ， 又 ， ， 由旋转的性质可知 ，……………………………………1分 ；…………………………… ………………………………2分 （2）解法一： △ABC是正三角形， ， 由旋转的性质可知 ， ， 设 ， ， ， ， ∥ , ,………………………………3分 又 ， ， ， 四边形DEQF是矩形， ， 又 ， ； ………………4分 的值不会随点P的运动而改变大小，始终为一定值，此定值为 ； ………………………………………………………………… 5分 解法二：如图所示，过点 作 ∥ 交 于点 ， △ABC是正三角形， ， ∥ ， ，…………………………3分 由旋转的性质可知 ， ， 又 ， ， ∥ ，又 ， ， …………4分 ， ； 的值不会随点P的运动而改变大小，始终为一定值，此定值为 ； ………………………………………………………………………… 5分 点评：本小题求证的是一个角度的定值问题，解法一是利用代数方法解决几何问题， 解法二是利用几何推理来证明；本意是加强学生的图形与几何的逻辑推理（严格证 明）以 及代数几何综合能力．若还有其它解法，请参照评分. （3） ， ， ， ， ， ， ， ，又四边形DEQF是矩形，……………………………6分 ，……………………………………………7分 ， 即 （ ），………………………………8分 当 时，……… ……………………………9分 ， ， 有最大值，最大值为 . ………………………10分 六、（本大题1小题，共12分．） 解：（1） （1，1）， （3，2）， （7，4）；……………………2分 （2）抛物线 、 的解析式分别为： ， ； ……………………………4分 抛物线 的解析式的求解过程： 对于直线y=x+1，设x=0，可得y=1， ， 是正方形， ，又点 在直线y=x+1上， 可得点 ，又 的坐标为 ， 抛物线 的对称轴为直线 ， 抛物线 的顶点为 ， ………………………………5分 设抛物线 的解析式为： ， 过点 （3，2）， 当 时， ，，解得： ， 抛物线 的解析式为： ； …………………………6分 抛物线 的解析式的求解过程： 又 的坐标为 ，同上可求得点 的坐标为 ， 抛物线 的对称轴为直线 ， 抛物线 的顶点为 ， ………………………………5分 设抛物线 的解析式为： ， 过点 （7，4）， 当 时， ， ，解得： ， 抛物线 的解析式为： ；………………………6分 猜想抛物线 的顶点坐标为 ；…………………8分 （猜想过程：方法1：可由抛物线 、 、 …的解析式： ， ， …，归纳总结； 方法2：可由正方形AnBnCnCn-1顶点An、Bn的坐标规律An 与 Bn ，再利用对称性可得抛物线 的对称轴为直线 ，即 ，又顶点在直线 y=x+1上， 所以可得抛物线 的顶点坐标为 ； (3)：①、 与 的数量关系为： ，……………………………………9分 理由如下：同（2）可求得 的解析式为 ， 当 时， 解得： ， ， ， ， ， ， ，即 ；……………………………………………10分 同理可求得 ， ， ，即 ，………………………………………………11分 ； ②点 、 、．．．， 是在一条直线上； | 
