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延庆区2023九年级数学下册期中重点试卷(含答案解析) 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1．2023年清明小长假延庆县的旅游收入约为2023万，将2023用科学记数法表示应为（ ） A． B． C． D． 2. 的倒数是（ ） A．B． C． D． 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号是奇数的概率为（ ） A. B. C.D. 4．如图，△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC， 若∠1=35°，则∠B的度数为（ ） A . 25°B. 35° C. 55° D. 65° 5．关于x的方程 有两个相等的实数根，那么m的值为（ ） A． B．C．1 D． 2 6．在下列交通标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） 7．若把代数式 化为 的形式，其中m，k为常数，结果为（ ） A．B．C． D． 8．如图，在△ABC中，点 分别在 边上， ， 若AD＝1，BD＝2，则 的值为（ ） A． B． C．D． 9．某校 学生参加体育测试，某小组10名同学的完成引体向上的个数如下表， 完成引体向上的个数 10 9 8 7 人 数 1 1 3 5 这10名同学引体向上个数的众数与中位数依次是（ ） A．7和7.5B．7和8 C．7.5和9 D．8和9 10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点P是斜边AB上一点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致是（ ） 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．分解因式： ． 12．若分式 的值为0，则x的值等于_________． 13．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8， 则AB的长为 ． 14．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，-2）的抛物线 的表达式__________． 15. 学习勾股定理相关内容后，张老师请同学们交流这样的一个问题：“已知直角三角形的两条边长分别为3，4，请你求出第三边．”张华同学通过计算得到第三边是5，你认为张华的答案是否正确：________，你的理由是 _______________________________________． 16. 将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图16-1．在图16-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图16-1所示的状态，那么按上述规则连续完成3次变换后，骰子朝上一面的点数是________；连续完成2023次变换后，骰子朝上一面的点数是________． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17．如图，△ABC中，∠ACB=90°，延长AC到D，使得CD=CB，过点D作DE⊥AB于点E，交BC于F．求证：AB=DF． 18．计算： ． 19．解不等式组： 20．已知 ，求代数式 的值. 21．如图，一次函数 的图象与反比例函数 （ 为常数，且 ）的图象都经过 点A（m，2）． （1）求点A的坐标及反比例函数的表达式； （2） 设一次函数 的图象与x轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△ABP的面积是2，直接写出点P的坐标． 22．列方程或方程组解应用题： 八年级的学生去距学校10千米的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟，其余的学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求骑车学生每小时走多少千米？ 四、 解答题（本题共20分，每小题5分） 23. 如图，点O是△ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG. （1）求证：四边形DEFG是平行四边形； （2）如果∠OBC=45°，∠OCB=30°，OC=4，求EF的长． 24. 某区对市民开展了有关雾霾的调查问卷，调查内容是“你认为哪种措施治理雾霾最有 效”，有以下四个选项： A．使用清洁能源B．汽车限行 C．绿化造林 D．拆除燃煤小锅炉 调查过程随机抽取了部分市民进行调查，并将调查结果绘制了两幅不完整的统计图，请回答下列问题： （1）这次被调查的市民共有人． （2）请你将统计图1补充完整． （3）已知该区人口为202300人，请根据调查结果估计该市认同汽车限行的人数． 25. 如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM． （1）求证：∠ACM=∠ABC； （2）延长BC到D，使CD = BC，连接AD与CM交于点E，若⊙O的半径为2，ED =1，求AC的长． 26. 阅读下面资料： 问题情境： （1）如图1，等边△ABC，∠CAB和∠CBA的平分线交于点O，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点O重合，已知OA=2，则图中重叠部分△OAB的面积是 ． 探究： （2）在（1）的条件下，将纸片绕O点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与AB，AC交于点E，F，求图2中重叠部分的面积． （3）如图3，若∠ABC=α（0°＜α＜90°），点O在∠ABC的角平分线上，且BO=2，以O为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠ABC的两边AB，AC分别交于点E、F，∠EOF=180°﹣α，直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示） 五、解答题（本题共22分，第27题7分、28题各7分，29题8分） 27. 二次函数 的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0）， 经过点B，且与二次函数 交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C． （1）求二次函数的表达式； （2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值. 28. 已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点. （1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系是 ； （2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明； （3）如图3，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明. 29. 对于平面直角坐标系xOy中的点P和线段AB，给出如下定义：在线段AB外有一点P，如果在线段AB上存在两点C、D，使得∠CPD=90°，那么就把点P叫做线段AB的悬垂点． （1）已知点A（2，0），O（0，0） ①若 ，D（1，1），E（1，2），在点C，D，E中，线段AO的悬垂点是______； ②如果点P（m，n）在直线 上，且是线段AO的悬垂点，求 的取值范围； （2）如下图是帽形M（半圆与一条直径组成，点M是半圆的圆心），且圆M的半径是1，若帽形内部的所有点是某一条线段的悬垂点，求此线段长的取值范围． 延庆区2023九年级数学下册期中重点试卷(含答案解析)参考答案及解析： 一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C B C B B A D 二、填空题（共4个小题，每题4分，共16分） 题号 11 12 13 14 15 16 答案 (x+2)(x-2)y 1 8 不正确； 若4为直角边，第三边为5；若4为斜边，第三边为 3,6 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 17． 证明： 证明：∵ DE⊥AB ∴∠DEA=90° ∵∠ACB=90° ∴∠DEA=∠ACB ∴∠D=∠B 在△DCF和△ACB中 ∴ ∴AB=DF 18．解： 19. 解：由①得：x-1 由①得： ∴ ∵ ∴ ∴原式=9 21. ⑴ ∵点A（m，2）在一次函数 的图象上， ∴m=1． ∴点A的坐标为(1,2)． ∵点 的反比例函数 的图象上，∴k=2． ∴反比例函数的解析式为 ． ⑵ 点P的坐标为(1,0)或(-3,0)． 22. 解：骑车学生每小时走x千米，乘车学生每小时走2x千米 由题意得： 解方程得：60-30=2x ∴x=15， 经检验：x=15是所列方程的解，且符合实际意义， 答：骑车学生每小时走15千米． 23.证明： （1）∵ D、G分别是AB、AC的中点 ∴ ∵ E、F分别是OB、OC的中点 ∴ ∴ ∴四边形DEFG是平行四边形 （2）过点O作OM⊥BC于M， Rt△OCM中，∠OCM=30°，OC=4 ∴ ∴ Rt△OBM中，∠BMO=∠OMB=45°， ∴ ∴ ∴ 24.（1）200 （2） （3） 25.证明： （1）证明：连接OC. ∵ AB为⊙O的直径， ∴ ∠ACB = 90°. ∴ ∠ABC ＋∠BAC = 90°. ∵ CM是⊙O的切线， ∴ OC⊥CM. ∴ ∠ACM ＋∠ACO = 90°. 1分∵ CO = AO， ∴ ∠BAC =∠ACO. ∴ ∠ACM =∠ABC. 2分 （2）解：∵ BC = CD，OB=OA, ∴ OC∥AD. 又∵ OC⊥CE, ∴CE⊥AD. --------------------------------------------------3分[ ∵ ∠ACD =∠ACB = 90°, ∴ ∠AEC =∠ACD. ∴ ΔADC∽ΔACE. ∴ . 4分 而⊙O的半径为2, ∴ AD = 4. ∴ . ∴ AC= 23 . 5分 26. (1) (2) 连接AO、BO，如图②， 由题意可得：∠EOF=∠AOB，则∠EOA=∠FOB． 在△EOA和△FOB中， ∴△EOA≌△FOB． ∴S四边形AEOF=S△OAB． 过点O作ON⊥AB，垂足为N，如图， ∵△ABC为等边三角形， ∴∠CAB=∠CBA=60°． ∵∠CAB和∠CBA的平分线交于点O ∴∠OAB=∠OBA=30°． ∴OB=OA=2． ∵ON⊥AB， ∴AN=NB，ON=1． ∴AN= ∴AB=2AN=2 ． ∴S△OAB=AB?ON= ． S四边形AEOF= (3) S面积=4sin cos ． 27. 解：（1）∵二次函数 的图象经过点A（﹣1，4），B（1，0） ∴ ∴m=-2,n=3 ∴二次函数的表达式为 （2） 经过点B ∴ ∴ ∴ ∴MN的最大值为 28.解： （1）AE∥BF，QE=QF， （2）QE=QF， 证明：如图2，延长EQ交BF于D， ∵AE∥BF， ∴∠AEQ=∠BDQ， 在△BDQ和△AEQ中 ∴△BDQ≌△AEQ（ASA）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP， ∴FQ是Rt△DEF斜边上的中线， ∴QE=QF=QD， 即QE=QF． （3）（2）中的结论仍然成立， 证明：如图3， 延长EQ、FB交于D， ∵AE∥BF， ∴∠AEQ=∠D， 在△AQE和△BQD中 ， ∴△AQE≌△BQD（AAS）， ∴QE=QD， ∵BF⊥CP， ∴FQ是Rt△DEF斜边DE上的中线， ∴QE=QF． 说明：第三问画出图形给1分 29. （1）线段AO的悬垂点是C，D； （2）以点D为圆心，以1为半径做圆， 设 与⊙D 交于点B，C 与x轴，y轴的交点坐标为（1,0），（0，-1） ∴∠ODB=45° ∴DE=BE 在Rt△DBE中， 由勾股定理得：DE= ∴ （3）设这条线段的长为a ①当 时，如图1，凡是⊙D外的点不满足条件； ②当 时，如图2，所有的点均满足条件； ③当 时，如图3，所有的点均满足条件； | 
