无锡市2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

无锡市2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处）

1．16的算术平方根是（）

A． ±4 B． ﹣4 C． 4 D． ±8

2．下列图案不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（）

A． 20° B． 50° C． 80° D． 100°

4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A． 4，5，6 B． 2，3，4 C． ，3，4 D． 1， ，3

5．2023900精确到十万位的近似值为（）

A． 3.18×106 B． 3.19×106 C． 3.1×106 D． 3.2×106

6．若点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是（）

A． a＜0 B． a＞3 C． ﹣3＜a＜0 D． 0＜a＜3

7．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，如果只添加一个条件使△ABC≌△DEC，则添加的条件不能为（）

A． AB=DE B． ∠B=∠E C． AC=DC D． ∠A=∠D

8．如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（）

A． B．

C． D．

9．若A（x1，y1） 、B（x2，y2）是一次函数y=ax﹣2x+1图象上的不同的两个点，记m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，a的取值范围是（）

A． a＜0 B． a＞0 C． a＜2 D． a＞2

10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）

A． y=﹣x B． y=﹣ x C． y=﹣ x D． y=﹣ x

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处）

11．计算： =．

12．写出一个大于1且小于2的无理数．

13．已知点P的坐标是（2，3），则点P到x轴的距离是．

14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，CD=8，则DE的长等于．

15．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=15，BD=17，则点D到BC的距离是．

16．如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差km/h．

17．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE=．

18．如图，在一张长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的底边的长为cm．

三．解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（1）计算： ；

（2）求（x﹣3）2=16中的x的值．

20．如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作 CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD=CF．

21．如图，在∠AOB内找一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且使点P到点C的距离最短（尺规作图，请保留作图痕迹）．

22．在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（2，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．

（1）求直线l的函数关系式；

（2）求△AOB的面积．

23．某工厂计划生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：

A种产品 B种产品

成本（万元/件） 2 5

利润（万元/件） 1 3

（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？

（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．

24．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）△ABC的面积为．

（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为 ， ， ，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为．

（3）在△ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为．

25．一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动．快车离乙地的路程y1（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段AB所示．慢车离甲地的路程y2（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段AC所示．根据图象进行以下研究．

解读信息：

（1）甲、乙两地之间的距离为km；

（2）线段AB的解析式为；两车在慢车出发小时后相遇；

问题解决：

（3）设快、慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画出函数的图象．

26．【问题背景】

如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△A DG，再证明△AEF≌

△AGF，可得出结论，他的结论应是；

【探索延伸

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

【结论应用】

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的 速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．

【能力提高】

如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为．

四、附加题

27．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为xE、xF，当BD平分△BEF的面积时，求xE+xF的值；

（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．

无锡市2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处）

1．16的算术平方根是（）

A． ±4 B． ﹣4 C． 4 D． ±8

考点： 算术平方根．

分析： 根据算术平方根的定义求解即可求得答案．

解答： 解：∵42=16，

∴16的算术平方根是4．

故选C．

点评： 此题主要考查了算术平方根的定义，解决本题的关键是明确一 个正数的算术平方根就是其正的平方根．

2．下列图案不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．

分析：根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

解答： 解：A、是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项正确．

故选D．

点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．若等腰三角形的顶角为80°，则它的一个底角度数为（）

A． 20° B． 50° C． 80° D． 100°

考点： 等腰三角形的性质．

分析： 由已知顶角为80°，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的一个底角的值．

解答： 解：∵等腰三角形的顶角为80°，

∴它的一个底角为（180°﹣80°）÷2=50°．

故选：B．

点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．

4．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A． 4，5，6 B． 2，3，4 C． ，3，4 D． 1， ，3

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解答： 解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；

B、22+32≠64，不能构成直角三角形，故不符合题意；

C、（ ）2+32=42，能构成直角三角形，故符合题意；

D、12+（ ）2≠32，不能构成直角三角形，故不符合题意．

故选C．

点评： 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

5．2023900精确到十万位的近似值为（）

A． 3.18×106 B． 3.19×106 C． 3.1×106 D． 3.2×106

考点： 科学记数法与有效数字．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于2023900有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．

解答： 解：2023900精确到十万位的近似值为3.2×107，

故选：D．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．

6．若点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是（）

A． a＜0 B． a＞3 C． ﹣3＜a＜0 D． 0＜a＜3

考点： 点的坐标．

分析： 根据第四象限内的点的横坐标大于零，纵坐标小于零，可得不等式组，根据姐不等式组，可得答案．

解答： 解：由点P（a，a﹣3）在第四象限，得

．

解得0＜a＜3，

故选：D．

点评： 本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．

7．如图，已知BC=EC，∠BCE=∠ACD，如果只添加一个条件使△ABC≌△DEC，则添加的条件不能为（）

A． AB=DE B． ∠B=∠E C． AC=DC D． ∠A=∠D

考点： 全等三角形的判定．

分析： 先求出∠ACB=∠DCE，再根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可．

解答： 解：∵∠BCE=∠ACD，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，

∴∠ACB=∠DCE，

A、根据BC=CE，AB=DE，∠ACB=∠DCE不能推出△ABC≌△DEC，故本选项正确；

B、因为∠ACB=∠DCE，∠B=∠E，BC=CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；

C、因为BC=CE，∠ACB=∠DCE，AC=CD，所以符合SAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；

D、因为∠A=∠D，∠ACB=∠DCE，BC=CE，所以符合AAS定理，即能推出△ABC≌△DEC，故本选项错误；

故选A．

点评： 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，能理解和运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，难度适中．

8．如图，已知△ABC（AB＜BC＜AC），用尺规在AC上确定一点P，使PB+PC=AC，则下列选项中，一定符合要求的作图痕迹是（）

A． B．

C． D．

考点： 作图—复杂作图．

专题： 作图题．

分析： 利用PA+PC=AC，PB+PC=AC得到PA=PB，则根据线段垂直平分线的逆定理得到点P在线段AB的垂直平分线上，于是可判断C正确．

解答： 解：∵点P在AC上，

∴PA+PC=AC，

而PB+PC=AC，

∴PA=PB，

∴点P在线段AB的垂直平分线上，

所以作线段AB的垂直平分线交AC于点P．

故选C．

点评： 本题考查了作图﹣复杂作图：结合了几何图形的性质和基本作图方法解决问题．

9．若A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=ax﹣2x+1图象上的不同的两个点，记m=（x1﹣x2）（y1﹣y2），则当m＜0时，a的取值范围是（）

A． a＜0 B． a＞0 C． a＜2 D． a＞2

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．

分析： 根据一次函数的性质知，当k＜0时，判断出y随x的增大而减小．

解答： 解：∵A（x1，y1）、B（x2，y2）是一次函数y=ax﹣2x+1=（a﹣2）x+1图象上的不同的两点，m=（x1﹣x2）（ y1﹣y2）＜0，

∴该函数图象是y随x的增大而减小，

∴a﹣2＜0，

解得 a＜2．

故选C..

点评： 此题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要根据函数的增减性进行推理，是一道基础题．

10．八个边长为1的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，则该直线l的解析式为（）

A． y=﹣x B． y=﹣ x C． y=﹣ x D． y=﹣ x

考点： 待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质．

分析： 设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，易知OB=3，利用三角形的面积公式和已知条件求出A的坐标即可得到该直线l的解析式．

解答： 解：设直线l和八个正方形的最上面交点为A，过A作AB⊥OB于B，B过A作AC⊥OC于C，

∵正方形的边长为1，

∴OB=3，

∵经过原点的一条直线l将这八个正方形分成面积相等的两部分，

∴S△AOB=4+1=5，

∴ OB?AB=5，

∴AB= ，

∴OC= ，

由此可知直线l经过（﹣ ，3），

设直线方程为y=kx，

则3=﹣ k，

k=﹣ ，

∴直线l解析式为y=﹣ x，

故选D．

点评： 此题考查了面积相等问题、用待定系数法求一次函数的解析式以及正方形的性质，此题难度较大，解题的关键是作AB⊥y轴，作AC⊥x轴，根据题意即得到：直角三角形ABO，利用三角形的面积公式求出AB的长．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置处）

11．计算： =﹣3．

考点： 立方根．

专题： 计算题．

分析： 根据（﹣3）3=﹣27，可得出答案．

解答： 解： =﹣3．

故答案为：﹣3．

点评： 此题考查了立方的知识，属于基础题，注意立方根的求解方法，难度一般．

12．写出一个大于1且小于2的无理数 ．

考点： 估算无理数的大小．

专题： 开放型．

分析： 由于所求无理数大于1且小于2，两数平方得大于2小于4，所以可选其中的任意一个数开平方即可．

解答： 解：大于1且小于2的无理数是 ，答案不唯一．

故答案为： ．

点评： 此题主要考查 了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

13．已知点P的坐标是（2，3），则点P到x轴的距离是3．

考点： 点的坐标．

分析： 根据点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，可得答案．

解答： 解：点P的坐标是（2，3），则点P到x轴的距离是3，

故答案为：3．

点评： 本题考查了点的坐标，点到x轴的距离是点的纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是点的横坐标的绝对值．

14．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，若AD=6，CD=8，则DE的长等于5．

考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

分析： 利用勾股定理列式求出AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．

解答： 解：∵CD⊥AB，AD=6，CD=8，

∴AC= = =10，

∵E是AC的中点，

∴DE= AC= ×10=5．

故答案为：5．

点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．

15．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=15，BD=17，则点D到BC的距离是8．

考点： 角平分线的性质．

分析： 在直角△ABD中利用勾股定理求得AD的长度．首先过点D作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，即可得DE=AD，即可求出答案．

解答： 解：如图，在直角△ABD中，∠A=90°，AB=15，BD=17，则由勾股定理得到：AD= = =8．

过点D作DE⊥BC于E，

∵在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，

即AD⊥BA，

∴DE=AD=8，

∴点D到BC的距离是8．

故答案是：8．

点评： 此题考查了角平分线的性质的应用．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．

16．如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差4km/h．

考点： 一次函数的应用．

专题： 压轴题．

分析： 根据图中信息找出甲，乙两人行驶的路程和时间，进而求出速度即可．

解答： 解：根据图象可得：

∵甲行驶距离为100千米时，行驶时间为5小时，乙行驶距离为80千米时，行驶时间为5小时，

∴甲的速度是：100÷5=20（千米/时）；乙的速度是：80÷5=16（千米/时）；

故这两人骑自行车的速度相差：20﹣16=4（千米/时）；

解法二：利用待定系数法s=k甲t+b，s=k乙t，

易得得k 甲=16，k乙=20，

∵速度=路程÷时间

所以k甲、k乙分别为甲、乙的速度

故速度差为20﹣16=4km/h

故答案为：4．

点评： 此题主要考查了一次函数的应用，根据已知得出甲乙行驶的路程与时间是解题关键．

17．如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，DE⊥AB于E，则DE= ．

考点： 相似三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；勾股定理．

分析： 首先连接AD，由△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，利用等腰三角形的三线合一的性质，即可证得：AD⊥BC，然后利用勾股定理，即可求得AD的长，又由DE⊥AB，利用有两角对应相等的三角形相似，可证得△BED∽△BDA，继而利用相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长．

解答： 解：连接AD，

∵△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D为BC中点，

∴AD⊥BC，BD= BC=5，

∴AD= =12，

∵DE⊥AB，

∴∠BED=∠BDA=90°，

∵∠B是公共角，

∴△BED∽△BDA，

∴ ，

即 ，

解得：DE= ．

故答案为： ．

点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．

18．如图，在一张长为5cm，宽为4cm的长方形纸片上，现要剪下一个腰长为3cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余的两个顶点在长方形的边上），则剪下的等腰三角形的底边的长为3 ，2 ， cm．

考点： 图形的剪拼．

专题： 分类讨论．

分析： 因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分（1）腰长在矩形相邻的两边上，（2）一腰在矩形的宽上，（3）一腰在矩形的长上，三种情况讨论．（1）△AEF为等腰直角三角形，直接利用直接勾股定理求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE边上的高BF，再利用勾股定理求出结论；（3）先利用勾股定理求出BF，再利用勾股定理求出底边．

解答： 解：分三种情况计算：

（1）当AE=AF=3时，如图：

∴EF= =3 ；

（2）当AE=EF=3时，如图：

则BE=4﹣3=1，

BF= = =2 ，

∴AF = =2 ；

（3）当AE=EF=3时，如图：

则DE=5﹣3=2，

DF= = = ，

∴AF= = = ，

故答案为： ．

点评： 本题主要考查矩形的角是直角的性质和勾股定理的运用，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．

三．解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19．（1）计算： ；

（2）求（x﹣3）2=16中的x的值．

考点： 实数的运算；平方根；零指数幂；负整数指数幂．

专题： 计算题．

分析： （1）原式第一项利用平方根定义计算，第二项利用负指数幂法则计算，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果；

（2）方程利用平方根定义开方即可求出解．

解答： 解：（1）原式=5﹣3﹣1=1；

（2）方程开方得：x﹣3=±4，

解得：x=7或x=﹣1．

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．如图，点D是△ABC的边AB上一点，点E为AC的中点，过点C作CF∥AB交DE延长线于点F．求证：AD=CF．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 根据平行线性质得出∠1=∠F，∠2=∠A，求出AE=EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出即可．

解答： 证明：∵CF∥AB，

∴∠1=∠F，∠2=∠A，

∵点E为AC的中点，

∴AE=EC，

在△ADE和△CFE中

∴△ADE≌△CFE（AAS），

∴AD=CF．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

21．如图，在∠AOB内找一点P，使得点P到∠AOB的两边距离相等，且使点P到点C的 距离最短（尺规作图，请保留作图痕迹）．

考点： 作图—复杂作图；垂线段最短；角平分线的性质．

分析： 使P到∠AOB的两边的距离相等，即画它的角平分线，使点P到点C的距离最短，即过C点作∠AOB的角平分线垂线，垂足就是点P的位置．

解答： 解：作∠AOB平分线，过点C作∠AOB平分线的垂线）交点P即为所求．

点评：此题主要考查了作图﹣复杂作图，垂线和角平分线的作法．这些基本作图要熟练掌握，注意保留作图痕迹．

22．在直角坐标系xOy中，直线l过（1，3）和（2，1）两点，且与x轴，y轴分别交于A，B两点．

（1）求直线l的函数关系式；

（2）求△AOB的面积．

考点： 待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．

分析： （1）利用待定系数法求得即可；

（2）根据解析式求得A、B的坐标，进而求得OA、OB的长，根据三角形的面积公式求得即可．

解答： 解：（1）设直线l的函数关系式为y=kx+b（k≠0），

把（1，3），（2，1）代入得

解方程组得 …（3分）

∴直线l的函数关系式为y=﹣2x+5；

（2）在y=﹣2x+5中，

令x=0，得y=5，

∴B（0，5），

令y=0，得x= ，

∴ ，

∴S△AOB= AO?BO= × ×5= ．

点评： 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和直角三角形的面积，熟练掌握待定系数法是本题的关键．

23．某工厂计划 生产A，B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表：

A种产品 B种产品

成本（万元/件） 2 5

利润（万元/件） 1 3

（1）若工厂计划获利14万元，问A，B两种产品应分别生产多少件？

（2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，问工厂有哪几种生产方案？

（3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润．

考点： 一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式组的应用．

专题： 压轴题．

分析： （1）设生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，根据计划获利14万元，即两种产品共获利14万元，即可列方程求解；

（2）根据计划投入资金不多于44万元，且获利多于14万元，这两个不等关系即可列出不等式组，求得x的范围，再根据x是非负整数，确定x的值，x的值的个数就是方案的个数；

（3）得出利润y与A产品数量x的函数关系式，根据增减性可得，B产品生产越多，获利越大，因而B取最大值时，获利最大，据此即可求解．

解答： 解：（1）设生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，于是有

x+3（10﹣x）=14，

解得：x=8，

则10﹣x=10﹣8=2（件）

所以应生产A种产品8件，B种产品2件；

（2）设应生产A种产品x件，则生产B种产品有（10﹣x）件，由题意有：

，

解得：2≤x＜8；

所以可以采用的方案有： ， ， ， ， ， ，共6种方案；

（3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件，

则利润y=x+3（10﹣x）=﹣2x+30，

则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大，

所以当 时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3=26万元．

点评： 本题考查理解题意的能力，关键从表格种获得成 本价和利润，然后根据利润这个等量关系列方程，根据第二问中的利润和成本做为不等量关系列不等式组分别求出解，然后求出哪种方案获利最大从而求出来．

24．在△ABC中，AB、BC、AC三边的长分别为 ， ， ，求这个三角形的面积．小明同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求△ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积．

（1）△ABC的面积为3.5．

（2）若△DEF的三边DE、EF、DF长分别为 ， ， ，请在图2的正方形网格中画出相应的△DEF，并求出△DEF的面积为5.5．

（3）在△ABC中，AB=2 ，AC=4，BC=2，以AB为边向△ABC外作△ABD（D与C在AB异侧），使△ABD为等腰直角三角形，则线段CD的长为 ．

考点： 勾股定理．

专题： 作图题．

分析： （1）如图1，运用正方形和三角形的面积公式直接求出△ABC的面积，即可解决问题．

（2）如图2，类似（1）中的方法，直接求出△DEF的面积即可解决问题．

（3）画出符合题意的图形，运用勾股定理直接求出即可解决问题．

解答：

解：（1）如图1，△ABC的面积=

=9﹣3﹣1﹣1.5=3.5，

故答案为3.5．

（2）如图2，△DEF的面积=3×4﹣

=12﹣1.5﹣2﹣3=5.5．

故答案为5.5．

（3）如图3、4、5，分别求出CD的长度如下：

CD=2 或CD=2 或CD=3 ，

故答案为 ．

点评： 该题主要考查了勾股定理及其应用问题；牢固掌握勾股定理是灵活运用、解题的基础和关键．

25．一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动．快车离乙地的路程y1（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段AB所示．慢车离甲地的路程y2（km）与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段AC所示．根据图象进行以下研究．

解读信息：

（1）甲、乙两地之间的距离为450km；

（2）线段AB的解析式为y1=450﹣150x；两车在慢车出发2小时后相遇；

问题解决：

（3）设快、慢车之间的距离为y（km），求y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式，并画出函数的图象．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）由一次函数的图象可以直接得出结论为450km；

（2）设一次函数的解析式y1=k1x+b1，利用待定系数法解答即可，根据路程、时间和速度的关系解答；

（3）根据题意得出函数解析式，画出函数的图象即可．

解答： 解：（1）由图象可得：甲、乙两地之间的距离为450km；

（2）设一次函数的解析式y1=k1x+b1，可得；

，

解得： ，

故线段AB的解析式为 y1=450﹣150x （0≤x≤3）；

设两车在慢车出发x小时后相遇，可得：

450÷（ ）=x，

解得：x=2，

答两车在慢车出发2小时后相遇；

故答案为：（1）450；（2）y1=450﹣150x；2；

（3）根据题意得出y与慢车行驶时间x（h）的函数关系式如下：

，

其图象为折线图

．

点评： 本题考查了一次函数的运用，待定法求一次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时认真分析读懂函数图象的意义是关键．

26．【问题背景】

如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，EF分别是BC，CD上的点，且∠EAF=

60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．

小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG=BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌

△AGF，可得出结论，他的结论应是EF=BE+FD；

【探索延伸

如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；

【结论应用】

如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．

【能力提高】

如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点M，N在边BC上，且∠MAN=45°．若BM=1，CN=3，则MN的长为 ．

考点： 四边形综合题．

分析： 探索延伸：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，得到△AEF≌△AGF， 证明EF=FG，得到答案；

结论应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，证明EF=AE+FB，计算EF的长度，得到答案；

能力提高：在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AB，连接CD，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，求出ND的长度，得到答案．

解答： 解：问题背景：EF=BE+FD．

探索延伸：EF=BE+FD仍然成立．

证明：如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG

∵∠B+∠ADC=180°，∠ADG+∠ADC=180°，

∴∠B=∠ADG，

又∵AB= AD，

在△ABE和△ADG中，

，

∴△ABE≌△ADG．

∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，

又∵∠EAF= ∠BAD，

∴∠FAG=∠FAD+∠DAG=∠FAD+∠BAE=∠BAD﹣∠EAF，

=∠BAD﹣ ∠BAD= ∠BAD，

∴∠EAF=∠GAF．

在△AEF和△AGF中，

，

∴△AEF≌△AGF．

∴EF=FG．

又∵FG=DG+DF=BE+DF．

∴EF=BE+FD．

结论应用：如图3，连接EF，延长AE，BF相交于点C，

在四边形AOBC中，

∵∠AOB=30°+90°+20°=140°，∠FOE=70°= ∠AOB，

又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=60°+120°=180°，符合探索延伸中的条件，

∴结论EF=AE+FB成立．

即，EF=AE+FB=1.5×（60+80）=210（海里）

答：此时两舰艇之间的距离为210海里．

能力提高：如图4，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，

则△ACD≌△ABM，

∴CD=BM=1

由以上可知，MN=ND，

∵∠ACD=90°，CD=1，CN=3，

∴MN= ．

点评： 本题考查的是四边形知识的综合运用，掌握三角形全等的判定和性质、理解方位角的概念是解题的关键，注意规律的总结和运用．

四、附加题

27．如图，已知A（a，0），B（0，b）分别为两坐标轴上的点，且a、b满足a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，OC：OA=1：3．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）若点D（1，0），过点D的直线分别交AB、BC于E、F两点，设E、F两点的横坐标分别为xE、xF，当BD平分△BEF的面积时，求xE+xF的值；

（3）如图2，若M（2，4），点P是x轴上A点右侧一动点，AH⊥PM于点H，在BM上取点G，使HG=HA，连接CG，当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数是否发生改变？若不变，请求其值，若改变，请说明理由．

考点： 一次函数综合题．

分析： （1）配方利用非负数的性质可求得a和b，可求得A、B坐标，再由条件可求得OC的长，可求得C的坐标；

（2）过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，可证明△FMD≌△END，可得MD=ND，可求得xE+xF的值；

（3）连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，证明△CMT≌△MAH，可证明△CGT是等腰直角三角形，可求得∠CGM=45°．

解答： 解：

（1）∵a2+b2﹣12a﹣12b+72=0，

∴（a﹣6）2+（b﹣6）2=0，

∴a=b=6，

∴A（6，0），B（0，6），

∴OA=6，且OC：OA=1：3，

∴OC=2，

∴C（﹣2，0）；

（2）如图2，过F、E分别向x轴引垂线，垂足分别为M、N，

∵当BD平分△BEF的面积，

∴D为EF中点，

∴DF=DE，

在△FMD和△END中

∴△FMD≌△END（AAS），

∴MD=ND，

即1﹣xF=xE﹣1，

∴xE+xF=2；

（3）不改变，理由如下：

如图3，连接MA、MC，过C作CT⊥PM于T，过M作MS⊥x轴于点S，

∵M（2，4），C（﹣2，0），A（6，0），

∴S（2，0），

∴MS垂直平分AC，

∴MC=MA，且MS=SC，

∴∠CMA=90°，

∴∠CMT+∠AMH=∠TCM+∠CMT=90°，

∴∠TCM=∠AMH，

在△CMT和△MAH中

∴△CMT≌△MAH（AAS），

∴TM=AH，CT=MH，

又AH=HG，

∴MT=GH，

∴GT=GM+MT=MG+GH=MH=CT，

∴△CGT是等腰直角三角形，

∴∠CGM=45°，

即当点P在点A右侧运动时，∠CGM的度数不改变．

点评： 本题主要考查一次函数的综合应用，主要知识点有点的坐标、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、三角形中线的性质、垂直平分线的性质等．在（1）中配方得到非负数的和为0是解题的关键；在（2）中确定出D为EF的中点是解题的关键，构造全等三角形可找到点E、F横坐标的关系；在（3）中构造三角形全等，证得△CGT为等腰直角三角形是解题的关键．本题知识点较多，综合性较强，难度较大．