泰州市2023初二年级数学上册期中考试卷(含答案解析)

泰州市2023初二年级数学上册期中考试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）

1．下列银行标志中，不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

2．点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（）

A． （2，﹣3） B． （﹣2，﹣3） C． （﹣2，3） D． （ 2，3）

3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A． 3，5，6 B． 2，3，4 C． 1， ，2 D． 3，4，

4．等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）cm．

A． 13 B． 17 C． 13或17 D． 17或11

5．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（1，2），则不等式2x≥ax+4的解集为（）

A． x＜1 B． x＞1 C． x≤1 D． x≥1

6．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（）个．

A． 4 B． 6 C． 8 D． 12

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分 ，共30分，不需写出解答过程．）

7．9的算术平方根是．

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AC=6cm，BC=8cm，则CD的长为cm．

9．已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x+3的图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“＜”或“=”）．

10．点P在第二象限内，P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（6，8），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是．

12．将一次函数y=2x+3的图象平移后过点（1，4），则平移后得到的图象函数关系式为．

13．今年，泰州市创建文明城市期间，对市区部分道路实施“白转黑”工程，其中凤凰路和济川路两条道路的改造面积约达到202300平方米，使市民行车舒适度大大提升．请将202300（精确到2023）≈．

14．已知一次函数y=ax+b，若2a﹣b=1，则它的图象必经过点．

15．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为．

16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（ ，0），B（0，4），则点B99的横坐标为．

三、解答题（本大题共有10小题，共102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．计算：

（1） + +

（2） + ﹣（ ）2+ ．

18．求满足下列等式中的x的值：

（1）16x2=25

（2）（x﹣2）3=8．

19．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方 格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．

20．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：CD=AB．

21．如图，点A的坐标为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．

22．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．BD=10，BE=8，BC=9，求△BCD的面积．

23．“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．为方便市民出行，2023年泰州市推出了公共自行车系统，收费以小时为单位，每次使用不超过1小时的免费，超过1小时后，不足1小时的部分按1小时收费．小红同学通过调查得知，自行车使用时间为3小时，收费2元；使用时间为4小时，收费3元．她发现当使用时间超过1小时后用车费用与使用时间之间存在一次函数的关系．

（1）设使用自行车的费用为y元，使用时间为x小时（x为大于1的整数），求y与x的函数解析式；

（2）若小红此次使用公共自行车5小时，则她应付多少元费用？

（3）若小红此次使用公共自行车付费6元，请说明她所使用的时间．

24．如图，等边三角形ABC的边长为2，点E是边BC上一动点（不与点B、C重合），以BE为边在BC的下方作等边三角形BDE，连接AE、CD．

（1）在运动的过程中，AE与CD有何数量关系？请说明理由．

（2）当BE=1时，求∠BDC的度数．

25．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．

（1）求过点A、B两点的直线解析式；

（2）在运动的过程中，当△ABC周长最小时，求点C的坐标；

（3）在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点C的坐标．

26．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．小陆因为有事，在A地停留0.5小时后出发，1小时后他们相遇，两人约定，谁先到B地就在原地等待．他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示．

（1）说明图中线段MN所表示的实际意义；

（2）求出小李和小陆在途中相遇时他们离出发地的距离；

（3）若小陆到达B地后，立即按原速沿原路返回A地，还需要多少时间才能再次与小李相遇？

（4）小李出发多少小时后，两人相距1km？（直接写出答案）

泰州市2023初二年级数学上册期中考试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）

1．下列银行标志中，不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念求解．

解答： 解：A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、是轴对称图形，故错误；

D、不是轴对称图形，故正确．

故选D．

点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．点A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（）

A． （2，﹣3） B． （﹣2，﹣3） C． （﹣2，3） D． （ 2，3）

考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析： 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．

解答： 解：A（﹣2，3）关于x轴的对称点A′的坐标为（﹣2，﹣3）；

故选：B．

点评： 本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

3．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）

A． 3，5，6 B． 2，3，4 C． 1， ，2 D． 3，4，

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．

解答： 解：A、32+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；

B、22+32≠42，不能构成直角三角形，故不符合题意；

C、12+（ ）2=22，能构成直角三角形，故符合题意；

D、32+42≠（ ）2，不能构成直角三角形，故不符合题意．

故选C．

点评： 本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．

4．等腰三角形的两边长分别为3cm和7cm，则周长为（）cm．

A． 13 B． 17 C． 13或17 D． 17或11

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析： 题中没有指明哪个是底哪个腰，故应该分两种情况进行分析，注意利用三角形三边关系进行检验．

解答： 解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；

当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；

故三角形的周长是17．

故选B．

点评： 本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要进行分类讨论．

5．如图，函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（1，2），则不等式2x≥ax+4的解集为（）

A． x＜1 B． x＞1 C． x≤1 D． x≥1

考点： 一次函数与一元一次不等式．

专题： 数形结合．

分析： 观察函数图象得到当x≥1时，函数y=2x的图象都在函数y=ax+4的图象上方，由此可得到不等式2x≥ax+4的解集．

解答： 解：当x≥1时，2x≥ax+4，

所以不等式2x≥ax+4的解集为x≥1．

故选D．

点评： 本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．

6．在平面直角坐标系中，我们把横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点，则到坐标原点O的距离为10的格点共有（）个．

A． 4 B． 6 C． 8 D． 12

考点： 两点间的距离公式．

专题： 计算题．

分析： 设格点P（x，y）到坐标原点O的距离为10，根据两点间的距离公式得到x2+y2=102=100，利用x和y都是0到10的整数，易得当x=0时，y=±10；当x=±6时，y=±8；当x=±8时，y=±6；当x=±10时，y=0，然后写出满足条件的格点坐标．

解答： 解：设格点P（x，y）到坐标原点O的距离为10，

根据题意得x2+y2=102=100，

当x=0时，y=±10；当x=±6时，y=±8；当x=±8时，y=±6；当x=±10时，y=0，

所以满足条件的格点坐标为（0，10）、（0，﹣10），（10，0）、（﹣10，0），（6，8）、（﹣6，﹣8） ，（6，﹣8）、（﹣6，8），（8，6）、（﹣8，﹣6），（8，﹣6）、（﹣8，6）．

故选D．

点评： 本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB= ．

二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，不需写出解答过程．）

7．9的算术平方根是3．

考点： 算术平方根．

分析： 如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．

解答： 解：∵32=9，

∴9算术平方根为3．

故答案为：3．

点评： 此题主要考查了算术平方根，其中算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．

8．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，AC=6cm，BC=8cm，则CD的长为5cm．

考点： 直角三角形斜边上的中线；勾股定理．

分析： 利用勾股定理列式求出AB，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．

解答： 解：有勾股定理得，AB= = =10cm，

∵∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，

∴CD= AB= ×10=5cm．

故答案为：5．

点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．

9．已知P1（﹣1，y1），P2（2，y2）是一次函数y=﹣x+3的图象上的两点，则y1＞y2（填“＞”或“＜”或“=”）．

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．

分析： 先根据一次函数y=2x+1中k=2判断出函数的增减性，再根据﹣3＜2进行解答即可．

解答： 解：∵一次函数y=﹣x+3中k=﹣1＜0，

∴y随x的增大而减小，

∵﹣1＜2，

∴y1＞y2．

故答案为＞．

点评： 本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点及一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．

10．点P在第二象限内，P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，那么点P的坐标为（﹣2，1）．

考点： 点的坐标．

分析： 根据点的纵坐标 的绝对值是点到x轴的距离，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离，再根据第二象限内的点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案．

解答： 解：P到x轴的距离是1，到y轴的距离是2，得

|y|=1，|x|=2．

由点P在第二象限内，得

P（﹣2，1），

故答案为：（﹣2，1）．

点评： 本题考查了点的坐标，利用了点到坐标轴的距离：点的纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，点的横坐标的绝对值是点到y轴的距离．

11．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（6，8），将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，则点A′的坐标是（﹣8，6）．

考点： 坐标与图形变化-旋转．

分析： 过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，根据旋转的性质可得OA=OA′，利用同角的余角相等求出∠OAB=∠A′OB′，然后利用“角角边”证明△AOB和△OA′B′全等，根据全等三角形对应边相等可得OB′=AB，A′B′=OB，然后写出点A′的坐标即可．

解答： 解：如图，过点A作AB⊥x轴于B，过点A′作A′B′⊥x轴于B′，

∵OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA′，

∴OA=OA′，∠AOA′=90°，

∵∠A′OB′+∠AOB=90°，∠AOB+∠OAB=90°，

∴∠OAB=∠A′OB′，

在△AOB和△OA′B′中，

，

∴△AOB≌△OA′B′（AAS），

∴OB′=AB=8，A′B′=OB=6，

∴点A′的坐标为（﹣8，6）．

故答案为：（﹣8，6）．

点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正确的作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．

12．将一次函数y=2x+3的图象平移后过点（1，4），则平移后得到的图象函数关系式为y=2x+2．

考点： 一次函数图象与几何变换．

分析： 直接利用一次函数平移规律，即k不变，进而利用一次函数图象上的性质得出答案．

解答： 解：设一次函数y=2x+3的图象平移后解析式为y=2x+3+b，

将（1，4）代入可得：4=2×1+3+b，

解得：b=﹣1．

则平移 后得到的图象函数关系式为：y=2x+2．

故答案为：y=2x+2．

点评： 此题主要考查了一次函数平移，正确利用一次函数图象上点的坐标性质得出是解题关键．

13．今年，泰州市创建文明城市期间，对市区部分道路实施“白转黑”工程，其中凤凰路和济川路两条道路的改造面积约达到202300平方米，使市民行车舒适度大大提升．请将202300（精确到2023）≈2.32×105．

考点： 科学记数法与有效数字．

分析： 科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于202300数位有6位，所以可以确定n=6﹣1=5．

有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

解答： 解：202300≈2.32×105，

故答案为：2.32×105．

点评： 此题考查科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．

14．已知一次函数y=ax+b，若2a﹣b=1，则它的图象必经过点（﹣2，﹣1）．

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．

专题： 计算题．

分析： 由2a﹣b=1得到b=2a﹣1，把b=2a﹣1代入解析式整理得（x+2）a=y+1，接着解关于a的不定方程得到x=﹣2，y=﹣1，于是可判断它的图象必经过点（﹣2，﹣1）．

解答： 解：∵2a﹣b=1，

∴b=2a﹣1，

∴y=ax+2a﹣1，

∴（x+2）a=y+1，

∵a为不等于0的任意数，

∴x+2=0，y+1=0，解得x=﹣2，y=﹣1，

∴它的图象必经过点（﹣2，﹣1）．

故答案为（﹣2，﹣1）．

点评： 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣ ，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

15．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为4．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．

解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN= 9﹣x，

∵D是BC的中点，

∴BD=3，

在Rt△BND中，x2+32=（9﹣x）2，

解得x=4．

故线段BN的长为4．

故答案为：4．

点评： 此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．

16．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（ ，0），B（0，4），则点B99的横坐标为496．

考点： 坐标与图形变化-旋转．

专题： 规律型．

分析： 首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．

解答： 解：由题意可得：∵AO= ，BO=4，

∴AB= ，

∴OA+AB1+B1C2= + +4=6+4=10，

∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，B5的横坐标为：6+2×10=26，

∴点B98的横坐标为： ×10=490，∴点B99的横坐标为： ×10+6=496．

故答案为：496．

点评： 此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．

三、解答题（本大题共有10小题，共102分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．计算：

（1） + +

（2） + ﹣（ ）2+ ．

考点： 实数的运算．

专题： 计算题．

分析： （1）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；

（2）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果．

解答： 解：（1）原式=3+5﹣2=6；

（2）原式=2+ ﹣ ﹣5=3﹣5=﹣2．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．求满足下列等式中的x的值：

（1）16x2=25

（2）（x﹣2）3=8．

考点： 立方根；平方根．

分析： （1）方程两边都除以16，再根据平方根定义求出即可；

（2）根据立方根定义得出x﹣2=2，求出即可．

解答： 解：（1）16x2=25，

x2= ，

；

（2）（x﹣2）3=8，

x﹣2=2，

x=4．

点评： 本题考查了立方根，平方根的应用，主要考查学生运用定义进行计算的能力，难度不是很大．

19．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在下图方格内添涂黑二个小正方形，使阴影部分成为轴对称图形．

考点： 利用轴对称设计图案．

分析： 根据轴对称的性质设计出图案即可．

解答： 解：如图所示．

点评： 本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

20．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD．求证：CD=AB．

考点： 全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 根据已知条件，以及对顶角相等，证明△COD≌△AOB（SAS），得出对应边相等．

解答： 证明：在△COD和△AOB中，

∴△COD≌△AOB（SAS），

∴CD=AB．

点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是关键．

21．如图，点A的坐标为 （5，0），试在第一象限内网格的格点（网格线的交点）上找一点B，使其与点O、A构成等腰三角形，请写出图中所有满足条件的点B的坐标．

考点： 等腰三角形的判定．

专题： 网格型．

分析： 当OA是腰长时，根据网格结构，使用圆规分别以O点、A点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点即是要找的点B，当OA是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，OA垂直平分线上的格点都可以作为点B，但此时OA垂直平分线上的点均不在格点上，所以，此时不存在满足条件的点B．

解答： 解：如图，OA是腰长时，以O点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有2个点（红色的点）分别为：（3，4）、（4，3）、可以作为点B，

以A点为圆心，以OA的长为半径作圆，交第一象限内网格的格点有4个点（蓝色的点）分别为：（5，5）、（2，4）、（1，3）、（8，4）可以作为点B，

OA是底边时，OA垂直平分线上的点均不在格点上，所以，此时不存在满足条件的点B．

所以，满足条件的B的个数是2+4=6，分别为：（5，5）、（3，4）、（4，3）、（2，4）、（1，3）、（8，4）．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握网格结构的特点是解题的关键，要注意分OA是腰长与底边两种情况讨论求解．

22．如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．BD=10，BE=8，BC=9，求△BCD的面积．

考点： 角平分线的性质．

分析： 作DF⊥BC，垂足为F，先根据勾股定理求出DE的长，再根据角平分线的性质得出DF的长，由三角形的面积公式即可得出结论．

解答： 解：作DF⊥BC，垂足为F，

∵DE⊥AB，BD=10，BE=8

∴DE= = =6．

又∵BD是△ABC的角平分线

∴DE=DF=6，

∴S△BCD= ×6×9=27．

点评： 本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．

23．“绿色出行，低碳健身”已成为广大市民的共识．为方便市民出行，2023年泰州市推出了公共自行车系统，收费以小时为单位，每次使用不超过1小时的免费，超过1小时后，不足1小时的部分按1小时收费．小红同学通过调查得知，自行车使用时间为3小时，收费2元；使用时间为4小时，收费3元．她发现当使用时间超过1小时后用车费用与使用时间之间存在一次函数的关系．

（1）设使用自行车的费用为y元，使用时间为x小时（x为大于1的整数），求y与x的函数解析式；

（2）若小红此次使用公共自行车5小时，则她应付多少元费用？

（3）若小红此次使用公共自行车付费6 元，请说明她所使用的时间．

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）设一次函数的解析式为y=kx+b，利用待定系数法解答即可；

（2）把x=5代入解析式解答即可；

（3）把y=6代入解析式解答即可．

解答： 解：（1）设一次函数的解析式为y=kx+b，

可得： ，

解得： ，

所以y与x的函数解析式为：y=x﹣1；

（2）把x=5代入y=x﹣1=4，

答：小红此次使用公共自行车5小时，则她应付4元费用；

（3）把y=6代入解析式y=x﹣1，

解得：x=7，

所以可得她所使用的时间6＜x≤7．

点评： 本题主要考查一次函数的应用，把实际问题用函数来解决，比较简单．

24．如图，等边三角形ABC的边长为2，点E是边BC上一动点（不与点B、C重合），以BE为边在BC的下方作等边三角形BDE，连接AE、CD．

（1）在运动的过程中，AE与CD有何数量关系？请说明理由．

（2）当BE=1时，求∠BDC的度数．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析： （1）如图，证明△ABE≌△CBD，即可解决问题．

（2）证明AE⊥BC；证明∠BDC=∠AEB，即可解决问题．

解答： 解：（1）AE=CD；理由如下：

如图，∵△ABC和△BDE等边三角形

∴AB=BC，BE=BD，∠ABC=∠EBD=60°；

在△ABE与△CBD中，

，

∴△ABE≌△CBD（SAS），

∴AE=CD．

（2）∵BE=1，BC=2

∴E为BC的中点；

又∵等边三角形△ABC，

∴AE⊥BC；

由（1）知△ABE≌△CBD，

∴∠BDC=∠AEB=90°．

点评： 该题主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是观察图形，准确找出图形中隐含的等量关系、全等关系．

25．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（2，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．

（1）求过点A、B两点的直线解析式；

（2）在运动的过程中，当△ABC周长最小时，求点C的坐标；

（3）在运动的过程中，当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求点C的坐标．

考点： 一次函数综合题．菁优网版权 所有

分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据线段垂直平分线的性质，可得B′点，根据线段的性质，可得AB′，根据待定系数法求函数解析式，根据自变量的值，可得相应的函数值；

（3）根据等腰三角形的判定，可得AC=BC，根据解方程，可得C点的坐标．

解答： 解：（1）设AB的解析式为y=kx+b，图象经过点（2，4）和（3，0），得

，解得 ，

AB两点的直线解析式y=﹣4x+12；

（2）如图1：

，

作B点关于y轴的对称点B′，连接AB′，交y轴于C点，

B′点的坐标是（﹣3，0），

设AB′的函数解析式为y=kx+b，图象经过（﹣3，0），（2，4），得

，

解得 ．

AB′的函数解析式为y= x+ ，

自变量的值为零时，y=

当△ABC周长最小时，C点坐标为（0， ）；

（3）图2：

，

设C点坐标为（0，a），当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，BC=AC，平方，得

BC2=AC2，22+（4﹣a）2=32+a2，

化简，得8a=11，

解得a= ，

故点C的坐标为 ．

点评： 本题考查了一次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式；（2）利用了线段垂直平分线的性质，两点之间线段最短；（3）利用了等腰三角形的判定．

26．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地．小陆因为有事，在A地停留0.5小时后出发，1小时后他们相遇，两人约定，谁先到B地就在原地等待．他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示．

（1）说明图中线段MN所表示的实际意义；

（2）求出小李和小陆在途中相遇时他们离出发地的距离；

（3）若小陆到达B地后，立即按原速沿原路返回A地，还需要多少时间才能再次与小李相遇？

（4）小李出发多少小时后，两人相距1km？（直接写出答案）

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）通过观察图象可得到线段MN所表示的实际意义；

（2）根据速度一定，路程与时间成正比即可求解；

（3）求得2h后小李和小陆的距离，以及他们两人的速度，再根据路程和÷速度和=时间，列式计算即可求解；

（4）分四种情况：第一种：小李出发而小陆未出发；第二种：小李停留时小陆出发；第三种：两人相遇之后且小陆未到达B地，；第四种：小陆到达B地而小李未到达；讨论即可求解．

解答： 解：（1）线段MN说明小李在行驶过程中停留0.5小时．

（2）20÷（1.5÷0.5）= km．

（3）（20﹣ ）÷（1.5÷1）

= ÷1.5

= km，

20﹣ ﹣ = km，

÷[ ÷0.5+（20﹣ ）÷1.5]

= ÷[ + ]

= ÷

=0.2小时．

故还需要0.2小时时间才能再次与小李相遇．

（4）第一种：小李出发而小陆未出发， 小时后，两人相距1km；

第二种：小李停留时小陆出发， 小时后，两人相距1km；

第三种：两人相遇之后且小陆未到达B地， 小时后，两人相距1km；

第四种：小陆到达B地而小李未到达， 小时后，两人相距1km．

点评： 本题考查了一次函数的运用，学会看函数图象，理解函数图象所反映的实际意义，从函数图象中获取信息，并且解决有 关问题．