菏泽市2023初二年级数学上册期中试卷(含答案解析)

菏泽市2023初二年级数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列交通标志是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

2．2023年4月21日8时我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：

该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是（）

区县 曹县 单县 成武 定陶 巨野 东明 郓城 鄄城 牡丹区 开发区

可吸入颗粒物

（mg/m3） 0.15 0.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.13 0.16 0.14 0.14

A． 0.15和0.14 B． 0.18和0.15 C． 0.18和0.14 D． 0.15和0.15

3．下列命题的逆命题是真命题的是（）

A． 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

B． 如果a=b，那么a2=b2

C． 如果两个角相等，那么这两个角是同位角

D． 如果一个整数能被5整除，则这个整数的个位数字是0

4．如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，要使△ABF≌△CDE，需添加个条件，可以是（）

①∠B=∠D ②DE=BF ③AE=CF ④AB∥CD．

A． ① B． ①或②

C． ①或②或④ D． 四个条件中的任意一个

5．在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）

A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

6．如图，AE∥DC，∠A=∠C，BD平分∠ADC，则下列说法不正确的是（）

A． AD∥BC B． BC=DC C． F为E中点 D． AF=AD

7．分式方程 的解是（）

A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=1或x=2

8．如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，ME平分∠BMC交BC于点E，则下列说法正确的有（）

①△ABC≌△DCB；②ME垂直平分BC；③△ABM≌△EBM；④△ABM≌△DCM．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

9．如图，Rt△ABC和Rt△DCE的斜边长相等，其中∠ACB=∠CED=90°，∠A=45°，∠CDE=30°，∠BCE=15°，连接DB，则∠EDB的度数为（）

A． 10° B． 20° C． 7.5° D． 15°

10．小朱要到距家2023米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）

A． B．

C． D．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．某公司对应聘者进行面试，按专业知识、工作经验、仪表形象给应聘者打分，这三个方面的重要性之比为6：3：1．对应聘的王丽、张瑛两人的打分如下：如果两人中只录取一人，若你是人事主管，你会录用．

王 丽 张 瑛

专业知识 1 4 1 8

工作经验 1 6 1 6

仪表形象 1 8 1 2

12．计算： =．

13．一个 样本为1、3、2、2、a，b，c．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为．

14．如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm，则DE=cm．

15．已知3a=4b，则 的值为．

16．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为．

17．如图，已知△ABC中，∠BAC=140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为．

18．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM、DM分别是∠DAB与∠ADC的角平分线，AD=10，BC=6，则△ADM的面积为．

19．已知关于x的方程2+ 有增根，则a的值为．

20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的（只填序号）

①∠CFE=∠CEF；②∠FCB =∠FBC；③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．

三、解答题（共6小题，满分60分）

21．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证： △ABC与△DEC全等．

22．解答下列各题

（1）解方程： = ．

（2）先化简，再求值： ，其中a2+3a﹣1=0．

23．（1）如图，DE∥CB，求证：∠AED=∠A+∠B；

（2）如图，在△ABC中，M为BC的中点，且MA= BC，求证：∠BAC=90°．

24．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．

25．乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用2023元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．

菏泽市2023初二年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．下列交通标志是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念求解．

解答： 解：A、不是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故正确；

C、不是轴对称图形，故错误；

D、不是轴对称图形，故错误．

故选B．

点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．2023年4月21日8时我市区县的可吸入颗粒物数值统计如下表：

区县 曹县 单县 成武 定陶 巨野 东明 郓城 鄄城 牡丹区 开发区

可吸入颗粒物

（mg/m3） 0.15 0.15 0.15 0.15 0.18 0.18 0.13 0.16 0.14 0.14

该日这一时刻的可吸入颗粒物数值的众数和中位数分别是（）

A． 0.15和0.14 B． 0.18和0.15 C． 0.18和0.14 D． 0.15和0.15

考点： 众数；中位数．

分析： 众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将n个数据从小到大（或从大到小）重新排列后，①n是奇数，最中间的那个数是中位数；②n是偶数，最中间两个数的平均数是中位数．据定义，此题可求．

解答： 解：将题干中十个数据按从小到大排列为：0.13，0.14，0.14，0.15，0.15，0.15，0.15，0.16，0.18，0.18．

众数为0.15，

中位数为（0.15+0.15）÷2=0.15．

故选：D．

点评： 此题考查对众数和中位数的定义的掌握情况．记住定义是解决此类题目的关键．

3．（3分）（201 4秋?单县期末）下列命题的逆命题是真命题的是（）

A． 如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角

B． 如果a=b，那么a2=b2

C． 如果两个角相等，那么这两个角是同位角

D． 如果一个整数能被5整除，则这个整数的个位数字是0

考点： 命题与定理．

分析： 分别写出四个命题的逆命题，然后分别根据角相等的定义、平方的意义、同位角的定义和整数的整除性进行判断．

解答： 解：A、逆命题为：如果两个角不是对顶角，那么这两个角不相等，此逆命题为假命题；

B、逆命题为：如果么a2=b2，那么a=b，此逆命题为假命题；

C、逆命题为：如果两个角是同位角，那么这两个角相等，此逆命题为假命题；

D、逆命题为：如果一个整数的个位数字是0，那么这个整数能被5整除，此逆命题为真命题．

故选D．

点评： 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．也考查了逆命题．

4．如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，要使△ABF≌△CDE，需添加个条件，可以是（）

①∠B=∠D ②DE=BF ③AE=CF ④AB∥CD．

A． ① B． ①或②

C． ①或②或④ D． 四个条件中的任意一个

考点： 全等三角形的判定．

分析： 本题要判定△ABF≌△CDE，已知AB=CD，∠BFA=∠DEC=90°，具备了一边一角对应相等，故添加①∠B=∠D ②DE=BF ③AE=CF ④AB∥CD后可分别根据AAS、HL、HL、AAS能判定△ABF≌△CDE．

解答： 解：在△ABF与△CDE中，AB=CD，

由DE⊥AC，BF⊥AC，可得∠BFA=∠DEC=90°．

①添加∠B=∠D后，满足AAS，符合题意；

②添加DE=BF后，满足HL，符合题意；

③添加AE=DF，即AF=CE后，满足HL，符合题意；

④添加AB∥CD，即∠A=∠C后，满足AAS，符合题意．

故选D．

点评： 本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：判定两直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．

5．在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（）

A． 5 B． 4 C． 3 D． 2

考点： 等腰三角形的判定．

分析： 可先求得∠A=36°，再结合平行及角平分线的定义可得∠EDB=∠EBD=∠DBC=36°，可求得∠BDC=∠C，可判定△ABC、△EBD、△BDC、△ABD和△AED为等腰三角形，可得出答案．

解答： 解：∵∠ABC=∠C=2∠A，

∴AB=AC，

∴△ABC为等腰三角形，

∵∠ABC+∠C+∠A=180°，

∴2∠A+2∠A+∠A=180°，

∴∠A=36°，

∵DE∥BC，

∴∠AED=∠ABC=∠ADE=∠C=72°，∠EDB=∠DBC，

∴AE=AD，

∴△AED为等腰三角形，

∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD=∠DBC，

∴∠EBD=∠DBC=∠EDB=∠A=36°，

∴ED=BE，AD=BD，

∴△ADB、△EBD为等腰三角形，

∴∠BDC=180°﹣∠C﹣∠DBC=72°=∠C，

∴△BCD为等腰三角形，

∴等腰三角形共有5个，

故选A．

点评： 本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键，注意三角形内角和定理及平行线的性质的应用．

6．如图，AE∥DC，∠A=∠C，BD平分∠ADC，则下列说法不正确的是（）

A． AD∥BC B． BC=DC C． F为E中点 D． AF=AD

考点： 平行线的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

分析： 首先证明∠A=∠AEB可得AD∥BC；再证明∠B=∠CDB，可得CB=DC，无法证明△AFD≌△EFB，故F为E中点，错误；然后再证明∠AFD=∠ADB，可得AF=AD．

解答： 解：A、∵AE∥DC，

∴∠C=∠AEB，

∵∠A=∠C，

∴∠A=∠AEB，

∴AD∥BC，故A正确；

B、∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠B，

∵BD平分∠ADC，

∴∠ADB=∠BDC，

∴∠B=∠CDB，

∴CB=DC，故B正确；

C、∵∠A=∠AEB，∠B=∠ADB，∠AFD=∠BFE，

没有边相等的条件，无法证明△AFD≌△EFB，

∴F为E中点，错误，故C错误；

D、∵AE∥DC，

∴∠BDC=∠AFD，

∵∠ADF=∠CDB，

∴∠AFD=∠ADB，

∴AF=AD，

故D正确；

故选：C．

点评： 此题主要考查了平行线的判定和性质，以及等角对等边，关键是掌握两直线平行，内错角相等，内错角相等，两直线平行．

7．分式方程 的解是（）

A． x=﹣2 B． x=2 C． x=1 D． x=1或x=2

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 观察可得最简公分母是（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．

解答： 解：方程的两边同乘（x﹣2），得

2x﹣5=﹣3，

解得x=1．

检验：当x=1时，（x﹣2）=﹣1≠0．

∴原方程的解为：x=1．

故选：C．

点评： 考查了解分式方程，注意：

（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

8．如图，∠ABC=∠DCB，AB=DC，ME平分∠BMC交BC于点E，则下列说法正确的有（）

①△ABC≌△DCB；②ME垂直平分BC；③△ABM≌△EBM；④△ABM≌△DCM．

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个

考点： 全等三角形的判定；线段垂直平分线的性质．

分析： 证明△ABC与△DCB，得到∠MBC=∠MCB，进而得到MB=MC；证明ME⊥BC，BE=CE；证明△ABM≌△DCM，即可解决问题．

解答： 解：在△ABC与△DCB中，

，

∴△ABC与△DCB（SAS），

∴∠MBC=∠MCB，

∴MB=MC；而ME平分∠BMC，

∴ME⊥BC，BE=CE；

故①②正确；

∵∠ABC=∠DCB，∠MBC=∠MCB，

∴∠ABM=∠DCM；在△ABM与△DCM中，

，

∴△ABM≌△DCM（ASA），

故④正确，

故选C．

点评： 该题主要考查了全等三角形的判定定理及其运用问题；解体的关键是牢固掌握全等三角形的判定定理的内容，这是灵活解题的基础和关键．

9．如图，Rt△ABC和Rt△DCE的斜边长相等，其中∠ACB=∠CED=90 °，∠A=45°，∠CDE=30°，∠BCE=15°，连接DB，则∠EDB的度数为（）

A． 10° B． 20° C． 7.5° D． 15°

考点： 等腰直角三角形．

分析： 设AB、CD相交于点F，根据直角三角形两锐角互余求出∠BCD=45°，再根据等腰直角三角形的性质可得CF=BF= AB，CF⊥AB，再求出DF=BF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可求出∠FDB，然后由∠EDB=∠FDB﹣∠CDE即可求出∠EDB的度数．

解答： 解：如图，设AB、 CD相交于点F，

∵∠CED=90°，∠CDE=30°，∠BCE=15°，

∴∠BCD=90°﹣30°﹣15°=45°，

∵∠ACB=90°，∠A=45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴CF=BF= AB，CF⊥AB，

∵AB=CD，

∴DF=BF= AB，

∴∠BDF= （180°﹣90°）=45°，

∴∠BDE=∠BDF﹣∠CDE=45°﹣30°=15°．

故选D．

点评： 本题考查了三角形的内角和定理，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键在于判断出△ABC是等腰直角三角形并求出BF=DF．

10．小朱要到距家2023米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x米/分，则根据题意所列方程正确的是（）

A． B．

C． D．

考点： 由实际问题抽象出分式方程．

分析： 首先表示出爸爸和小朱的速度，再根据题意可得等量关系：小朱走2023米的时间=爸爸走2023米的时间+10分钟，根据等量关系，表示出爸爸和小朱的时间，根据时间关系列出方程即可．

解答： 解：设小朱速度是x米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：

= +10，

即： = +10，

故选：B．

点评： 此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，表示出爸爸和小朱的时间各走2023米所用时间，再由时间关系找出相等关系，列出方程．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．某公司对应聘者进行面试，按专业知识、工作经验、仪表形象给应聘者打分，这三个方面的重要性之比为6：3：1．对应聘的王丽、张瑛两人的打分如下：如果两人中只录取一人，若你是人事主管，你会录用张瑛．

王 丽 张 瑛

专业知识 1 4 1 8

工作经验 1 6 1 6

仪表形象 1 8 1 2

考点： 加权平均数．

专题： 应用题．

分析： 根据平均数的概念求解即可．

解答： 解：由题意知，王丽的最后成绩=14×6+16×3+18=150；

张瑛的最后成绩=18×6+16×3+12=168，

∴录用张瑛．

故答案为张瑛．

点评：本题考查了加权成绩的计算．平均数等于所有数据的和除以数据的个数．

12．计算： =﹣ ．

考点： 分式的加减法．

分析： 先通分，然后进行同分母分式加减运算，最后要注意将结果化为最简分式．

解答： 解：原式= ﹣

=﹣

=﹣ ，

故答案为：﹣ ．

点评： 本题考查了分式的加减法，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．

13．一个样本为1、3、2、2、a，b，c．已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本的方差为 ．

考点： 方差．

分析： 因为众数为3，表示3的个数最多，因为2出现的次数为二，所以3的个数最少为三个，则可设a，b，c中有两个数值为3．另一个未知利用平均数定义求得，从而根据方差公式求方差．

解答： 解：因为众数为3，可设a=3，b=3，c未知

平均数= （1+3+2+2+3+3+c）=2，解得c=0

根据方差公式S2= [（1﹣2）2+（3﹣2）2+（2﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2+（3﹣2）2+（0﹣2）2]=

故填 ．

点评： 本题考查了众数、平均数和方差的定义．

14．如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，AC=8cm，则DE=2cm．

考点： 全等三角形的性质．

分析： 先求出BC，再根据全等三角形对应边相等可得BE=AB，BD=BC，然后根据DE=BD﹣BE计算即可得解．

解答： 解：∵AB=3cm，AC=8cm，

∴BC=8﹣3=5cm，

∵△ABD≌△EBC，

∴BE=AB=3cm，BD=BC=5cm，

∴DE=BD﹣BE=5﹣3=2cm．

故答案为：2．

点评： 本题考查了全等三角形的性质，主要利用了全等三角形对应边相等，熟记性质是解题的关键．

15．已知3a=4b，则 的值为 ．

考点： 分式的值．

分析： 首先得出a，b的关系，进而代入原式求出即可．

解答： 解：∵3a=4b，

∴2b=1.5a，

故原式= = = ．

故答案为： ．

点评： 此题主要考查了分式的值，正确得出a，b之间的关系是解题关键．

16．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为17．

考点： 作图—基本作图；线段垂直平分线的性质．

分析： 首先根据题意可得MN是AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得AD=BD，再根据△ADC的周长为10可得AC+BC=10，又由条件AB=7可得△ABC的周长．

解答： 解：∵在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．

∴MN是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∵△ADC的周长为10，

∴AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=10，

∵AB=7，

∴△ABC的周长为：AC+BC+AB=10+7=17．

故答案为17．

点评： 此题考查了线段垂直平分线的性质与作法．题目难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．

17．如图，已知△ABC中，∠BAC=140°，现将△ABC进行折叠，使顶点B、C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为100°．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 如图，由三角形内角和定理求出∠B+∠C=40°；证明∠ADE+∠AED=2（α+β）=80°，即可解决问题．

解答： 解：如图，∵∠BAC=140°，

∴∠B+∠C=180°﹣140°=40°；

由题意得：∠B=∠DAB（设为α），∠C=∠EAC（设为β），

∴∠ADE=2α，∠AED=2β，

∴∠DAE=180°﹣2（α+β）=180°﹣80°=100°，

故答案为100°．

点评： 该题主要考查了旋转变换的性质、三角形的内角和定理及其应用问题；解题的关键是灵活运用旋转变换的性质、三角形的内角和定理来分析、判断、推理或解答．

18．如图，四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AM、DM分别是∠DAB与∠ADC的角平分线，AD=10，BC=6，则△ADM的面积为15．

考点： 角平分线的性质．

分析： 过M作ME⊥AD，由角平分线的性质可得ME=MC=MB=3，再利用直角三角形的面积进行计算即可．

解答： 解：

过M作ME⊥AD，

∵DM平分∠ADC，MC⊥DC，ME⊥DA，

∴MC=ME，

同理可得ME=MB，

∴ME= BC=3，

∴S△ADM= AD?ME= ×10×3=15，

故答案为：15．

点评： 本题主要考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等求得ME是解题的关键．

19．已知关于x的方程2+ 有增根，则a的值为1．

考点： 分式方程的增根．

分析： 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．

解答： 解：方程两边都乘（x﹣5），

得2（x﹣1）+a=x．

∵原方程有增根，

∴最简公分母x﹣1=0，

解得x=1，

当x=1时，a=1，

故a的值可能是1．

故答案为：1．

点评： 考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．

20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，∠ABC的平分线BE分别交CD、CA于点F、E，则下列结论正确的①③④（只填序号）

①∠CFE=∠CEF；②∠FCB=∠FBC；③∠A=∠DCB；④∠CFE与∠CBF互余．

考点： 三角形内角和定理；余角和补角；三角形的外角性质．

分析： ①利用外角的性质可得∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，由角平分线的性质可得：∠5=∠6，由同角的余角相等可得：∠A=∠4，进而可得∠1=∠2，即∠CFE=∠CEF；

②采用分析法，若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，由（1）可知：∠A=∠4，进而∠A=∠5=∠6，然后由 直角三角形两锐角互余可得∠A=30°，即只有当∠A=30°时，∠FCB=∠FBC而已知没有这个条件；

③由同角的余角相等可得：∠A=∠4，即∠A=∠DCB；

④由∠1=∠2，∠1与∠5互余，可得∠2与∠5互余，即：∠CFE与∠CBF互余．

解答： 解：如图所示，

①∵BE平分∠ABC，

∴∠5=∠6，

∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，

∴∠A=∠4，

∵∠1=∠A+∠6，∠2=∠4+∠5，

∠1=∠2，

故∠CFE=∠CEF，所以①正确；

②若∠FCB=∠FBC，即∠4=∠5，

由（1）可知：∠A=∠4，

∴∠A=∠5=∠6，

∵∠A+∠5+∠6=180°，

∴∠A=30°，

即只有当∠A=30°时，∠FCB=∠FBC而已知没有这个条件，故②错误；

③∵∠3+∠4=90°，∠A+∠3=90°，

∴∠A=∠4，

即∠A=∠DCB，故③正确；

④∵∠1=∠2，∠1+∠5=90°，

∴∠2+∠5=90°，

即：∠CFE与∠CBF互余，故④正确．

故答案为：①③④．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质，利用阿拉伯数字加弧线表示角更形象．

三、解答题（共6小题，满分60分）

21．如图，四边形ABCD中，E点在AD上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE，求证：△ABC与△DEC全等．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 证明题．

分析： 根据同角的余角相等可得到∠3=∠5，结合条件可得到∠1=∠D，再加上BC=CE，可证得结论．

解答： 解：∵∠BCE=∠ACD=90°，

∴∠3+∠4=∠4+∠5，

∴∠3=∠5，

在△ACD中，∠ACD=90°，

∴∠2+∠D=90°，

∵∠BAE=∠1+∠2=90°，

∴∠1=∠D，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（AAS）．

点评： 本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．

22．解答下列各题

（1）解方程： = ．

（2）先化简 ，再求值： ，其中a2+3a﹣1=0．

考点： 分式的化简求值；解分式方程．

专题： 计算题．

分析： （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

解答： 解：（1）方程两边都乘（2﹣x）（2+x），得x2=2﹣x﹣4+x2，

解得：x=﹣2，

检验：当x=﹣2时，（2﹣x）（2+x）=0，

∴x=﹣2是增根，原方程无解；

（2）原式= ÷ = ? = ，

由a2+3a﹣1=0，得到a2+3a=a（a+3）=1，

则原式= ．

点评： 此题考查了分式的化简求值，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

23．市射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加省比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如表：

选手 选拔成绩/环 中位数 平均数

甲 10 9 8 8 10 9 9 9

乙 10 10 8 10 7 9 9.5 9

（1）把表中所空各项数据填写完整；

（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；

（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加省比赛更合适，请说明理由．

考点： 方差；加权平均数；中位数．

分析： （1）根据平均数、中位数的定义，结合图表数据，即可完成表格；

（2）根据平均数，以及方差公式求出甲、乙六次测试成绩的方差即可；

（3）根据方差和平均数两者进行分析．

解答： 解：（1）甲：将六次测试成绩按从小到大的顺序排列为：8，8，9，9，10，10，中位数为（9+9）÷2=9，

平均数为（10+9+8+8+10+9）÷6=9；

乙：第6次成绩为9×6﹣（10+10+8+10+7）=9，

将六次测试成绩按从小到大的顺序排列为：7，8，9，10，10，10，中位数为（9+10）÷2=9.5；

填表如下：

选手 选拔成绩/环 中位数 平均数

甲 10 9 8 8 10 9 9 9

乙 10 10 8 10 7 9 9.5 9

故答案为9，9.9，9.5

（2）s2甲= [2×（8﹣9）2+2×（9﹣9）2+2×（10﹣9）2]= ；

s2乙= [（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+3×（10﹣9）2]= ；

（3）我认为推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：

两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．

点评： 此题主要考查了中位数的定义，平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为 ，则方差S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

23．（1）如图，DE∥CB，求证：∠AED=∠A+∠B；

（2）如图，在△ABC中，M为BC的中点，且MA= BC，求证：∠BAC=90°．

考点： 平行线的性质；等腰三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）延长AE交CB于点F，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和可得∠AFC=∠A+∠B，再根据两直线平行，同位角相等可得∠AED=∠AFC，再利用等量代换可得∠AED=∠A+∠B；

（2）根据M为BC的中点，且MA= BC可得MA=MC，MA=MB，根据等边对等角可得∠MAC=∠C，∠MAB=∠B， 再根据三角形内角和可得∠MAC+∠C+∠MAB+∠B=180°，进而可得∠BAC=90°．

解答： 证明：（1）延长AE交CB于点F，

则∠AFC=∠A+∠B，

又∵DE∥CB，

∴∠AED=∠AFC，

∴∠AED=∠A+∠B；

（2）∵M为BC的中点，且MA= BC，

∴MA=MC，MA=MB，

∴∠MAC=∠C ，∠MAB=∠B，

又∵∠MAC+∠C+∠MAB+∠B=180°，

∴∠MAC+∠MAB=90°，

即∠BAC=90°．

点评： 此题主要考查了等边对等角，平行线的性质，关键是正确作出辅助线，掌握两直线平行，同位角相等．

24．如图，已知△ABC为等边三角形，D为BC延长线上的一点，CE平分∠ACD，CE=BD，求证：△ADE为等边三角形．

考点： 等边三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： 由条件可以容易证明△ABD≌△ACE，进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．

解答： 证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，AB=AC，

即∠ACD=120°，

∵CE平分∠ACD，

∴∠1=∠2=60°，

在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，

又∠BAC=60°，

∴∠DAE=60°，

∴△ADE为等边三角形．

点评： 本题考查了等边三角形的判定与性质，难度适中，关键找出判定三角形等边的条件．

25．乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用2023元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．

考点： 分式方程的应用．

专题： 压轴题．

分析： 先设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．

解答： 解：设小李所进乌梅的数量为x（kg），根据题意得：

?40%?150﹣（x﹣150）? ?20%=750，

解得：x=200，

经检验x=200是原方程的解，

解法二：

总销售额﹣成本=获得的利润

?（1+40%）?150+（x﹣150）? ?（1﹣20%）﹣2023=750，

x=200，

经检验x=200是原方程的解，

答：小李所进乌梅的数量为200kg．

点评： 此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．