宁波市2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

宁波市2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．一次函数y=3x+6的图象经过()

A．第1、2、3象限 B．第2、3、4象限 C．第1、2、4象限 D．第1、3、4象限

2．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是()

A． （1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）

3．下列各式中，正确的是()

A．3 =2 B． C． =5 D． =﹣5

4．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是()

A． B． C． D．

5．把方程x2﹣4x﹣6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为()

A．（x﹣4）2=6 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=10 D．（x﹣2）2=0

6．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是()

A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC

C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC

7．不等式x+2＜6的正整数解有()

A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于()

A．30° B．40° C．50° D．60°

9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()

A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0

10．一次长跑中，当小明跑了2023米时，小刚跑了2023米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次长跑的全程为()米．

A．2023米 B．2023米 C．2023米 D．2023米

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B=__________．

12．函数 中自变量x的取值范围是__________．

13．边长为2的等边三角形的高为__________．

14．方程x2﹣6x+8=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是__________．

15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=4cm，则阴影部分的面积是__________cm2．

16．将y=x的图象向上平移2个单位，平移后，若y＞0，则x的取值范围是__________．

17．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为__________．

18．已知过点（1，1）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第四象限．设s=2a+b，则s的取值范围是__________．

三、解答题（6小题、共46分）

19．如图，已知在△ ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请在三 角形的边上找一点P，并过点P和三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分成两个等腰三角形．（要求两种不同的分法并写出每个等腰三角形的内角度数）

20．（1）解不等式：3x﹣2（1+2x）≥1

（2）计算：（ + ﹣6 ）?

（3）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．

21．如图，已知A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移，使点B移动到点D（3，4）处，这时点A移动到点C处．

（1）写出点C的坐标__________；

（2）求经过C、D的直线与y轴的交点坐标．

22．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．

（1）求证：∠AEC=∠C；

（2）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？

23．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类别 电视机 洗衣机

进价（元/台） 2023 2023

售价（元/台） 2023 2023

计划购进电视机和洗衣机共1 00台，商店最多可筹集资金202300元．

（不考虑除进价之外的其它费用）

（1）如果商店将购进的电视机与洗衣机销售完毕后获得利润为y元，购进电视机x台，求y与x的函数关系式（利润=售价﹣进价）

（2）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？

（3）哪种进货方案待商店将购进的电视机与洗衣机销售完毕后获得利润最多？并求出最多利润．

24．如图①所示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．

（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM= ，求BN的长；

（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．

问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．

宁波市2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案及试题解析

一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求

1．一次函数y=3x+6的图象经过()

A．第1、2、3象限 B．第2、3、4象限 C．第1、2、4象限 D．第1、3、4象限

考点：一次函数图象与系数的关系．

分析：根据一次函数的性质进行解答即可．

解答： 解：∵一次函数y=3x+6中．k=3＞0，b=6＞0，

∴此函数的图象经过一、二、三象限，

故选A

点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时函数的图象经过一、二、三象限．

2．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是()

A．（1，2） B．（﹣1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）

考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．

分析：直接利用关于y轴对称点的性质得出答案．

解答： 解：点P（1，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，﹣2），

故选：B．

点评：此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．

3．下列各式中，正确的是()

A．3 =2 B． C． =5 D． =﹣5

考点：实数的运算．

专题：计算题．

分析：A、原式合并同类二次根式得到结果，即可做出判断；

B、原式化为最简二次根式，即可做出判断；

C、原式利用二次根式性质计算得到结果，即可做出判断；

D、原式利用二次根式性质计算得到结果，即可做出判断．

解答： 解：A、原式=2 ，错误；

B、原式=2 ，错误；

C、原式=|﹣5|=5，正确；

D、原式=|﹣5|=5，错误，

故选C

点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．把不等式组 的解集表示在数轴上，下列选项正确的是()

A． B． C． D．

考点：在数轴上表示不等式的解集．

分析：求得不等式组的解集为﹣1＜x≤1，所以B是正确的．

解答： 解：由第一个不等式得：x＞﹣1；

由x+2≤3得：x≤1．

∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1．

故选B．

点评：不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

5．把方程x2﹣4x﹣6=0配方，化为（x+m）2=n的形式应为()

A．（x﹣4）2=6 B．（x﹣2）2=4 C．（x﹣2）2=10 D．（x﹣2）2=0

考点：解一元二次方程-配方法．

专题：配方法．

分析：此题考查了配方法解一元二次方程，在把6移项后，左边应该加上一次项系数﹣4的一半的平方．

解答： 解：∵x2﹣4x﹣6=0，

∴x2﹣4x=6，

∴x2﹣4x+4=6+4，

∴（x﹣2）2=10．

故选C．

点评：配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

6．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是()

A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD= DC

C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC

考点：全等三角形的判定．

分析：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．

解答： 解：A、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误；

B、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误；

C、∵在△ABD和△ACD中

∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；

D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确；

故选D．

点评：本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

7．不等式x+2＜6的正整数解有()

A．1个 B．2个 C．3 个 D．4个

考点：一元一次不等式的整数解．

分析：首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的正整数即可．

解答： 解：不等式的解集是x＜4，

故不等式 x+2＜6的正整数解为1，2，3，共3个．

故选C．

点评：本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D在BC上，E是AB的中点，AD、CE相交于F，且AD=DB．若∠B=20°，则∠DFE等于()

A．30° B．40° C．50° D．60°

考点：直角三角形斜边上的中线；线段垂直平分线的性质．

分析：根据直角三角形斜边上中线性质得出BE=CE，根据等腰三角形性质得出∠ECB=∠B=20°，∠DAB=∠B=20°，根据三角形外角性质求出∠ADC=∠B+∠DAB=40°，根据∠三角形外角性质得出DFE=∠ADC+∠ECB，代入求出即可．

解答： 解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，

∴BE=CE，

∵∠B=20°

∴∠ECB=∠B=20°，

∵AD=BD，∠B=20°，

∴∠DAB=∠ B=20°，

∴∠ADC=∠B+∠DAB=20°+20°=40°，

∴∠DFE=∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°，

故选D．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上中线性质的应用，能求出∠ADC和∠ECB的度数是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

9．若关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是()

A．k＞﹣1 B．k＞﹣1且k≠0 C．k＜1 D．k＜1且k≠0

考点：根的判别式．

专题：计算题．

分析：方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．注意考虑“一元二次方程二次项系数不为0”这一条件．

解答： 解：因为方程kx2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，

则b2﹣4ac＞0，即（﹣2）2﹣4k×（﹣1）＞0，

解得k＞﹣1．又结合一元二次方程可知k≠0，

故选：B．

点评：总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：

（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；

（3）△＜0?方程没有实数根．

本题容易出现的错误是忽视k≠0这一条件．

10．一次长跑中，当小明跑了2023米时，小刚跑了2023米，小明、小刚在此后所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次长跑的全程为()米．

A．2023米 B．2023米 C．2023米 D．2023米

考点：一次函数的应用．

分析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解即可．

解答： 解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得

，

解得： ．

故这次越野跑的全程为：2023+300×2=2023米．

故选C．

点评：本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象的数量关系建立方程组是关键．

二、填空题（每小题3分，共24分）

11．在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，∠A=70°，则∠B=20°．

考点：直角三角形的性质．

分析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．

解答： 解：∵∠C=Rt∠，∠A=70°，

∴∠B=90°﹣∠A=90°﹣70°=20°．

故答案为：20°．

点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

12．函数 中自变量x的取值范围是x≥5．

考点：函数自变量的取值范围．

分析：根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．

解答： 解：由题意得，x﹣5≥0，

解得x≥5．

故答案为：x≥5．

点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

13．边长为2的等边三角形的高为 ．

考点：等边三角形的性质．

分析：作出一边上的高，利用勾股定理和等边三角形的性质可求得高．

解答： 解：如图，△ABC为等边三角形，过A作AD⊥BC，交BC于点D，

则BD= AB=1，AB=2，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得：AD= = = ，

故答案为： ．

点评：本题主要考查等边三角形的性质，掌握等边三角形“三线合一”的性质是解题的关键．

14．方程x2﹣6x+8=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是10．

考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

分析：求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长．首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．

解答： 解：解方程x2﹣6x+8=0，得x1=2，x2=4，

当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形；

当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为4+4+2=10．

故答案为10．

点评：本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把 不符合题意的舍去．

15．将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=4cm，则阴影部分的面积是2cm2．

考点：解直角三角形．

分析：由于BC∥DE，那么△ACF也是等腰直角三角形，欲求其面积，必须先求出直角边AC的长；Rt△ABC中，已知斜边AB及∠B的度数，易求得AC的长，进而可根据三角形面积的计算方法求出阴影部分的面积．

解答： 解：∵∠B=30°，∠ACB=90°，AB=4cm，

∴AC=2cm．

由题意可知BC∥ED，

∴∠AFC=∠ADE=45°，

∴AC=CF=2cm．

故S△ACF= ×2×2=2（cm2）．

故答案为：2．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及解直角三角形，发现△ACF是等腰直角三角形，并能根据直角三角形的性质求出直角边AC的长，是解答此题的关键．

16．将y=x的图象向上平移2个单位，平移后，若y＞0，则x的取值范围是x＞﹣2．

考点：一次函数图象与几何变换．

分析：首先得出平移后解析式，进而求出函数与坐标轴交点，即可得出y＞0时，x的取值范围．

解答： 解：∵将y=x的图象向上平移2个单位，

∴平移后解析式为：y=x+2，

当y=0时，x=﹣2，

故y＞0，则x的取值范围是：x＞﹣2．

故答案为：x＞﹣2．

点评：此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确得出平移后解析式是解题关键．

17．如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为4．

考点：翻折变换（折叠问题）．

分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BND中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．

解答： 解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，

∵D是BC的中点，

∴BD=3，

在Rt△BND中，x2+32=（9﹣x）2，

解得x=4．

故线段BN的长为4．

故答案为：4．

点评：此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．

18．已知过点（1，1）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第四象限．设s=2a+b，则s的取值范围是0＜s＜3．

考点：一次函数图象与系数的关系．

分析：根据一次函数的性质进行解答即可．

解答： 解：∵一次函数y=ax+b经过一、二、三象限，不经过第四象限，且过点（1，1），

∴a＞0，b≥0，a+b=1，

可得： ，

可得：0＜a≤1，0＜1﹣b≤1，

可得：0＜a≤1，0≤b＜1，

所以s=2a+b，可得：0＜2a+b＜3，

s的取值范围为：0＜s＜3，

故答案为：0＜s＜3．

点评：本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＞0，b＞0时函数的图象经过一、二、三象限．

三、解答题（6小题、共46分）

19．如图，已知在△ABC中，∠A=120°，∠B=20°，∠C=40°，请在三角形的边上找一点P，并过点P和三角形的一个顶点画一条线段，将这个三角形分成两个等腰三角形．（要求两种不同的分法并写出每个等腰三角形的内角度数）

考点：作图—应用与设计作图．

分析：因为，∠A=120°，可以以A为顶点作∠BAP=20°，则∠PAC=100°，∠APC=40°，∴△APB，△APC都是等腰三角形；还可以以A为顶点作∠BAP=80°，则∠PAC=40°，∠APC=100°，∴△APB，△APC都是等腰三角形．

解答： 解：

给出一种分法得（角度标注 1分）．

点评：此题主要考查等腰三角形的判定以及作一个角等于已知角的作法．

20．（1）解不等式：3x﹣2（1+2x）≥1

（2）计算：（ + ﹣6 ）?

（3）解方程：2x2﹣4x﹣1=0．

考点：二次根式的混合运算；解一元二次方程-公式法；解一元一次不等式．

分析：（1）去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解；

（2）首先对二次根式进行化简，然后利用乘法法则计算即可求解；

（3）利用求根公式即可直接求解．

解答： 解：（1）去括号，得3x﹣2﹣4x≥1

移项、合并同类项，得﹣x≥3

系数化成1得x≤﹣3；

（2）原式=

=

=6；

（3）∵a=2，b=﹣4，c=﹣1，

△=16+8=24，

∴x= = ．

∴原方程有解为x1= ，x2= ．

点评：本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．

21．如图，已知A（﹣1，0），B（1，1），把线段AB平移，使点B移动到点D（3，4）处，这时点A移动到点C处．

（1）写出点C的坐标（1，3）；

（2）求经过C、D的直线与y轴的交点坐标．

考点：待定系数法求一次函数解析式；坐标与图形变化-平移．

分析：（1）根据网格结构找出点C、D的 位置，再根据平面直角坐标系写出点C的坐标；

（2）根据待定系数法确定解析式，即可求得与y轴的交点坐标．

解答： 解：（1）线段CD如图所示，C（1，3）；

故答案为（1，3）；

（2）解：设经过C、D的直线解析式为y=kx+b

C（1，3）、D（3，4）代入：：

解得：k= b= ，

∴经过C、D的直线为y= x+ ，

令x=0，则y= ，

∴与y轴交点坐标为（0， ）．

点评：本题考查了利用平移变换作图和待定系数法求解析式，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

22．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．

（1）求证：∠AEC=∠C；

（2）若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少？

考点：勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

分析：（1）首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE=BE=ED，再根据等边对等角可得∠B=∠BAE，从而可得∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，再由条件∠C=2∠B可得结论；

（2）首先利用勾股定理计算出2AB的长， 然后可得答案．

解答： （1）证明：∵AD⊥AB，

∴△ABD为直角三角形，

又∵点E是BD的中点，

∴ ，

∴∠B=∠BAE，∠AEC=∠B+∠BAE=2∠B，

又∵∠C=2∠B，

∴∠AEC=∠C；

（2）解：在Rt△ABD中，AD=5，BD=2AE=2×6.5=13，

∴ ，

∴△ABE的周长=AB+BE+AE=12+6.5+6.5=25．

点评：此题主要考查了勾股定理，以及直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

23．某商店需要购进一批电视机和洗衣机，根据市场调查，决定电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．电视机与洗衣机的进价和售价如下表：

类别 电视机 洗衣机

进价（元/台） 2023 2023

售价（元/台） 2023 2023

计划购进电视机和洗衣机共100台，商店最多可筹集资金202300元．

（不考虑除进价之外的其它费用）

（1）如果商店将购进的电视机与洗衣机销售完毕后获得利润为y元，购进电视机x台，求y与x的函数关系式（利润=售价﹣进价）

（2）请你帮助商店算一算有多少种进货方案？

（3）哪种进货方案待商店将购进的电视机与洗衣机销售完毕后获得利润最多？并求出最多利润．

考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．

分析：（1）根据题意列出解析式即可；

（2）关键描述语：电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半，由此可用不等式将电视机和洗衣机的进货量表示出来，再根据商店最多可筹到的资金数可列不等式，求解不等式组即可；

（3）根据利润=售价﹣进价，列出关系式进行讨论可知哪种方案获利最多

解答： 解：（1）y=x+（2023﹣2023）（100﹣x）=100x+20230；

（2）设商店购进电视机x台，则购进洗衣机（100﹣x）台，

根据题意得 ，

解不等式组得 ≤x≤39 ，

∵x取整数，

∴x可以取34，35，36，37，38，39，

即购进电视机最少34台，最多39台，商店有6种进货方案；

（3）设商店销售完毕后获利为y元，根据题意得

y=x+（2023﹣2023）（100﹣x）=100x+20230．

∵100＞0，

∴y随x增大而增大，

∴当x=39时，商店获利最多为20230元．

点评：此题考查一次函数应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．准确的解不 等式是需要掌握的基本计算能力，要熟练掌握利用自变量的取值范围求最值的方法．注意本题的不等关系为：电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半；电视机进货量不少于洗衣机的进货量的一半．

24．如图①所 示，直线L：y=mx+5m与x轴负半轴，y轴正半轴分别交于A、B两点．

（1）当OA=OB时，求点A坐标及直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM= ，求BN的长；

（3）当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③．

问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值？若是，请求出其值；若不是，说明理由．

考点：一次函数综合题．

分析：（1）当y=0时，x=﹣5；当x=0时，y=5m，得出A（﹣5，0），B（0，5m），由OA=OB，解得：m=1，即可得出直线L的解析式；

（2）由勾股定理得出OM的长，由AAS证明△AMO≌△ONB，得出BN=OM，即可求出BN的长；

（3）作EK⊥y轴于K点，由AAS证得△ABO≌△BEK，得出对应边相等OA=BK，EK=OB，得出EK=BF，再由AAS证明△PBF≌△PKE，得出PK=PB，即可得出结果．

解答： 解：（1）∵对于直线L：y=mx+5m，

当y=0时，x=﹣5，

当x=0时，y=5m，

∴A（﹣5，0），B（0，5m），

∵OA=OB，

∴5m=5，解得：m=1，

∴直线L的解析式为：y=x+5；

（2）∵OA=5，AM= ，

∴由勾股定理得：OM= = ，

∵∠AOM+∠AOB+∠BON=180°，∠AOB=90°，

∴∠AOM+∠BON=90°，

∵∠AOM+∠OAM=90°，

∴∠BON=∠OAM，

在△AMO和△OBN中， ，

∴△AMO≌ △ONB（AAS）

∴BN=OM= ；

（3）PB的长是定值，定值为 ；理由如下：

作EK⊥y轴于K点，如图所示：

∵点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，

∴AB=BE，∠ABE=90°，BO=BF，∠OBF=90°，

∴∠ABO+∠EBK=90°，

∵∠ABO+∠OAB=90°，

∴∠EBK=∠OAB，

在△ABO和△BEK中， ，

∴△ABO≌△BEK（AAS），

∴OA=BK，EK=OB，

∴EK=BF，

在△PBF和△PKE中， ，

∴△PBF≌△PKE（AAS），

∴PK=PB，

∴PB= BK= OA= ×5= ．

点评：本题是一次函数综合题目，考查了一次函数解析式的求法、等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要通过作辅助线两次证明三角形全等才能得出结果．