上海市2023初二年级数学深层次期中测试卷(含答案解析)

上海市2023初二年级数学深层次期中测试卷(含答案解析)

一、单项选择题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）

1．函数y= 自变量x的取值范围是（）

A． x≥3 B． x≤3 C． x＞3 D． x＜3

2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

3．以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（）

A． 32，42，52 B． C． D．

4．已知a、b、c是常数，且a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0有实数根的条件是（）

A． b2﹣4ac＜0 B． b2﹣4ac＞0 C． b2﹣4ac≥0 D． b2﹣4ac≤0

5．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）

A． y1＞y2 B． y1＜y2 C． y1=y2 D． 以上都有可能

6．下列说法正确的是（）

A． 三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系

B． 长方形的面积一定时，它的长和宽满足正比例关系

C． 正方形的周长与边长满足正比例关系

D． 圆的面积和它的半径满足正比例关系

7．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）

A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 等边三角形 D． 直角三角形

8．下列说法错误的是（）

A． 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

B． 到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆

C． 到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线

D． 等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线

二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）

9．化简： =．

10．方程：x（x﹣1）=2x的根是．

11．在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3=．

12．已知函数 ，则f（3）=．

13．已知一次函数的图象y=kx+3与直线y=2x平行，则实数k的值是．

14．反比例函数y= 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是．

15．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程：．

16．如图，AD是△ABC的角平分线，若△ABC的面积是48，且AC=16，AB=12，则点D到AB的距离是．

17．已知三角形三个内角的度数之比3：2：1，若它的最大边长是18，则最小边长是．

18．如图，CD是△ABC的AB边上的高，CE是AB边上的中线，且∠ACD=∠DCE=∠ECB，则∠B=°．

19．某种货物原价是x（元），王老板购货时买入价按原价扣去25%，王老板希望对此货物定一个新价y（元），以便按新价八折销售时仍然可以获得原价25%的利润，则新价y与原价x的函数关系式是．

20．如图，已知长方形ABCD纸片，AB=8，BC=4，若将纸片沿AC折叠，点D落在D′，则重叠部分的面积为．

三、解答题：（本大题共7题，满分48分）

21．用配方法解方程：x2﹣4x﹣96=0．

22．已知 ，求 的值．

23．化简： ．

24．弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在0～10千克范围内），测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）有如下关系：

x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16

（1）此弹簧的原长度是厘米；

（2）物体每增加一千克重量弹簧伸长厘米；

（3）弹簧总长度y（厘米）与所挂物体的重量x（千克）的函数关系式是．

25．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD做垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD=2CE．

26．已知等边△ABC的两个顶点坐标是A（0，0），B（ ，3）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求△ABC的边长，直接写出点C的坐标．

27．（12分）（2023秋?长宁区期末）如图，已知△ABC（AB＞AC），在∠BAC内部的点P到∠BAC两边的距离相等，且PB=PC．

（1）利用尺规作图，确定符合条件的P点（保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）过点P作AC的垂线，垂足D在AC延长线上，求证：AB﹣AC=2CD；

（3）当∠BAC=90°时，判断△PBC的形状，并证明你的结论；

（4）当∠BAC=90°时，设BP=m，AP=n，直接写出△ABC的周长和面积（用含m、n的代数式表示）．

上海市2023初二年级数学深层次期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本大题共8题，每题2分，满分16分）

1．函数y= 自变量x的取值范围是（）

A． x≥3 B． x≤3 C． x＞3 D． x＜3

考点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件．

分析： 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式求解．

解答： 解：根据题意得：3﹣x＞0，

解得x＜3．故选D．

点评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

2．下列二次根式中，与 是同类二次根式的是（）

A． B． C． D．

考点： 同类二次根式．

分析： 先将各选项化简，再根据同类二次根式的定义解答．

解答： 解：A、 与 被开方数相同，故是同类二次根式；

B、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；

C、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；

D、 与 被开方数不相同，故不是同类二次根式；

故选A．

点评： 此题考查同类二次根式的定义，正确对根式进行化简，以及正确理解同类二次根式的定义是解决问题的关键．

3．以下列各组数为边长的三角形中，能够构成直角三角形的是（）

A． 32，42，52 B． C． D．

考点： 勾股定理的逆定理．

分析： 利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可．

解答： 解：A、因为（32）2+（42）2≠（52）2所以三条线段不能组成直角三角形；

B、因为22+（ ）213≠（ ）2所以三条线段能组成直角三角形；

C、因为（ 1）2+（ ﹣1）2=（ ）2，所以三条线段能组成直角三角形；

D、因为（ ）2+（ ）2≠（ ）2，所以三条线段不能组成直角三角形；

故选：C．

点评： 此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．

4．已知a、b、c是常数，且a≠0，则关于x的方程ax2+bx+c=0有实数根的条件是（）

A． b2﹣4ac＜0 B． b2﹣4ac＞0 C． b2﹣4ac≥0 D． b2﹣4ac≤0

考点： 根的判别式．

分析： 根据关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）有实数根的条件是△≥0即可得出正确的选项．

解答： 解：∵a、b、c是常数，且a≠0，

∴关于x的方程ax2+bx+c=0有实数根的条件是：b2﹣4ac≥0，

故选C．

点评： 本题考查了根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

5．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=﹣3x上的两点，且x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）

A． y1＞y2 B． y1＜y2 C． y1=y2 D． 以上都有可能

考点： 一次函数图象上点的坐标特征．

专题： 数形结合．

分析： 根据正比例函数的增减性即可作出判断．

解答： 解：∵y=﹣3x中﹣3＜0，

∴y随x的增大而减小，

∵x1＞x2，

∴y1＜y2．

故选B．

点评： 此题考查了正比例函数的增减性，根据k的取值判断出函数的增减性是解题的关键．

6．下列说法正确的是（）

A． 三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足正比例关系

B． 长方形的面积一定时，它的长和宽满足正比例关系

C． 正方形的周长与边长满足正比例关系

D． 圆的面积和它的半径满足正比例关系

考点： 正比例函数的定义．

分析： 分别利用三角形、矩形、圆的面积公式得出函数关系，进而判断得出即可．

解答： 解：A、三角形的面积一定时，它的一条边长与这条边上的高满足反比例关系，故此选项错误；

B、长方形的面积一定时，它的长和宽满足反比例关系，故此选项错误；

C、正方形的周长与边长满足正比例关系，正确；

D、圆的面积和它的半径满足二次函数关系，故此选项错误；

故选：C．

点评： 此题主要考查了正比例函数的定义，正确把握各函数的定义是解题关键．

7．如果三角形中两条边的垂直平分线的交点在第三条边上，那么这个三角形一定是（）

A． 锐角三角形 B． 钝角三角形 C． 等边三角形 D． 直角三角形

考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答．

解答： 解：如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上，

连接CO，

∵OD是AC的垂直平分线，

∴OC=OA，

同理OC=OB，

∴OA=OB=OC，

∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，

∴C是直角．

故选D．

点评： 本题考查的是线段垂直平分线的性质，根据题意画出图形利用数形结合求解是解答此题的关键．

8．下列说法错误的是（）

A． 在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线

B． 到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆

C． 到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线

D． 等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线

考点： 轨迹．

分析： 根据角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质结合图形进行解答即可．

解答： 解：在一个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线，A正确；

到点P距离等于1 cm的点的轨迹是以点P为圆心，半径长为1cm的圆，B正确；

到直线l距离等于2 cm的点的轨迹是两条平行于l且与l的距离等于2cm的直线，C正确；

等腰△ABC的底边BC固定，顶点A的轨迹是线段BC的垂直平分线（BC的中点除外），D错误，

故选：D．

点评： 本题考查的是点的轨迹，掌握角平分线的性质、圆的轨迹、平行线和等腰三角形的性质是解题的关键．

二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）

9．化简： =3 ．

考点： 二次根式的性质与化简．

分析： 把被开方数化为两数积的形式，再进行化简即可．

解答： 解：原式=

=3 ．

故答案为：3 ．

点评： 本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．

10．方程：x（x﹣1）=2x的根是0或3．

考点： 解一元二次方程-因式分解法．

分析： 先移项，然后利用提取公因式法对等式的左边进行因式分解，最后解方程即可．

解答： 解：由原方程，得

x（x﹣1﹣2）=0，即x（x﹣3）=0，

所以x=0或x﹣3=0，

解得x1=0，x2=3，

故答案是：0或3．

点评： 本题考查了解一元二次方程﹣﹣因式分解法．

因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；

②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；

③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；

④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

11．在实数范围内分解因式：x2﹣x﹣3= ．

考点： 实数范围内分解因式．

分析： 首先解一元二次方程x2﹣x﹣3=0，即可直接写出分解的结果．

解答： 解：解方程x2﹣x﹣3=0，

得x= ，

则：x2﹣x﹣3= ．

故答案是： ．

点评： 本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．若是关于一个字母的二次三项式分解，可以利用一元二次方程的求根公式进行分解，在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．

12．已知函数 ，则f（3）= +1．

考点： 函数值．

分析： 根据函数关系式，把x的值代入，即可解答．

解答： 解：f（3）= = = = ；

故答案为： +1．

点评： 本题考查了函数关系式，解决本题的关键是用代入法求解．

13．已知一次函数的图象y=kx+3与直线y=2x平行，则实数k的值是2．

考点： 两条直线相交或平行问题．

分析： 由平行直线的特征可求得k的值．

解答： 解：∵一次函数的图象y=kx+3与直线y=2x平行，

∴k=2．

故答案为：2．

点评： 本题主要考查平行直线的特征，掌握平行直线的比例系数k相等是解题的关键．

14．反比例函数y= 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是k＜3．

考点： 反比例函数的性质．

专题： 探究型．

分析： 先根据当x＞0时，y随x的增大而增大判断出k﹣3的符号，求出k的取值范围即可．

解答： 解：∵反比例函数y= 的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，

∴k﹣3＜0，解得k＜3．

故答案为：k＜3．

点评： 本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y= （k≠0）的图象是双曲线，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．

15．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，设个位上的数字为x，列出关于x的方程：x2+（x+4）2=x+10（x+4）﹣4．

考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．

专题： 数字问题．

分析： 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为x+4，那么这两位数为：10（x+4）+x，这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，再根据两数的值相差4即可得出答案．

解答： 解：依题意得：十位数字为：x+4，这个数为：x+10（x+4）

这两个数的平方和为：x2+（x+4）2，

∵两数相差4，

∴x2+（x+4）2=x+10（x+4）﹣4．

故答案为：x2+（x+4）2=x+10（x+4）﹣4．

点评： 本题考查了数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解．

16．如图，AD是△ABC的角平分线，若△ABC的面积是48，且AC=16，AB=12，则点D到AB的距离是 ．

考点： 角平分线的性质．

分析： 过D作DE⊥AB与E，过D作DF⊥AC于F，由AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，可得DE=DF，又由△ABC的面积等于48，AC=12，AB=16，S△ABC=S△ABD+S△ACD，即可求得答案．

解答： 解：过D作DE⊥AB与E，过D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF，

∵△ABC的面积等于48，AC=12，AB=16，

∴S△ABC=S△ABD+S△ACD= AB?DE+ AC?DF= AB?DE+ AC?DE= DE（AB+AC），

即 ×DE×（12+16）=48，

解得：DE= ．

故答案为： ．

点评： 此题考查了角平分线的性质以及三角形的面积问题，正确的作出辅助线是解题的关键．

17．已知三角形三个内角的度数之比3：2：1，若它的最大边长是18，则最小边长是9．

考点： 含30度角的直角三角形．

分析： 先根据三角形三个内角之比为1：2：3求出各角的度数判断出三角形的形状，再根据特殊角的三角函数值求解．

解答： 解：∵先根据三角形三个内角之比为1：2：3，

∴设三角形最小的内角为x，则另外两个内角分别为2x，3x，

∴x+2x+3x=180°，

∴x=30°，3x=90°，

∴此三角形是直角三角形，

∴它的最小的边长，即30度角所对的直角边长为： ×18=9，

故答案是：9．

点评： 本题考查的是三角形内角和定理，含30度角的直角三角形．解答此题的关键是根据三角形三个内角度数的比值判断出三角形的形状．

18．如图，CD是△ABC的AB边上的高，CE是AB边上的中线，且∠ACD=∠DCE=∠ECB，则∠B=30°．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

分析： 过E作EF⊥BC于F，证出△ADC≌△EDC，得到AD=DE，根据CE是AB边上的中线，得到AE=BE，根据角平分线的性质得到EF=DE，由于sinB= = ，于是得到结论．

解答： 解：过E作EF⊥BC于F，

∵CD⊥AB，

∴∠ADC=∠EDC=90°，

在△ADC与△EDC中， ，

∴△ADC≌△EDC，

∴AD=DE，

∵CE是AB边上的中线，

∴AE=BE，

∵∠DCE=∠ECB，

∴EF=DE，

∵DE= AE= BE=EF，

∴sinB= = ，

∴∠B=30°．

故答案为：30°．

点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质．等腰三角形的性质，三角形的高线和中线，角平分线的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．

19．某种货物原价是x（元），王老板购货时买入价按原价扣去25%，王老板希望对此货物定一个新价y（元），以便按新价八折销售时仍然可以获得原价25%的利润，则新价y与原价x的函数关系式是 ．

考点： 根据实际问题列一次函数关系式．

分析： 根据题意可得：新价×八折=买入价+利润，根据等量关系代入数据进行计算即可．

解答： 解：由题意得：y×80%=（1﹣25%）x+25%x，

整理得：y= x．

故答案为： ．

点评： 此题主要考查了根据实际问题列一次函数解析式，关键是正确理解题意，掌握售价、进价、利润的关系．

20．如图，已知长方形ABCD纸片，AB=8，BC=4，若将纸片沿AC折叠，点D落在D′，则重叠部分的面积为10．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 过点F作FE⊥AC，垂足为E，由勾股定理得：AC=4 ，然后证明△ACF为等腰三角形，由等腰三角形的性质可求得AE的长，接下来证明△AEF∽△ABC，从而可求得EF的长为 ，最后根据三角形的面积公式求得△ACF的面积即可．

解答： 解：如图所示：过点F作FE⊥AC，垂足为E．

由勾股定理得：AC= =4 ．

∵DC∥AB，

∴∠DCA=∠CAB．

由翻折的性质可知：∠DCA=∠D′CA．

∴∠FAC=∠FCA．

∴AF=CF．

又∵FE⊥AC．

∴AE=CE=2 ．

∵∠EAF=∠BAC，∠FEA=∠CBA=90°，

∴△AEF∽△ABC．

∴ ，即 ．

∴EF= ．

∴ =10．

故答案为：10．

点评： 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、勾股定理、翻折变换，证得△ACF为等腰三角形，由等腰三角形的性质可求得AE的长是解题的关键．

三、解答题：（本大题共7题，满分48分）

21．用配方法解方程：x2﹣4x﹣96=0．

考点： 解一元二次方程-配方法．

分析： 移项，配方后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

解答： 解：x2﹣4x﹣96=0．

x2﹣4x+4=96+4，

配方得：（x﹣2）2=100，

开方得：x﹣2=±10，

解得x1=12，x2=﹣8．

点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

22．已知 ，求 的值．

考点： 二次根式的化简求值．

分析： 先将已知化简，再代入即可．

解答： 解：x=

=

=3 ，

原式=

=

=

=

= ．

点评： 本题主要考查了二次根式的化简求值，先化简再代入是解答此题的关键．

23．化简： ．

考点： 二次根式的性质与化简．

分析： 先根据二次根式的性质，确定a的取值范围为a≤0，再进行化简，即可解答．

解答： 解：根据题意得 a≤0，

原式=6﹣a+（1﹣2a）+（﹣a）

=7﹣4a．

点评： 本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是确定a的取值范围．

24．弹簧挂上物体后会伸长（物体重量在0～10千克范围内），测得一弹簧的长度y（厘米）与所挂物体的质量x（千克）有如下关系：

x（千克） 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y（厘米） 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16

（1）此弹簧的原长度是12厘米；

（2）物体每增加一千克重量弹簧伸长0.5厘米；

（3）弹簧总长度y（厘米）与所挂物体的重量x（千克）的函数关系式是y=0.5x+12．

考点： 函数关系式．

分析： （1）观察表格，当所挂物体质量为0时，即是弹簧不挂物体时的长度；

（2）根据当x=1时，y=12.5，即可解答；

（3）根据表格数据可得y与x成一次函数关系，设y=kx+b，取两点代入可得出y与x的关系式；

解答： 解：（1）弹簧的原长度是12厘米，故答案为12；

（2）∵x=1时，y=12.5，

∴物体每增加一千克重量弹簧伸长12.5﹣12=0.5（厘米），

故答案为：0.5；

（3）设y=kx+b，

将点（0，12），（2，13）代入可得

解得：

则y=0.5x+12．

故答案为：y=0.5x+12．

点评： 本题考查了函数关系式及函数值的知识，解答本题的关键是观察表格中的数据，得出y与x的函数关系式．

25．等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，过点C向BD做垂线，并与BD延长线交于点E，求证：BD=2CE．

考点： 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

专题： 证明题．

分析： 根据已知条件，易证△BFE≌△BCE，所以BF=BC，所以∠F=∠BCE，根据等腰三角形三线合一这一性质可得：CE=FE，再证明△ABD≌△ACF，证得BD=CF，从而证得BD=2CE．

解答： 证明：延长CE，交BA延长线于点F．

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC，

又∵BE⊥EC，

∴∠BEC=∠BEF=90°，

在△BEF和△BEC中，

，

∴△BEF≌△BEC，

∴EF=EC，

即CF=2EC，

∵AB=AC，∠BAC=90°

∴∠CAF=90°

Rt△ABD中，∠ABD+∠ADB=90°，

Rt△AEF中，∠ABD+∠F=90°，

∴∠ADB=∠F，

在△ABD和△ACF中，

，

∴△ABD≌△ACF，

∴BD=CF，

∵CF=2EC，

∴BD=2CE．

点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练应用等边对等角以及等腰三角形三线合一的性质．

26．已知等边△ABC的两个顶点坐标是A（0，0），B（ ，3）．

（1）求直线AB的解析式；

（2）求△ABC的边长，直接写出点C的坐标．

考点： 待定系数法求一次函数解析式．

分析： （1）因为直线过（0，0），因此此函数是正比例函数，设解析式：y=kx（k≠0），把B 代入可解出k的值，进而可得答案；

（2）根据A、B两点坐标可得AB的长，再由三角形是等边三角形可得C点坐标．

解答： 解：（1）设直线AB的解析式：y=kx（k≠0），

把B 代入得： ，

解得 ．

∴AB直线的解析式为 ．

（2）∵A（0，0），B（ ，3），

∴ ，

∵△ABC是等边三角形，

∴ 和C（0，6）．

点评： 此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及等边三角形的判定，关键是掌握凡是经过原点的直线都是正比例函数．

27．（12分）（2023秋?长宁区期末）如图，已知△ABC（AB＞AC），在∠BAC内部的点P到∠BAC两边的距离相等，且PB=PC．

（1）利用尺规作图，确定符合条件的P点（保留作图痕迹，不必写出作法）；

（2）过点P作AC的垂线，垂足D在AC延长线上，求证：AB﹣AC=2CD；

（3）当∠BAC=90°时，判断△PBC的形状，并证明你的结论；

（4）当∠BAC=90°时，设BP=m，AP=n，直接写出△ABC的周长和面积（用含m、n的代数式表示）．

考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．

分析： （1）作∠BAC的平分线和线段BC的垂直平分线，两线交于点P，则点P即为所求；

（2）如图2，作PE⊥AB于点E，联结PB、PC，由点P在∠BAC的平分线上，得到PD=PE，证得Rt△PEB≌Rt△PDC，得到BE=CD，推出Rt△AEP≌Rt△ADP，得到AE=AD，由于AE=AB﹣BE，AD=AC+CD，即可得到结论；

（3）根据等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论；

（4）由（3）证得△BPC是等腰直角三角形，推出△AEP是等腰直角三角形，求得AE= AP，即AE= n，由于AE=AD，BE=CD，于是得到AB+AC=AE+AD= n，求得△ABC的周长= （m+n），根据Rt△PEB≌Rt△PDC，得到S△ABC=S四边形ABPC﹣S△BPC= n2= m2．

解答： 解：（1）如图1所示，点P即为所求作的点；

（2）如图2，作PE⊥AB于点E，联结PB、PC，

∵点P在∠BAC的平分线上，

∴PD=PE，

在Rt△PEB和Rt△PDC中，

，

∴Rt△PEB≌Rt△PDC，

∴BE=CD，

在Rt△AEP和Rt△ADP中，

，

∴Rt△AEP≌Rt△ADP，

∴AE=AD，

∵AE=AB﹣BE，AD=AC+CD，

∴AB﹣BE=AC+CD，

又∵BE=CD，

∴AB﹣AC=2CD；

（3）∵∠BAC=90°，

∴∠EAP=∠PAC=45°，

在Rt△AEP中，∠EAP+∠EPA=90°，

∴∠EPA=45°，

同理∠APD=45°，

∴∠EPD=90°=∠EPC+∠CPD，

由（2）知Rt△PEB≌Rt△PDC，

∴∠BPE=∠CPD，

∴∠BPE+∠EPC=90°，即∠BPC=90°，

又∵BP=PC，

∴△BPC是等腰直角三角形；

（4）由（3）证得△BPC是等腰直角三角形，

∴BC= PB，

∵PB=m，

∴BC= m，

∵AP平分∠BAC，∠CAB=90°，

∴∠EAP=45°，

∴△AEP是等腰直角三角形，

∴AE= AP，

∵AP=n，

∴AE= n，

∵AE=AD，BE=CD，

∴AB+AC=AE+AD= n，

∴△ABC的周长= （m+n），

∵Rt△PEB≌Rt△PDC，

∴S四边形ABPC=S四边形AEPD=AE2= n2，

∵S△ABC=S四边形ABPC﹣S△BPC= n2= m2．

点评： 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，基本作图，正确的作出辅助线是解题的关键．