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宜昌市2023初二年级数学上册期中考试试卷(含答案解析) 一、选择题.（每题3分，共45分） 1．以下四个标志图案是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 2．点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（） A． （﹣3，﹣2） B． （3，2） C． （﹣3，2） D． （3，﹣2） 3．下列计算中正确的是（） A． a2+b3=2a5 B． a4÷a=a4 C． a2?a4=a8 D． （a2）3=a6 4．一粒芝麻约有0.202302千克，0.202302用科学记数学法表示为（）千克． A． 2×10﹣4 B． 0.2×10﹣5 C． 2×10﹣7 D． 2×10﹣6 5．下列各式是完全平方式的是（） A． x2+2x﹣1 B． x2+1 C． x2+2xy+1 D． x2﹣x+ 6．等式（a+1）0=1的条件是（） A． a≠﹣1 B． a≠0 C． a≠1 D． a=﹣1 7．下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（） A． 1，2，3 B． 1，5，5 C． 3，3，6 D． 3，5，1 8．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 9．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（） A． 7cm B． 7cm或5cm C． 5cm D． 3cm 10．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（） A． 3（a+b）=3a+3b B． x2+6x+9=x（x+6）+9 C． ax﹣ay=a（x﹣y） D． a2﹣2=（a+2）（a﹣2） 11．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（） A． a（x﹣2）2 B． a（x+2）2 C． a（x﹣4）2 D． a（x+2）（x﹣2） 12．若分式 的值为0，则x的值为（） A． ﹣1 B． 0 C． 2 D． ﹣1或2 13．如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 14．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（） A． 2 B． 2a C． 4a D． a2﹣1 15．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意下列方程正确的是（） A． +5= B． ﹣5= C． +5= D． ﹣5= 二、解答题.（6分+6分+7分+7分8分+8分+10分+11分+12分） 16．计算2（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）2． 17．解分式方程： +3= ． 18．如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴． 19．先化简再求值（ + ）÷ ，其中m= ． 20．如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E．请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当：AD∥BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG时，DE=BF． 21．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是； （2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； （3）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 23．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β． （1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是，证明你的结论； （2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时， ①探索角α与β之间的数量关系并证明， ②探索线段BC、DC、CE之间的数量关系并证明． （3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是，线段BC、DC、CE之间的数量关系是，并写出证明过程． 24．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP=cm，CP=cm．若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒钟△BPD与△CQP全等，说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q的运动速度为多少时？能够使△BPD≌△CQP？ （3）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以②中的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 宜昌市2023初二年级数学上册期中考试试卷(含答案解析)参考答案与试题解析 一、选择题.（每题3分，共45分） 1．以下四个标志图案是轴对称图形的是（） A． B． C． D． 考点： 轴对称图形． 分析： 根据轴对称图形的概念求解． 解答： 解：A、不是轴对称图形，故错误； B、是轴对称图形，故正确； C、不是轴对称图形，故错误； D、不是轴对称图形，故错误． 故选B． 点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（） A． （﹣3，﹣2） B． （3，2） C． （﹣3，2） D． （3，﹣2） 考点： 关于x轴、y轴对称的点的坐标． 分析： 熟悉：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y）． 解答： 解：根据轴对称的性质，得点（3，﹣2）关于x轴的对称点是（3，2）． 故选B． 点评： 本题比较容易，考查平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．是需要识记的内容．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，另一种记忆方法是记住：关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数． 3．下列计算中正确的是（） A． a2+b3=2a5 B． a4÷a=a4 C． a2?a4=a8 D． （a2）3=a6 考点： 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 分析： 分别利用合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和幂的乘方运算法则等知识分别化简得出即可． 解答： 解：A、a2+b3无法计算，故此选项错误； B、a4÷a=a3，故此选项错误； C、a2?a4=a6，故此选项错误； D、（a2）3=a6，故此选项正确． 故选：D． 点评： 此题主要考查了合并同类项法则以及同底数幂的除法运算法则和幂的乘方运算法则等知识，正确掌握运算法则是解题关键． 4．一粒芝麻约有0.202302千克，0.202302用科学记数学法表示为（）千克． A． 2×10﹣4 B． 0.2×10﹣5 C． 2×10﹣7 D． 2×10﹣6 考点： 科学记数法—表示较小的数． 分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解答： 解：0.000 002=2×10﹣6； 故选：D． 点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 5．下列各式是完全平方式的是（） A． x2+2x﹣1 B． x2+1 C． x2+2xy+1 D． x2﹣x+ 考点： 完全平方式． 分析： 完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．最后一项为乘积项除以2，除以第一个底数的结果的平方． 解答： 解：A、两平方项符号错误，故本选项错误； B、缺少中间项±2x，不是完全平方式，故本选项错误； C、1应该是y2，故本选项错误； D、原式=（x﹣ ）2，是完全平方式，故本选项正确． 故选：D． 点评： 本题是完全平方公式的应用，熟记公式结构：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，是解题的关键． 6．等式（a+1）0=1的条件是（） A． a≠﹣1 B． a≠0 C． a≠1 D． a=﹣1 考点： 零指数幂． 分析： 根据零指数幂：a0=1（a≠0）求解即可． 解答： 解：（a+1）0=1的条件为：a≠﹣1． 故选A． 点评： 本题考查了零指数幂的知识，解答本题的关键是掌握零指数幂：a0=1（a≠0）． 7．下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（） A． 1，2，3 B． 1，5，5 C． 3，3，6 D． 3，5，1 考点： 三角形三边关系． 分析： 看哪个选项中两条较小的边的和大于最大的边即可． 解答： 解：A、2+1=3，不能构成三角形； B、5+1＞5，能构成三角形； C、3+3=6，不能构成三角形； D、1+3＜5，不能构成三角形． 故选B． 点评： 本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长那条就能够组成三角形． 8．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（） A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 考点： 多边形内角与外角． 专题： 计算题． 分析： 本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可． 解答： 解：设这个多边形的边数为n， 则有（n﹣2）180°=900°， 解得：n=7， ∴这个多边形的边数为7． 故选：B． 点评： 本题主要考查多边形的内角和定理，解题的关键是根据已知等量关系列出方程从而解决问题． 9．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（） A． 7cm B． 7cm或5cm C． 5cm D． 3cm 考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系． 专题： 分类讨论． 分析： 分3cm长的边是腰和底边两种情况，分别利用三角形的周长，等腰三角形的性质和三角形的三边关系进行讨论即可求解． 解答： 解：当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立； 当长是3cm的边是腰时，底边长是13﹣3﹣3=7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系． 故底边长是3cm． 故选D． 点评： 本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，正确理解题意，分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键． 10．下列各式由左边到右边的变形中，属于分解因式的是（） A． 3（a+b）=3a+3b B． x2+6x+9=x（x+6）+9 C． ax﹣ay=a（x﹣y） D． a2﹣2=（a+2）（a﹣2） 考点： 因式分解的意义． 分析： 根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积，可得答案． 解答： 解：ax﹣ay=a（x﹣y），故C说法正确， 故选：C． 点评： 本题考查了因式分解，注意因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积． 11．把代数式ax2﹣4ax+4a分解因式，下列结果中正确的是（） A． a（x﹣2）2 B． a（x+2）2 C． a（x﹣4）2 D． a（x+2）（x﹣2） 考点： 提公因式法与公式法的综合运用． 专题： 因式分解． 分析： 先提取公因式a，再利用完全平方公式分解即可． 解答： 解：ax2﹣4ax+4a， =a（x2﹣4x+4）， =a（x﹣2）2． 故选：A． 点评： 本题先提取公因式，再利用完全平方公式分解，分解因式时一定要分解彻底． 12．若分式 的值为0，则x的值为（） A． ﹣1 B． 0 C． 2 D． ﹣1或2 考点： 分式的值为零的条件． 分析： 根据分式的分子为0；分母不为0，分式的值为零，可得答案． 解答： 解：由分式 的值为0，得 ，解得x=﹣1， 故选：A． 点评： 本题考查了分式值为零的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 13．如图，直角坐标系中，点A（﹣2，2）、B（0，1）点P在x轴上，且△PAB是等腰三角形，则满足条件的点P共有（）个． A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 考点： 等腰三角形的判定；坐标与图形性质． 分析： 由AB=AP，可得以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0）； 由BP=AB，可得以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP， 由AP=BP，可得AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB）． 解答： 解：如图，点A（﹣2，2）、B（0，1）， ①以A为圆心，AB为半径画圆，交x轴有二点P1（﹣1，0），P2（﹣3，0），此时（AP=AB）； ②以B为圆心，BA为半径画圆，交x轴有二点P3（﹣2，0），（2，0）不能组成△ABP，故舍去，此时（BP=AB）； ③AB的垂直平分线交x轴一点P4（PA=PB），此时（AP=BP）； 设此时P4（x，0）， 则（x+2）2+4=x2+1， 解得：x=﹣ ， ∴P4（﹣ ，0）． ∴符合条件的点有4个． 故选D． 点评： 此题考查了等腰三角形的判定．此题那难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用． 14．如图，从边长为a+1的正方形纸片中剪去一个边长为a﹣1的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线剪开，再拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（） A． 2 B． 2a C． 4a D． a2﹣1 考点： 平方差公式的几何背景． 专题： 几何变换． 分析： 矩形的面积就是边长是a+1的正方形与边长是a﹣1的正方形的面积的差，列代数式进行化简即可． 解答： 解：矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2=4a． 故选：C． 点评： 本题考查了整式的运算，正确使用完全平方公式是关键． 15．某林场原计划在一定期限内固沙造林240公顷，实际每天固沙造林的面积比原计划多4公顷，结果提前5天完成任务．设原计划每天固沙造林x公顷，根据题意下列方程正确的是（） A． +5= B． ﹣5= C． +5= D． ﹣5= 考点： 由实际问题抽象出分式方程． 专题： 应用题． 分析： 有工作总量240，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“提前5天完成任务”．等量关系为：原计划用的时间﹣实际用的时间=5． 解答： 解：原计划用的时间为： ， 现在用的时间为： ． 那么根据等量关系方程为 ﹣5= ． 故选：B． 点评： 找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题用到的等量关系为：工作时间=工作总量÷工作效率． 二、解答题.（6分+6分+7分+7分8分+8分+10分+11分+12分） 16．计算2（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）2． 考点： 平方差公式；完全平方公式． 分析： 直接利用平方差公式以及完全平方公式去括号整理，进而合并同类项得出即可． 解答： 解：2（x+y）（x﹣y）﹣（x+y）2 =2x2﹣2y2﹣x2﹣2xy﹣y2 =x2﹣3y2﹣2xy． 点评： 此题主要考查了平方差公式以及完全平方公式，正确应用乘法公式是解题关键． 17．解分式方程： +3= ． 考点： 解分式方程． 专题： 计算题． 分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答： 解：去分母得：1+3（x﹣2）=x﹣1， 去括号得：1+3x﹣6=x﹣1， 移项合并得：2x=4， 解得：x=2， 经检验x=2是增根，分式方程无解． 点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18．如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内添涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴． 考点： 利用轴对称设计图案． 分析： 根据轴对称的性质画出图形即可． 解答： 解：如图所示： 点评： 本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键． 19．先化简再求值（ + ）÷ ，其中m= ． 考点： 分式的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=[ + ]? = ? = ， 当m= 时，原式= =﹣ ． 点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．如图，G是线段AB上一点，AC和DG相交于点E．请先作出∠ABC的平分线BF，交AC于点F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法与证明）然后证明当：AD∥BC，AD=BC，∠ABC=2∠ADG时，DE=BF． 考点： 全等三角形的判定与性质． 专题： 作图题． 分析： （1）本题考查学生的基本作图． （2）由题意易证△ADE≌△CBF推出DE=BF． 解答： （1）解：以B为圆心、适当长为半径画弧，交AB、BC于M、N两点，分别以M、N为圆心、大于 MN长为半径画弧，两弧相交于点P，过B、P作射线BF交AC于F． （2）证明如下：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠C． ∵BF平分∠ABC，∴∠ABC=2∠FBC， 又∵∠ABC=2∠ADG，∴∠D=∠FBC， 在△ADE与△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴DE=BF． 点评： 本题考查的是全等三角形的判定定理以及基本作图的有关知识，难度一般． 21．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是50°； （2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由； （3）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使PB+CP的值最小？若存在，标出点P的位置并求PB+CP的最小值；若不存在，说明理由． 考点： 轴对称-最短路线问题；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 分析： （1）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （2）根据等腰三角的性质，三角形的内角和定理，可得∠A的度数，根据直角三角形两锐角的关系，可得答案； （3）根据垂直平分线的性质，可得AM与MB的关系，再根据三角形的周长，可得答案；根据两点之间线段最短，可得P点与M点的关系，可得PB+PC与AC的关系． 解答： 解：（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是 50°， 故答案为：50°； （2）猜想的结论为：∠NMA=2∠B﹣90°． 理由：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠A=180°﹣2∠B， 又∵MN垂直平分AB， ∴∠NMA=90°﹣∠A=90°﹣（180°﹣2∠B）=2∠B﹣90°． （3）如图： ①∵MN垂直平分AB． ∴MB=MA， 又∵△MBC的周长是14cm， ∴AC+BC=14cm， ∴BC=6cm． ②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，最小值是8cm． 点评： 本题考查了轴对称，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出PB=PA． 22．某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的 倍，购进数量比第一次少了30支． （1）求第一次每支铅笔的进价是多少元？ （2）若要求这两次购进的铅笔按同一价格全部销售完毕后获利不低于420元，问每支售价至少是多少元？ 考点： 分式方程的应用；一元一次不等式组的应用． 专题： 计算题． 分析： （1）设第一次每支铅笔进价为x元，则第二次每支铅笔进价为 x元，根据题意可列出分式方程解答； （2）设售价为y元，求出利润表达式，然后列不等式解答． 解答： 解：（1）设第一次每支铅笔进价为x元， 根据题意列方程得， ﹣ =30， 解得x=4， 经检验：x=4是原分式方程的解． 答：第一次每支铅笔的进价为4元． （2）设售价为y元，第一次每支铅笔的进价为4元，则第二次每支铅笔的进价为4× =5元 根据题意列不等式为： ×（y﹣4）+ ×（y﹣5）≥420， 解得y≥6． 答：每支售价至少是6元． 点评： 本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．最后不要忘记检验． 23．在△ABC中，AB=AC，D是直线BC上一点，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AE=AD，∠DAE=∠BAC，连接CE．设∠BAC=α，∠DCE=β． （1）如图（1），点D在线段BC上移动时，角α与β之间的数量关系是α+β=180°，证明你的结论； （2）如图（2），点D在线段BC的延长线上移动时， ①探索角α与β之间的数量关系并证明， ②探索线段BC、DC、CE之间的数量关系并证明． （3）当点D在线段BC的反向延长线上移动时，请在图（3）中画出完整图形并猜想角α与β之间的数量关系是α＞β，线段BC、DC、CE之间的数量关系是BC+CD＞CE，并写出证明过程． 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 分析： （1）先证∠CAE=∠BAD，再证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD=∠ACE，即可得出结论； （2）同（1），证明△ABD≌△ACE，得出对应角相等∠ABD=∠ACE，对应边相等BD=CE，即可得出结论； （3）连接BE，先证明△BAE≌△CAD，得出对应角相等，对应边相等，再根据三角形外角关系和三边关系即可得出结论． 解答： 解：（1）α+β=180°；理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE﹣∠DAC=∠BAC﹣∠DAC， ∴∠CAE=∠BAD， 在△ABD和△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠BAC+∠ABD+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠ACE+∠ACB=180°， ∴∠BAC+∠BCE=180°，即α+β=180°； （2）α=β；理由如下： ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， ∵∠ACD=∠ABD+∠BAC=∠ACE+∠DCE， ∴∠BAC=∠DCE，即α=β； ∵BD=BC+CD， ∴CE=BC+CD （3）α＞β，BC+CD＞CE；如图所示：连接BE， ∵∠DAE=∠BAC， ∴∠DAE+∠DAB=∠BAC+∠DAB， ∴∠BAE=∠CAD， 在△BAE和△CAD中， ， ∴△BAE≌△CAD（SAS）， ∴∠ABE=∠ACD，BE=CD， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵∠ABC+∠ABE+∠DBE=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠DBE=∠BAC=α， ∵∠DBE＞β， ∴α＞β， ∵BC+BE＞CE， ∴BC+CD＞CE． 点评： 本题考查了等腰三角形的性质和全等三角形的判定与性质；证明三角形全等得出对应角相等、对应边相等是解决问题的关键． 24．如图所示，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上由B出发向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒． （1）若点P的速度3cm/s，用含t的式子表示第t秒时，BP=3tcm，CP=8﹣3tcm．若点Q运动速度与点P的运动速度相等，经过几秒钟△BPD与△CQP全等，说明理由； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，且点P的速度比点Q的速度慢1cm/s时，点Q的运动速度为多少时？能够使△BPD≌△CQP？ （3）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以②中的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？ 考点： 全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 专题： 动点型． 分析： （1）根据路程=速度×时间就可以得出结论； （2）分类讨论，当△BPD≌△CPQ和△BPD≌△CQP时，由全等三角形的性质就可以求出结论； （3）Q的速度为5厘米/秒，则P的速度为4厘米/秒，就有20+4t=5t就可以求出t的值． 解答： 解：（1）由题意，得 BP=3t， ∴PC=8﹣3t； 故答案为：3t，8﹣3t （2）①当BP=PC时，BD=CQ， ∵BP+CP=BC=8， ∴BP=4， ∴t=4/3s CQ=4 不成立． 当BP=CQ时，BD=CP， ∵点D为AB的中点， ∴BD=AD， ∵AB=10， ∴BD=5， ∴CP=5， ∴BP=3， ∴t=1，故t=1； ②设Q的速度为acm/s，则P的速度为（a﹣1）cm/s， ∵BP与CQ不相等， ∴BD=CQ，BP=CP， 设运动时间为ts， ∴at=5（a﹣1）t=4， ∴t=1s a=5cm/s； （3）由②知Q的速度是5cm/s，P速度是4cm/s，设经过t秒点Q与点P第一次相遇． ∴20+4t=5t， ∴t=20， 当t=20s时，点Q从点出发运动100米， ∴点Q与点P第一次在△ABC的边AB上相遇． 点评： 本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键． | 
