襄阳市2023初二年级数学上册期中综合试卷(含答案解析)

襄阳市2023初二年级数学上册期中综合试卷(含答案解析)

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）下面各小题均给出了四个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号选出来，填在题后括号里。

1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是()

A． B． C． D．

2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是()

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去

3．如图，△ABE≌△ACD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数是()

A．120° B．70° C．60° D．50°

4．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．△ABC≌△DEF，AB=2，BC=4，若△DEF的周长为偶数，则DF的取值为()

A．3 B．4 C．5 D．3或4或5

6．已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为()

A．2，2，6 B．3，3，4 C．4，4，2 D．3，3，4或4，4，2

7．如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是()

A．SAS B．SSS C．ASA D．HL

8．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE()

A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF

9．已知下列语句：

（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；

（2）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；

（3）三个角对应相等的两个三角形全等；

（4）两个直角三角形全等．

其中正确语句的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

10．如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有()

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案填在题中的横线上

11．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为__________．

12．如图，一个加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是80m，则它到公路n的距离是__________m．

13．图示，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要使△ABC≌△ABD，还需添加一个条件是__________（填上适当的一个条件即可）

14．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是__________．

15．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=__________．

16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=7cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长=__________cm．

17．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为__________．

18．在平面直 角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为__________．

19．一个多边形的外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为__________．

20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD=BD=AC，∠BAC=72°，则∠DAC=__________．

三、解答题（本大题共6个小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将每题的答案写在对 应的答题区域内。

21．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证： AC=CD．

22．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．

23．如图，在 平面直角坐标系中，

（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；

（2）若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出下列各点的坐标：

A1__________；B1__________；C1__________；

（3）求△A1B1C1的面积．

24．如图，在等边△ABC中，点 D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：AD=CE；

（2）求∠DFC的度数．

25．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于E，D在线段AB上，AD=AC，AF平分∠CAE交CE于F．

（1）求证：FD∥CB；

（2）若D在线段BA的延长线上，AF是∠CAD的角平分线AM的反向延长线，其他条件不变，如图2，问（1）中结论是否仍成立？并说明理由．

26．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C两点重合），连接AD，作∠ADE=40°，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=__________；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变__________（填“大”或“小”）；

（2）当△ABD≌△DCE时，求CD的长；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA=110°时，请判断△ADE的形状，并证明之．

襄阳市2023初二年级数学上册期中综合试卷(含答案解析)参考答案及试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）下面各小题均给出了四个选项，其中只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号选出来，填在题后括号里。

1．下列平面图形中，不是轴对称图形的是()

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形的定义作答．

如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．

【解答】解：根据轴对称图形的概念，可知只有A沿任意一条直线折叠直线两旁的部分都不能重合．

故选：A．

【点评】轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．

2．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是()

A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去

【考点】全等三角形的应用．

【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．

【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；

第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．

故选：C．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．

3．如图，△ABE≌△ACD，∠B=50°，∠AEC=120°，则∠DAC的度数是()

A．120° B．70° C．60° D．50°

【考点】全等三角形的性质．

【分析】首先根据邻补角互补可得∠AEB的度数，再根据全等三角形的性质可以计算出∠ADC=∠AEB，∠C=∠B，然后根据三角形内角和定理可得答案．

【解答】解：∵∠AEC=120°，

∴∠AEB=180°﹣120°=60°，

∵△ABE≌△ACD，

∴∠ADC=∠AEB=60°，∠C=∠B=50°，

∴∠DAC=180°﹣50°﹣60°=70°，

故选：B．

【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．

4．现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是()

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】三角形三边关系．

【专题】压轴题．

【分析】从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．

【解答】解：四条木棒的所有组合：3，4，7和3，4，9和3，7，9和4，7，9；

只有3，7，9和4，7，9能组成三角形．

故选：B．

【点评】考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．

5．△ABC≌△DEF，AB=2，BC=4，若△DEF的周长为偶数，则DF的取值为()

A．3 B．4 C．5 D．3或4或5

【考点】全等三角形的性质．

【分析】根据全等三角形的性质得出DE=AB=2，EF=BC=4，根据三角形三边关系定理求出2＜DF＜6，即可得出答案．

【解答】

解：∵△ABC≌△DEF，AB=2，BC=4，

∴DE=AB=2，EF=BC=4，

∴4﹣2＜DF＜4+2，

∴2＜DF＜6，

∵DE=2，EF=4，△DEF的周长为偶数，

∴DF=4，

故选B．

【点评】本题考查了全等三角形的性质和三角形的三边关系定理的应用，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等．

6．已知等腰三角形的周长为10cm，那么当三边为正整数时，它的边长为()

A．2，2，6 B．3，3，4 C．4，4，2 D．3，3，4或4，4，2

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【专题】分类讨论．

【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系可知2a+b=10，2a＞b （令腰为a，底为b），然后根据已知条件“三边为正整数”进行分类讨论．

【解答】解：令腰为a，底为b．

则2a+b=10，2a＞b，

∴0＜b＜5；

①当b=4时，a=3；

②当b=3时，a=3.5（舍去）；

③当b=2时，a=4；

④当b=1时，a=4.5（舍去）；

综上所述，当等腰三角形的三边为正整数是，它的边长为：3，3，4或4，4，2；

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系．解答该题时，采用了“分类讨论”是数学思想．

7．如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用得的三角形全等的判定方法是()

A．SAS B．SSS C．ASA D．HL

【考点】全等三角形的判定．

【专题】证明题．

【分析】由三边相等得△COM≌△CON，即由SSS判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．

【解答】解：由图可知，CM=CN，又OM=ON，OC为公共边

∴△COM≌△CON（SSS）

∴∠AOC=∠BOC

即OC即是∠AOB的平分线．

故选B．

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．

8．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE()

A．BC=EF B．∠A=∠D C．AC∥DF D．AC=DF

【考点】全等三角形的判定．

【分析】要使△ABC≌△DEF，已知AB=ED，BE=CF，具备了两条边对应相等，还缺少边或角对应相等的条件，结合判定方法及图形进行选择即可．

【解答】解：可添加AC=DF，或AB∥DE或∠B=∠DEF，

证明添加AC=DF后成立，

∵BE=CF，

∴BC=EF，

又AB=DE，AC=DF，

∴△ABC≌△DEF．

故选D．

【点评】本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关健．

9．已知下列语句：

（1）有两个锐角相等的直角三角形全等；

（2）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等；

（3）三个角对应相等的两个三角形全等；

（4）两个直角三角形全等．

其中正确语句的个数为()

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】全等三角形的判定．

【分析】根据三角形全等的判定定理和直角三角形全等的判定定理进行解答即可．

【解答】解：（1）有两个锐角相等的直角三角形不一定全等，错误；

（2）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，正确；

（3）三个角对应相等的两个三角形不一定全等，错误；

（4）两个直角三角形不一定全等，错误；

故选B

【点评】本题考查的是直角三角形全等的判定，熟知直角三角形的性质及HL、ASA定理是解答此题的关键．

10．如图，由四 个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上画与△ABC成轴对称的三角形，且顶点都是小正方形的顶点，则这样的三角形（不包含△ABC本身）共有()

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【考点】轴对称的性质．

【分析】先把田字格图标上字母如图，确定对称轴找出符合条件的三角形，再计算个数 ．

【解答】解：△HEC关于CD对称；△FDB关于BE对称；△GED关于HF对称；关于AG对称的是它本身．

所以共3个．

故选C．

【点评】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．

二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）请将每小题的答案填在题中的横线上

11．点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣2）．

【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．

【分析】利用关于x轴对称点的性质，关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y）．

【解答】解：点M（1，2）关于x轴对称的点的坐标为：（1，﹣2）．

故答案为：（1，﹣2）．

【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．

12．如图，一个加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，若加油站到公路m的距离是80m，则它到公路n的距离是80m．

【考点】角平分线的性质．

【专题】应用题．

【分析】根据角平分线的性质解答即可．

【解答】解：因为加油站恰好位于两条公路m，n所夹角的平分线上，

所以加油站到公路m和公路n的距离是相等的，即为80m，

故答案为：80

【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的点到角的两边距离相等．

13．图示，点B在AE上，∠CBE=∠DBE，要使△A BC≌△ABD，还需添加一个条件是BC=BD（填上适当的一个条件即可）

【考点】全等三角形的判定．

【专题】开放型．

【分析】求出∠ABC=∠ABD，根据全等三角形的判定定理SAS推出即可．

【解答】解：BC=BD，

理由是：∵∠CBE=∠DBE，∠CBE+∠ABC=180°，∠DBE+∠ABD=180°，

∴∠ABC=∠ABD，

在△ABC和△ABD中

∴△ABC≌△ABD，

故答案为：BC=BD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的应用，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，主要考查学生的推理能力．

14．如图，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°…照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是100米．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】根据题意，小亮走过的路程是正多边形，先用360°除以36°求出边数，然后再乘以10m即可．

【解答】解：∵每次小亮都是沿直线前进10米后向左转36°，

∴他走过的图形是正多边形，

边数n=360°÷36°=10，

∴他第一次回到出发点A时，一共走了10×10=100米．

故答案为：100米．

【点评】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意判断出小亮走过的图形是正多边形是解题的关键．

15．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF=OD=OE，若∠BAC=70°，∠BOC=125°．

【考点】角平分线的性质．

【分析】根据在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，然后求出∠OBC+∠OCB，再次利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．

【解答】解：∵OF=OD=OE，

∴OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，

∵∠BAC=70°，

∴∠ABC+∠ACB=180°﹣70°=110°，

∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）= ×110°=55°，

∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣55°=125°．

故答案为：125°．

【点评】本题考查了在角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．

16．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=7cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长=27cm．

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=CD，AC=2AE=14cm，

又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，

∴AB+BD+CD=13cm，

即AB+BC=13cm，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+14=27cm．

故答案为27．

【点评】此题主要考查了线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．

17．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为50°，则顶角的度数为100°或40°或140°．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】由于本题已知中没有明确指出等腰三角形是锐角三角形还是钝角三角形，因此要分情况讨论．

【解答】解：△ABC是等腰三角形，且∠BAC为顶角，CD是腰AB的高．

（1）当等腰三角形是锐角三角形时，如图①；

∵∠ACD=50°，

∴∠BAC=90°﹣∠ACD=40°；

（2）当等腰三角形是钝角三角形时；

一、如图②﹣1；

当∠BCD=50°时，∠B=40°；

∴∠BAC=180°﹣2∠B=100°；

二、如图②﹣2；

当∠ACD=50°时，∠CAD=40°；

∴∠BAC=180°﹣∠CAD=140°；

故这个等腰三角形顶角的度数为：100°或140°或40°．

故答案为：100°或140°或40°．

【点评】本题考查了等腰三角形及三角形内角和定理等知识；分类讨论的思想的应用是正确解答本题的关键，分类时要注意不重不漏．

18．在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），作△BOC，使△BOC与△ABO全等，则点C坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．

【考点】坐标与图形性质；全等三角形的性质．

【分析】分点C在x轴负半轴上和点C在第一象限，第二象限三种情况，利用全等三角形对应边相等解答．

【解答】解：如图，点C在x轴负半轴上时，∵△BOC与△ABO全等，

∴OC=OA=2，

∴点C（﹣2，0），

点C在第一象限时，∵△BOC与△ABO全等，

∴BC=OA=2，OB=BO=4，

∴点C（2，4），

点C在第二象限时，∵△BOC与△ABO全等，

∴BC=OA=2，OB=BO=4，

∴点C（﹣2，4）；

综上所述，点C的坐标为（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．

故答案为：（﹣2，0）或（2，4）或（﹣2，4）．

【点评】本题考查了坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，难点在于根据点C的位置分情况讨论．

19．一个多边形的外角和是内角和的 ，则这个多边形的边数为9．

【考点】多边形内角与外角．

【分析】任何多边形的外角和一定是360度，外角和是内角和的 ，则这个多边形的内角和是2023度．n边形的内角和是（n﹣2）?180°，如果已知多边形的内角和，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【解答】解：根据题意，得

（n﹣2）?180=2023，

解得n=9．

则这个多边形的边数为9．

【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．

20．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD=BD=AC，∠BAC=72°，则∠DAC=36°．

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠1=∠B，∠3=∠C，由外角的性质得到∠3=∠1+∠B=2∠B，于是得到∠C=∠3=2∠B，根据三角形的内角和得到∠C=72°，即可得到结论．

【解答】解：∵AD=BD=AC，

∴∠1=∠B，∠3=∠C，

∵∠3=∠1+∠B=2∠B，

∴∠C=∠3=2∠B，

∵∠BAC=72°，

∴∠B+∠C=180°﹣72°=108°，

∴∠C=72°，

∴∠DAC=180°﹣2∠C=36°．

故答案为：36°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形外角的性质，熟练则各性质定理是解题的关键．

三、解答题（本大题共6个小题，共50分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请将每题的答案写在对应的答题区域内。

21．已知：如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两 侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：AC=CD．

【考点】全等三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】根据AB∥ED推出∠B=∠E，再利用SAS判定△ABC≌△CED从而得出AC=CD．

【解答】证明：∵AB∥ED，

∴∠B=∠E．

在△ABC和△CED中， ，

∴△ABC≌△CED．

∴AC=CD．

【点评】本题是一道很简单的全等证明，纵观近几年北京市中考数学试卷，每一年都有一道比较简单的几何证明题：只需证一次全等，无需添加辅助线，且全等的条件都很明显．

22．已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．

【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．

【专题】证明题．

【分析】连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证．

【解答】证明：连接AD，

在△ACD和△ABD 中，

，

∴△ACD≌△ABD（SSS），

∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF，

∵DE⊥AE，DF⊥AF，

∴DE=DF．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

23．如图，在平面直角坐标系中，

（1）画出与△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1；

（2）若图中一个小正方形边长为一个单位长度，请写出下列各点的坐标：

A1（﹣2，2）；B1（﹣1，0）；C1（1，﹣2）；

（3）求△A1B1C1的面积．

【考点】作图-轴对称变换．

【分析】（1）分别作出点A、B、C关于x轴对称的点，然后顺次连接；

（2）根据直角坐标系的特点写出各点的坐标；

（3）用三角形A1B1C1所在的矩形的面积减去周围三个小三角形和一个小正方形的面积即可求解．

【解答】解：（1）所作图形如图所示：

（2）A1（﹣2，2）；B1（﹣1，0）；C1 （1， ﹣2）；

（3）△A1B1C1的面积=3×4﹣ ×1×2﹣ ×1×3﹣ ×3×4﹣1×1= ．

故 答案为：（﹣2，2）；（﹣1，0）；（1，﹣2）．

【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点对应点的坐标，然后顺次连接．

24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．

（1）求证：AD=CE；

（2）求∠DFC的度数．

【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

【专题】作图题．

【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．

又∵AE=BD，

∴△AEC≌△BDA（SAS）．

∴AD=CE；

（2）解：

∵（1）△AEC≌△BDA，

∴∠ACE=∠BAD，

∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．

【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．

25．如图1，△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB于E，D在线段AB上，AD=AC，AF平分∠CAE交CE于F．

（1）求证：FD∥CB；

（2）若D在线段BA的延长线上，AF是∠CAD的角平分线AM的反向延长线，其他条件不变，如图2，问（1）中结论是否仍成立？并说明理由．

【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定与性质．

【分析】（1）易证∠DAF=∠CAF，即可证明△DAF≌△CAF，可得∠ACE=∠ADF，易证∠B=∠ACE，即可求得∠ADF=∠B，即可解题；

（2）作AG⊥DF，易证AE=AG，即可证明RT△ADG≌RT△AEC，可得∠D=∠ACE，易证∠ACE=∠B，即可求得∠D=∠B，即可解题．

【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAE，

∴∠DAF=∠CAF，

在△DAF和△CAF中，

，

∴△DAF≌△CAF（SAS），

∴∠ACE=∠ADF，

∵∠ACE+∠CAB=90°，∠B+∠CAB=90°，

∴∠B=∠ACE，

∴∠ADF=∠B，

∴DF∥BC；

（2）作AG⊥DF，如图2，

∵AF平分∠CAE，CE⊥AE，

∴AE=AG，

在RT△ADG和RT△AEC中，

，

∴RT△ADG≌RT△AEC（HL），

∴∠D=∠ACE，

∵∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°，

∴∠ACE=∠B，

∴∠D=∠B，

∴DF∥BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△DAF≌△CAF和RT△ADG≌RT△AEC是解题的关键．

26．如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=40°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C两点重合），连接AD，作∠ADE=40°，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA=115°时，∠BAD=25；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小（填“大”或“小”）；

（2）当△ABD≌△DCE时，求CD的长；

（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，当∠BDA=110°时，请判断△ADE的形状，并证明之．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【专题】动点型．

【分析】（1）利用邻补角的性质和三角形内角和定理解题；

（2）直接利用全等 三角形的对应边相等求解即可；

（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．

【解答】解：（1）∠EDC=180°﹣∠ADB﹣∠ADE=180°﹣115°﹣40°=25°；

点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变小；

（2）∵△ABD≌△DCE

∴AB=DC=2；

（3）当∠BDA的度数为110°时，△ADE的形状是等腰三角形，

证明：∵∠BDA=110°时，

∴∠ADC=70°，

∵∠C=40°，

∴∠DAC=70°，

∴∠ADC=∠DAC=70°，

∴△ADE的形状是等腰三角形．

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．