徐州市2023初二年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)

徐州市2023初二年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)

一、精心选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填入下表．

1．下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是()

A． B． C． D．

2．下列实数中， 、 、﹣3.14、 、 、 、0.202320232…，其中无理数的个数是()

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

3．等腰三角形的周长是16，一边长为4，则这个等腰三角形腰长为()

A．4 B．6 C．4或6 D．8

4．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c可以等于()

A．2：2：4 B．3：4：5 C．3：5：7 D．1：3：9

5．已知a+2与2a﹣5都是m的平方根，则m的值是()

A．1 B．9 C．﹣3 D．3

6．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是()

A．40° B．35° C．25° D．20°

7．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是()

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

8．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为()

A．20cm B．22cm C．26cm D．32cm

9．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于()

A．3 B．4 C．5 D．6

10．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为()

A．90 B．100 C．110 D．121

二、细心填一填：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在横线上．

11．25的算术平方根是__________．

12．写出一组你喜欢的勾股数：__________．

13．用四舍五入法，把2023mL（精确到2023mL） 取近似值万，用科学记数法可表示为__________mL．

14．在直角三角形中，已知两条直角边的长度分别为5cm和12cm，则 斜边长为__________cm．

15 ．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是__________°．

16．如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）________ __．

17．在等边△ABC中，AB=2cm，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE+DF=__________ cm．

18．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是__________．

三、用心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

19．求下列各式中x的值

（1）（x﹣1）2﹣4=0

（2）2x3+4=20．

20．如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．

（1）用尺规作图，作出点P； （作图要求：不写作法，保留作图痕迹）

（2）求出PA+PB的最小值．

四、耐心做一做：本大题共2小题，每小题7分，共14分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

21．如图：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C．

22．如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．

五、耐心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

23．将长方形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；请你求出图②中∠BCB′的度数．

24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM．

（1）证明：OM=ON；

（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．

六、耐心做一做：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

25．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线 上且CE=CA，试求∠DAE的度数；

（2）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？

26．材料阅读：

在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

（1）如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．

聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后 的图形（如图2）．

连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△BPP′为等边三角形，又可以证明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形，故此∠BPC=__________°；同时，可以说明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等边△ABC的边AB=__________．

（2）请你参考聪聪同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

徐州市2023初二年级上册数学期中重点试卷(含答案解析)参考答案及试题解析

一、精心选一选：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是正确的，把所选答案填入下表．

1．下列是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是()

A． B． C． D．

【考点】轴对称图形．

【分析】根据轴对称图形和的概念和各图形特点解答即可．

【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；

B、是轴对称图形，故本选项错误；

C、是轴对称图形，故本选项错误；

D、是轴对称图形，故本选项错误；

故选A．

【点评】本题考查了轴对称图形的特点，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合；

2．下列实数中， 、 、﹣3.14、 、 、 、0.202320232…，其中无理数的个数是()

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】无理数．

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：无理数有： ， ， ，0.202320232…，共有4个．

故选C．

【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.202320230 1…，等有这样规律的数．

3．等腰三角形的周长是16，一边长为4，则这个等腰三角形腰长为()

A．4 B．6 C．4或6 D．8

【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．

【分析】分别从若腰长为4与若底边长为4，去分析求解即可求得答案．

【解答】解：若腰长为4，则底边长为：16﹣4﹣4=8，

∵4+4=8，

∴不能组成三角形，舍去；

若底边长为4，则腰长为： =6．

∴这个等腰三角形腰长为6．

故选B．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形三边关系．注意分类讨论思想的应用．

4．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c可以等于()

A．2：2：4 B．3：4：5 C．3：5：7 D．1：3：9

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】将四个选项的数字按照勾股定理进行计算，符合a2+b2=c2的即为正确答案．

【解答】解：A、∵22+22≠42，∴2：2：4不是直角三角形的三条边；故本选项错误；

B、∵42+32=52，∴3：4：5是直角三角形的三条边；故本选项正确；

C、∵32+52≠72，∴3：5：7不是直角三角形的三条边；故本选项错误；

D、∵12+32≠92，∴1：3：9不是直角三角形的三条边；故本选项错误．

故选B．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，知道符合a2+b2=c2的三条边才能构成直角三角形是解题的关键．

5．已知a+2与2a﹣5都是m的平方根，则m的值是()

A．1 B．9 C．﹣3 D．3

【考点】平方根．

【分析】根据正数的平方根互为相反数列出方程求出a，再求解即可．

【解答】解：∵a+2与2a﹣5都是m的平方根，

∴a+2+2a﹣5=0，

∴a=1，

则a+2=1+2=3，

∴m=32=9．

故选：B．

【点评】本题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

6．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是()

A．40° B．35° C．25° D．20°

【考点】等腰三角形的性质．

【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．

【解答】解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，

∴∠ADC= =50°，

∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，

∴∠B=∠BAD=（ ）°=25°．

故选C．

【点评】此题比较简单，考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理．

7．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是()

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

【考点】作图—基本作图；全等三角形的判定与性质．

【分析】由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，得到三角形全等，由全等得到角相等，是用的全等的性质，全等三角形的对应角相等．

【解答】解：由作法易得OD=O′D′，OC=O′C′，CD=C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'（SSS），则△COD≌△C'O'D'，即∠A'O'B'=∠AOB（全等三角形的对应角相等）．

故选D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．

8．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，若BC=20cm，AB=12cm，则△ABD的周长为()

A．20cm B．22cm C．26cm D．32cm

【考点】线段垂直平分线的性质．

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．

【解答】解：∵DE垂直平分AC，

∴DA=DC，

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC =AB+BC=32．

故选：D．

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

9．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段AN的长等于()

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9﹣x，在Rt△DBN中利用勾股定理列方程求解即可．

【解答】解：设AN=x，由翻折的性质可知DN=AN=x，则BN=9﹣x．

∵D是BC的中点，

∴BD= =3．

在Rt△BDN中，由勾股定理得：ND2=NB2+BD2，即x2=（9﹣x）2+33，

解得：x=5．

AN=5．

故选：C．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，由翻折的性质得到DN=AN=x，BN=9﹣x，从而列出关于x的方程是解题的关键．

10．勾股定理被誉为“几何明珠”，在数学的发展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I 都在长方形KLMJ的边上，则长方形KLMJ的面积为()

A．90 B．100 C．110 D．121

【考点】勾股定理的证明．

【分析】延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

【解答】解：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，如图所示：

则四边形OALP是矩形．

∵∠CBF=90°，

∴∠ABC+∠OBF=90°，

又∵Rt△ABC中，∠ABC+∠ACB=90°，

∴∠OBF=∠ACB，

在△OBF和△ACB中，

，

∴△OBF≌△ACB（AAS），

∴AC=OB，

同理：△ACB≌△PGC，

∴PC=AB，

∴OA=AP，

∴矩形AOLP是正方形，边长AO=AB+AC=3+4=7，

∴KL=3+7=10，LM=4+7=11，

∴长方形KLMJ的面积为10×11=110．

故选：C．

【点评】本题考查了勾 股定理的证明、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；通过作出辅助线证明三角形全等得出正方形是解题的关键．

二、细心填一填：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在横线上．

11．25的算术平方根是5．

【考点】算术平方根．

【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果，算术平方根只有一个正根．

【解答】解：∵52=25，

∴25的算术平方根是5．

故答案为：5．

【点评】易错点：算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误．规律总结：弄清概念是解决本题的关键．

12．写出一组你喜欢的勾股数：12，16，20．

【考点】勾股数．

【专题】开放型．

【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股数．

【解答】解：∵122+162=202，且12，16，20都是正 整数，

∴一组勾股数可以是12，16，20．

故答案为12，16，20．

【点评】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正 整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方．注意本题答案不唯一．

13．用四舍五入法，把2023mL（精确到2023mL） 取近似值万，用科学记数法可表示为2×103mL．

【考点】科学记数法与有效数字．

【分析】先用科学记数法表示，然后保留一位有效数字即可．

【解答】解：2023mL≈2×103mL（用四舍五入法精确到2023mL）．

故答案为2×103．

【点评】本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效 数字．

14．在直角三角形中，已知两条直角边的长度分别为5cm和12cm，则斜边长为13cm．

【考点】勾股定理．

【分析】在直角三角形中，由勾股定理求出斜边长即可．

【解答】解：在直角三角形中，由勾股定理得：

斜边长= =13（cm）．

故答案为：13．

【点评】本题考查了勾股定理；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键，注意分清斜边和直角边长，难度适中．

15．已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是40°或100°°．

【考点】等腰三角形的性质．

【专题】分类讨论．

【分析】已知等腰三角形的一个内角为40°，根据等腰三角形的性质可分情况解答：当40°是顶角或者40°是底角两种情况．

【解答】解：此题要分情况考虑：

①40°是它的顶角；

②40°是它的底角，则顶角是180°﹣40°×2=100°．

所以这个等腰三角形的顶角为40°或100°．

故答案为：40°或100°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

16．如图，已知AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）AB=AD．

【考点】全等三角形的判定．

【专题】开放型．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，求出∠BAC=∠DAE，再根据全等三角形的判定定理添加一个条件即可．

【解答】解：AB=AD，

理由是：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，

∴∠BAC=∠DAE，

在△ABC和△ADE中，

，

∴△ABC≌△ADE（SAS），

故答案为：AB=AD．

【点评】本题考查了全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．

17．在等边△ABC中，AB=2cm，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE+DF= cm．

【考点】等边三角形的性质．

【分析】作AG⊥BC于G，根据等边三角形的性质得出∠B=60°，解直角三角形求得AG= ，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG= cm．

【解答】解：作AG⊥BC于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=60°，

∴AG= AB= cm，

连接AD，

∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，

∴ AB?DE+ AC?DF= BC?AG，

∵AB=AC=BC=2，

∴DE+DF=AG= cm，

故答案为 ．

【点评】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角函数以及三角形面积等，根据S△ABD+S△ACD=S△ABC即可得出DE+DF=AG是解题的关键．

18．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是 ．

【考点】轴对称-最短路线问题．

【专题】压轴题；动点型．

【分析】首先确定DC′=DE+EC′=DE+CE的值最小．然后根据勾股定理计算．

【解答】解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′=OC，连接DC′，交AB于E，连接CE，

此时DE+CE=DE+EC′=DC′的值最小．

连接BC′，由对称性可知∠C′BE=∠CBE=45°，

∴∠CBC′=90°，

∴BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，

∴BC=BC′=2，

∵D是BC边的中点，

∴BD=1，

根据勾股定理可得DC′= = ．

故答案为： ．

【点评】此题考查了线路最短的问题，确定动点E何位置时，使EC+ED的值最小是关键．

三、用心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

19．求下列各式中x的值

（1）（x﹣1）2﹣4=0

（2）2x3+4=20．

【考点】立方根；平方根．

【分析】（1）根据平方根，即可解答；

（2）根据立方根，即可解答．

【解答】解：（1）（x﹣1）2=4，

x﹣1=±2，

x=﹣1或x=3．

（2）2x3+4=20，

2x3=16，

x3=8，

x=2．

【点评】本题考查了立方根、平方根，解决本题的关键是熟记立方根、平方根的定义．

20．如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．

（1）用尺规作图，作出点P； （作图要求：不写作法，保留作图痕迹）

（2）求出PA+PB的最小值．

【考点】轴对称-最短路线问题；作图—应用与设计作图．

【分析】（1）首先作出A点的对称点A′，然后连接BA′，找到交点P点；

（2）首先连接AB，由题意知AB=3km，A A′=4km，然后由勾股定理求得A′B的长，即PA+PB的最小值．

【解答】解：（1）作图，如右图，

作出A点的对称点A′，

连接BA′，找到交点P点；

（2）连接AB，由题意知AB=3km，A A′=4km，

在Rt△A A′B中，根据勾股定理得：A′B2=42+32，

∴A′B=5km，

即PA+PB=A′B=5km，

答：PA+PB的最小值是5km．

【点评】此题考查了最短路径问题以及勾股定理．注意准确找到点P是解此题的关键．

四、耐心做一做：本大题共2小题，每小题7分，共14分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

21．如图：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

【专题】证明题．

【分析】作中线AD，根据三角形全等的判定定理证明△ABD≌△ACD，根据全等三角形的性质定理证明结论．

【解答】证明：作中线AD，

在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠B=∠C．

【点评】本题考查的是三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

22．如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．

【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】连接EG、FG，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DG=EG= BC，再根据等腰三角形三线合一的证明即可．

【解答】证明：如图，

连接GE、GD，

∵△ABC中，BD、CE是高，

∴△BEC和△BDC是直 角三角形，

∵G是BC的中点，

∴GE=GD= BC，

∴△GED是等腰三角形，

∵F是DE的中点，

∴GF⊥DE．

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．

五、耐心做一做：本大题共2小题，每小题8分，共16分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

23．将长方形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；请你求出图②中∠BCB′的度数．

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】由翻折的性质可知：B′C=BC，然后由B′F垂直平分BC可知BB′=B′C，从而可证明△BB′C是等边三角形，∠BCB′=60°．

【解答】解：连接BB′．

∵EF是折痕，

∴EF⊥BC，BF=FC．

∴B′B=B′C．

∵GC 是折痕，

∴CB=CB′．

∴CB=CB′=BB′．

∴△B′BC 是等边三角形

∴∠BCB′=60°．

【点评】本题主要考查的是翻折的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．

24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，若O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM．

（1）证明：OM=ON；

（2）四边形AMON面积是否发生变化，若发生变化说明理由；若不变，请你求出四边形AMON的面积．

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质得出∠B=45°，AO=BO=OC，进而利用SAS证明三角形全等得出答案；

（1）根据全等三角形的性质，再利用图形的面积关系解答即可．

【解答】解：（1）连接OA，

∵∠A=90°，AB=AC，

又∵O是BC的中点，

∴OA=OB=OC，（直角三角形中，斜边上的中线是斜边的一半）

∴∠CAO=∠BAO=45°，

在△ONA和△OMB中，

，

∴△ONAD≌△OMB（SAS），

∴OM=ON（全等三角形的对应边相等）；

（2）不变，理由如下：

由上知△ONA≌△OMB，

∴S△ONA=S△OMB，

∴S四边形ANOM=S△ONA+S△OMA=S△OMB+S△OMA=S△OAB，

∴S四边形ANOM═S△OAB= 4×4=8（cm2）．

【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．

六、耐心做一做：本大题共2小题，每小题10分，共20分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．

25．（1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；

（2）如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？

【考点】等腰三角形的性质；等腰直角三角形．

【分析】（1）由在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，可求得∠ABC与∠ACB的度数，然后由BD=BA，CE=CA，分别求得∠BAD与∠CAE的度数，继而求得答案；

（2）首先设∠BAC=α，然后由AB=AC，用α表示出∠ABC与∠ACB的度数，继而由BD=BA，CE=CA，分别求得∠BAD与∠CAE的度数，则可求得答案．

【解答】解：（1）∠DAE=45°．

理由：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵AB=BD，AC=CE，

∴∠BAD=∠BDA，∠E=∠CAE，

∴∠BAD= （180°﹣45°）=67.5°，

∴∠CAE= ∠ACB=22.5°，

∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣67.5°=22.5°，

∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=45°；

（2）∠DAE= ∠BAC．

理由：设∠BAC=α，

∵AB=AC，

∴∠B= （180°﹣α），

∵BA=BD，

∴∠BAD=∠BDA= （180°﹣∠B），

∴∠CAD=α﹣ （180°﹣∠B）=α﹣90°+ ∠B，

∵CA=CE，

∴∠CAE= ∠ACB= ∠B，

∴∠DAE=α﹣90°+ ∠B+ ∠B+ ∠B=α﹣90°+∠B，

∴∠DAE═α﹣90°+ （180°﹣α）= α，

∴∠DAE= ∠BAC．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．注意用设∠BAC=α，然后用α表示出各角是解此题的关键．

26．材料阅读：

在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．

（1）如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB= ，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．

聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．

连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△BPP′为等边三角形，又可以证明△ABP′≌△CBP，所以AP′=PC=1，根据勾股定理逆定理可证出△APP′为直角三角形，故此∠BPC=150°°；同时，可以说明∠BPA=90°，在Rt△APB中，利用勾股定理，可以求出等边△ABC的边AB= ．

（2）请你参考聪聪同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′= ，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；然后在Rt△APB中，利用勾股定理可求得AB的长；

（2）求出∠BEP= （180°﹣90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

【解答】解：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴∠ABC=60°．

由旋转的性质可知：AP′=CP=1，BP′=BP= ，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC．

∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，

∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°．

∴△BPP′是等边三角形．

∴PP′= ，∠BP′P=60°．

∵AP′=1，AP=2，

∴AP′2+PP′2=AP2．

∴∠AP′P=90°．

∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°．

在Rt△AP′P中，sin∠APP′= ，

∴∠APP′=30°．

∴∠BPA=∠BPP′+∠APP′=60°+30°=90°．

Rt△APB中，由勾股定理可知：AB= = = ．

故答案为：150°； ．

（2）将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F．

由旋转的性质可知：AE=PC=1，BE=BP= ，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，

∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°．

∴∠BEP= （180°﹣90°）=45°．

由勾股定理得：EP= =2．

∵AE=1，AP= ，EP=2，

∴AE2+PE2=AP2．

∴∠AEP=90°．

∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°．

∵PE⊥PA，BF⊥AF，

∴∠EBF=∠BEP=45°．

∴∠FEB=∠FBE=45°．

∴FE=BF=1．

∴AF=2．

∴在Rt△ABF中，由勾股定理得AB= ．

∴∠BPC=135°，正方形边长为 ．

∴∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是 ．

【点评】本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．