苏州市2023八年级数学上册期中试卷(含答案解析)

苏州市2023八年级数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每小题3分，共30分；把下列各题中唯一正确答案前面的字母填涂在答题卡相应的位置上．）

1．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等 腰三角形．其中是轴对称图形有()个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A+∠C=90°，则下列等式中成立的是()

A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．a2+c2=b2 D．c2﹣a2=b2

3．下列四个数中，是负数的是()

A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣ D．

4．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c等于()

A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13

5．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是()

A．40° B．35° C．25° D．20°

6．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于()

A．4 B．3 C．2 D．1

7．已知 ，则 的值是()

A．457.3 B．45.73 C．2023 D．144.9

8．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为()

A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm

9．在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为()

A．24 B．24π C． D．

10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为()

A．90 B．100 C．110 D．121

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）

11．2的平方根是__________．

12．若 的值在两个整数a与a+1之间，则a=__________．

13．如图AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，那么BC′为__________．

14．如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）

__________．

15．如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中共有全等三角形__________对．

16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm，一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处，蚂蚁爬行的最短路程是__________cm．

17．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为__________．

18．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__________．

三、解答题（本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．）

19．求下列各式中x的值

（1）（x﹣1）2=25

（2）﹣8（2﹣x）3=27．

20．求下列各式的值

（1）

（2） ．

21．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．

22．已知，如图，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E．

求证：△EAB是等腰三角形．

23．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，

①若△BCD的周长为8，求BC的长；

②若BC=4，求△BCD的周长．

24．已知，如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E、F在AC上，且AE=CF．图中有哪些三角形全等？请分别加以证明．

25．某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B=90°，AB=3m，BC=4m，AD=12m，CD=13m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？

26．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

（1）求证：△ABP≌△CAQ；

（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

27．如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，∠C=∠E，DM⊥AB于M，试说明M是AB中点．

28．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．

29．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 + 的最小值．

苏州市2023八年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分；把下列各题中唯一正确答案前面的字母填涂在答题卡相应的位置上．）

1．下列图形中：①平行四边形；②有一个角是30°的直角三角形；③长方形；④等腰三角形．其中是轴对称图形有()个．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

考点：轴对称图形．

分析：根据轴对称图形的概念求解．

解答： 解：①、②不是轴对称图形；

③长方形是轴对称图形；

④等腰三角形是轴对称图形．

共2个．

故选B．

点评：轴对称图形的判断方法 ：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．

2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A+∠C=90°，则下列等式中成立的是()

A．a2+b2=c2 B．b2+c2=a2 C．a2+c2=b2 D．c2﹣a2=b2

考点：勾股定理．

专题：计算题．

分析：由已知两角之和为90度，利用三角形内角和定理得到三角形为直角三角形，利用勾股定理即可得到结果．

解答： 解：∵在△ABC中，∠A+∠C=90°，

∴∠B=90°，

∴△ABC为直角三角形，

则根据勾股定理得：a2+c2=b2．

故选C

点评：此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．

3．下列四个数中，是负数的是()

A．|﹣2| B．（﹣2）2 C．﹣ D．

考点：实数的运算；正数和负数．

专题：计算题．

分析：根据绝对值的性质，有理数的乘方的定义，算术平方根对各选项分析判断后利用排除法求解．

解答： 解：A、|﹣2|=2，是正数，故本选项错误；

B、（﹣2）2=4，是正数，故本选项错误；

C、﹣ ＜0，是负数，故本选项正确；

D、 = =2，是正数，故本选项错误．

故选C．

点评：本题考查了实数的运用，主要利用了绝对值的性质，有理数的乘方，以及算术平方根的定义，先化简是判断正、负数的关键．

4．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，则a：b：c等于()

A．1：2：4 B．1：3：5 C．3：4：7 D．5：12：13

考点：勾股定理．

专题：计算题．

分析：将四个选项的数字按照勾股定理进行计算，符合a2+b2=c2的即为正确答案．

解答： 解：A、∵12+22≠42，∴1：2：4不是直角三角形的三条边；故本选项错误；

B、∵12+32≠42，∴1：3：5不是直角三角形的三条边；故本选项错误；

C、∵32+42≠72 ，∴3：4：7不是直角三角形的三条边；故本选项错误；

D、∵52+122=132，∴1：2：4是直角三角形的三条边；故本选项正确．

故选D．

点评：本题考查了勾股定理，符合a2+b2=c2的三条边才能构成直角三角形．

5．如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是()

A．40° B．35° C．25° D．20°

考点：等腰三角形的性质．

分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ADC的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角与内角的关系求出∠B的度数即可．

解答： 解：∵△ABC中，AC=AD，∠DAC=80°，

∴∠ADC= =50°，

∵AD=BD，∠ADC=∠B+∠BAD=50°，

∴∠B=∠BAD=（ ）°=25°．

故选C．

点评：此题比较简单，考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理．

6．如图所示，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD等于()

A．4 B．3 C．2 D．1

考点：菱形的判定与性质；含30度角的直角三角形．

专题：几何图形问题．

分析：过点P做PM∥CO交AO于M，可得∠CPO=∠POD，再结合题目推出四边形COMP为菱形，即可得PM=4，又由CO∥PM可得∠PMD=30°，由直角三角形性质即可得PD．

解答： 解：如图：过点P做PM∥CO交AO于M，PM∥CO

∴∠CPO=∠POD，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA

∴四边形COM P为菱形，PM=4

PM∥CO?∠PMD=∠AOP+∠BOP=30°，

又∵PD⊥OA

∴PD= PC=2．

令解：作CN⊥OA．

∴CN= OC=2，

又∵∠CNO=∠PDO，

∴CN∥PD，

∵PC∥OD，

∴四边形CNDP是长方形，

∴PD=CN=2

故选：C．

点评：本题运用了平行线和直角三角形的性质，并且需通过辅助线求解，难度中等偏上．

7．已知 ，则 的值是()

A．457.3 B．45.73 C．2023 D．144.9

考点：算术平方根．

分析：把 的被开方的小数点向右移动4位，则其平方根的小数点向右移动2位，即可得到 =144.9．

解答： 解：∵ = =100 ，

而 =1.449，

∴ =1.449×100=144.9．

故选D．

点评：本题考查了算术平方根：若一个正数的平方等于a，那么这个数叫a的算术平方根，记作 （a≥0）．

8．等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为()

A．3cm或5cm B．3cm或7cm C．3cm D．5cm

考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析：已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．

解答： 解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，9cm．而3+3＜9，不满足三边关系定理，因而应舍去．

当底边是3cm时，另两边长是6cm，6cm．则该等腰三角形的底边为3cm．

故选：C．

点评：本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．

9．在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为()

A．24 B．24π C． D．

考点：勾股定理．

专题：数形结合．

分析：先求出直角三角形的斜边，再利用：阴影部分面积=两个小半圆面积+直角三角形面积﹣以斜边为直径的大半圆面积．

解答： 解：在Rt△ABC中，AC=6 ，BC=8，

AB= = =10，

S阴影= π（ ）2+ π（ ）2+ ×6×8﹣ π（ ）2

= +8π+24﹣

=24．

故选A．

点评：本题考查勾股定理的知识，难度一般，解答本题的关键是利用勾股定理得出 AB的长及找出阴影部分面积的表示，另外本题也进一步验证了勾股定理．

10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为()

A．90 B．100 C．110 D．121

考点：勾股定理的证明．

专题：常规题型；压轴题．

分析：延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，可得四边形AOLP是正方形，然后求出正方形的边长，再求出矩形KLMJ的长与宽，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．

解答： 解：如图，延长AB交KF于点O，延长AC交GM于点P，

所以四边形AOLP是正方形，

边长AO=AB+AC=3+4=7，

所以KL=3+7=10，LM =4+7=11，

因此矩形KLMJ的面积为10×11=110．

故选：C．

点评：本题考查了勾股定理的证明，作出辅助线构造出正方形是解题的关键．

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，把正确答案填写在答题卡相应位置上）

11．2的平方根是± ．

考点：平方根．

分析：直接根据平方根的定义求解即可（需注意一个正数有两个平方根）．

解答： 解：2的平方根是± ．

故答案为：± ．

点评：本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．

12．若 的值在两个整数a与a+1之间，则a=2．

考点：估算无理数的大小．

专题：计算题．

分析：利用”夹逼法“得出 的范围，继而也可得出a的值．

解答： 解：∵2= ＜ =3，

∴ 的值在两个整数2与3之间，

∴可得a=2．

故答案为：2．

点评：此题考查了估算无理数的大小的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握夹逼法的运用．

13．如图AD是△ABC的中线，∠ADC=60°，BC=4，把△ADC沿直线AD折叠后，点C落在C′的位置上，那么BC′为2．

考点：翻折变换（折叠问题）．

专题：压轴题；数形结合．

分析：根据中点的性质得BD=DC=2．再根据对称的性质得∠BDC′=60°，判定三角形为等边三角形即可求．

解答： 解：根据题意：BC=4，D为BC的中点；

故BD=DC=2．

由轴对称的性质可得：∠ADC=∠ADC′=60°，DC=DC′=2，

则∠BDC′=60°，

故△BDC′为等边三角形，

即可得BC′=BD= BC=2．

故答案为：2．

点评：本题考查了翻折变换的 知识，同时考查了等边三角形的性质和判定，判定出△BDC为等边三角形是关键．

14．如图，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）

∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE．

考点：全等三角形的判定．

专题：开放型．

分析：要使要使△ABC≌△ADE，已知AB=AD，∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，若添加∠B=∠D或∠C=∠E可以利用ASA判定其全等，添加AC=AE可以利用SAS判定其全等．

解答： 解：∵AB=AD，∠1=∠2

∴∠BAC=∠DAE

∴若添加∠B=∠D或∠C=∠E可以利用ASA判定△ABC≌△ADE

若添加AC=AE可以利用SAS判定△ABC≌△ADE

故填空答案：∠B=∠D或∠C=∠E或AC=AE．

点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

15．如图，AB∥CD，AD∥BC，则图中共有全等三角形4对．

考点：全等三角形的判定．

分析：根据AB∥CD，AD∥BC可得到相等的角，再根据公共边AC、BD易证得：△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；由上可得AD=BC、AB=CD，再根据平行线确定的角相等可证得：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．

解答： 解：∵AB∥CD，AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，∠BDA=∠DBC，∠BAC=∠DCA，∠ABD=∠CDB，

又∵AC、BD为公共边，

∴△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB（ASA）；

∴AD=BC，AB=CD，

∴△AOD≌△COB、△AOB≌△COD（ASA）．

所以全等三角形有：△AOD≌△COB、△AOB≌△COD、△ACD≌△CAB、△BAD≌△DCB，共4对；

故答案是：4．

点评：本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA 、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

16．如图，长方体纸箱的长、宽、高分别为50cm、30cm、60cm，一只蚂蚁从点A处沿着纸箱的表面爬到点B处，蚂蚁爬行的最短路程是100cm．

考点：平面展开-最短路径问题．

分析：蚂蚁有三种爬法，就是把正视和俯视（或正视和侧视，或俯视和侧视）二个面展平成一个长方形，然后求其对角线，比较大小即可求得最短的途径．

解答： 解：第一种情况：如图1，把我们所看到的前面和上面组成一个平面，

则这个长方形的长和宽分别是90cm和50cm，

则所走的最短线段AB= =10 cm；

第二种情况：如图2，把我们看到的左面与上面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是110cm和30cm，

所以走的最短线段AB= =10 cm；

第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，

则这个长方形的长和宽分别是80cm和60cm，

所以走的最短线段AB= =100cm；

三种情况比较而言，第三种情况最短．

故答案为：100cm．

点评：本题考查了立体图形中的最短路线问题；通常应把立体几何中的最短路线问题转化为平面几何中的求两点间距离的问题；注意长方体展开图形应分情况进行探讨．

17．△ABC是等边三角形，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，则DE，DF，BN三者的数量关系为BN=DE+ DF．

考点：等边三角形的性质；三角形的面积．

分析：连接AD，利用三角形的面积相等结合等边三角形的性质可得到BN=DE+DF．

解答： 解：BN=DE+DF，证明如下：

连接AD，

∵S△ABC=S△ABD+S△ACD，

∴ AC?BN= AB?DE+ AC?DF，

∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，

∴AC?BN=AC?DE+AC?DF，

∴BN=DE+DF．

故答案为：BN=DE+DF．

点评：本题主要考查等边三角形的性质，利用等积法得到 AC?BN= AB?DE+ AC?DF是解题的关键．

18．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为8或 或3 ．

考点：勾股定理；等腰三角形的性质．

专题：分类讨论．

分析：由已知的是一边上的高，分腰上的高于底边上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况，当三角形为锐角三角形时，如图所示，在直角三角形ACD中，由AC及CD的长，利用勾股定理求出AD的长，由AB﹣AD求出BD的长，在直角三角形BDC中，由BD及CD的长，即可求出底边BC的长；当三角形为钝角三角形时，如图所示，同理求出AD的长，由AB+AD求出BD的长，同理求出BC的长；当高为底边上的高时，如图所示，由三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，由AB及AD的长，利用勾股定理求出BD的长，由BC=2BD即可求出BC的长，综上，得到所有满足题意的底边长．

解答： 解：如图所示：

当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，

在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，

根据勾股定理得：AD= =4，

∴BD=AB﹣AD=5﹣4=1，

在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，

根据勾股定理得：BC= = ；

当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，

在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，

根据勾股定理得：AD= =4，

∴BD=AB+AD=5+4=9，

在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，

根据勾股定理得：BC= =3 ；

当AD为底边上的高时，如图所示：

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=CD，

在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，

根据勾股定理得：BD= =4，

∴BC=2BD=8，

综上，等腰三角形的底边长为8或 或3 ．

故答案为：8或 或3

点评：此题考查了勾股定理，以及等腰三角形的性质，利用了分类讨论的数学思想，要求学生考虑问题要全面，注意不要漏解．

三、解答题（本大题共11小题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．）

19．求下列各式中x的值

（1）（x﹣1）2=25

（2）﹣8（2﹣x）3=27．

考点：立方根；平方根．

分析：（1）运用直接开平方求解即可；

（2）方程两边直接开立方即可得到方程的解．

解答： 解：（1）（x﹣1）2=25，

解得：x=6或﹣4．

（2）﹣8（2﹣x）3=27，

解得：x=﹣

点评：此题主要考查了平方根、立方根的定义，其中用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

20．求下列各式的值

（1）

（2） ．

考点：实数的运算．

分析：（1）分别根据绝对值的性质分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）根据数的开方法则法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．

解答： 解：（1）原式=2﹣ +2 ﹣1

=1+ ；

（2）原式=4+4+3

=11．

点评：本题考查的是实数的运算，熟知绝对值的性质及数的开方法则是解答此题的关键．

21．已知：x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的算术平方根．

考点：立方根；平方根；算术平方根．

专题：计算题．

分析：根据平方根、立方根的定义和已知条件可知x﹣2=4，2x+y+7=27，列方程解出x、y，最后代入代数式求解即可．

解答： 解：∵x﹣2的平方根是±2，

∴x﹣2=4，

∴x=6，

∵2x+y+7的立方根是3

∴2x+y+7=27

把x的值代入解得：

y=8，

∴x2+y2的算术平方根为10．

点评：本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中．

22．已知，如图，AD=BC，AC=BD，AC与BD相交于点E．

求证：△EAB是等腰三角形．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．

专题：证明题．

分析：先用SSS证△ADB≌△BCA，得到∠DBA=∠CAB，利用等角对等边知AE=BE，从而证得△EAB是等腰三角形．

解答： 证明：在△ADB和△BCA中，

，

∴△ADB≌△BCA（SSS），

∴∠DBA=∠CAB，

∴AE=BE，

∴△EAB是等腰三角形．

点评：本题考查了三角形全等判定及性质和等腰三角形的性质；三角形的全等的证明是正确解答本题的关键．

23．如图：△ABC中，AB=AC=5，AB的垂直平分线DE交AB、AC于E、D，

①若△BCD的周长为8，求BC的长；

②若BC=4，求△BCD的周长．

考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．

分析：（1）利用线段垂直平分线的性质可知BD+CD=5，易求BC；

（2）根据第一问中BD+CD=5，易求△BCD的周长．

解答： 解：①AB=AC=5，DE垂直平分AB，

故BD=AD．BD+CD=AD+CD=5．△BCD的周长为8?BC=3；

②∵BC=4，BD+CD=5，

∴△BCD=BD+CD+BC=9．

点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质；进行线段的有效转移是正确解答本题的关键．

24．已知，如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，点E、F在AC上，且AE=CF．图中有哪些三角形全等？请分别加以证明．

考点：全等三角形的判定．

分析：根据SSS先证明△ABC≌△ADC，得∠BAC=∠DCA，根据平行线的判定得AB∥CD，即可得出△ABE≌△CDF，△EBC≌△FDA．

解答： 解：全等三角形有三对：△ABC≌△ADC，△ABE≌△CDF，△EBC≌△FDA．

在△ABC和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS），

∴∠BAC=∠DCA，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴BE=DF，

∵AE=CF，

∴AF=CE，

在△EBC和△FDA中，

，

∴△BCE≌△DAF（SSS）．

点评：本题考查了全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

25．某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B=90°，AB=3m，BC=4m，AD=12m，CD=13m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？

考点：勾股定理的应用；三角形的面积．

专题：应用题．

分析：仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ABC中可求得AC的长，由AC、AD、DC的长度关系可得三角形DAC为一直角三角形，DA为斜边；由此看，四边形ABCD由Rt△ABC和Rt△DAC构成，则容易求解．

解答： 解：连接AC，

在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42=52，

∴AC=5．

在△DAC中，CD2=132，AD2=122，

而122+52=132，

即AC2+AD2=CD2，

∴∠DCA=90°，

S四边形ABCD=S△BAC+S△DAC= ?BC?AB+ DC?AC，

= ×4×3+ ×12×5=36．

所以需费用36×100=2023（元）．

点评：本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．

26．在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ．

（1）求证：△ABP≌△CAQ；

（2）请判断△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质．

分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AC，再根据SAS证明△ABP≌△ACQ；

（2）根据全等三角形的性质得到AP=AQ，再证∠PAQ=60°，从而得出△APQ是等边三角形．

解答： 证明：（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AB=AC，∠BAC=60°，

在△ABP和△ACQ中，

，

∴△ABP≌△ACQ（SAS），

（2）∵△ABP≌△ACQ，

∴∠BAP=∠CAQ，AP=AQ，

∵∠BAP+∠CAP=60°，

∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAQ=60°，

∴△APQ是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了正三角形的判定，本题中求证△ABP≌△ACQ是解题的关键．

27．如图，五边形ABCDE中，BC=DE，AE=DC，∠C=∠E，DM⊥AB于M，试说明M是AB中点．

考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．

专题：证明题．

分析：连接AD、BD．易证△ADE≌△DBC，再根据全等三角形的性质可得AD=DB，即△ABD是等腰三角形，而DM⊥AB，利用等腰三角形三线合一定理可得M是AB中点．

解答： 证明：连接AD、BD，

∵ ，

∴△ADE≌△DBC（SAS），

∴AD=BD，

又∵DM⊥AB，

∴M是AB的中点．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形三线合一定理；作出辅助线是正确解答本题的关键．

28．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．

考点：等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．

分析：连接OA．先证得△OAN≌△OBM，然后根据全等三角形的对应边相等推知OM=ON；然后由等腰直角三角形ABC的性质、等腰三角形OMN的性质推知∠NOM=90°，即△OMN是等腰直角三角形．

解答： 解：△OMN是等腰直角三角形．

理由：连接OA．

∵在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，

∴AO=BO=CO（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）；

∠B=∠C=45°；

在△OAN和OBM中，

，

∴△OAN≌△OBM（SAS），

∴ON=OM（全等三角形的对应边相等）；

∴∠AON=∠BOM（全等三角形的对应角相等）；

又∵∠BOM+∠AOM=90°，

∴∠NOM=∠AON+∠AOM=90°，

∴△OMN是等腰直角三角形．

点评：本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．解答该题的关键一步是根据等腰直角三角形ABC的“三线合一”的性质推知OA=OB=OC．

29．如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；

（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？

（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 + 的最小值．

考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理．

分析：（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故AC，CE可由勾股定理求得；

（2）若点C不在AE的连线上，根据三角形中任意两边之和＞第三边知，AC+CE＞AE，故当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的结果可作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，连接AE交BD于点C，则AE的长即为代数式 + 的最小值，然后构造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性质可 求得AE的值．

解答： 解：（1）AC+CE= + ；

（2）当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小；

（3）如右图所示，作BD=12，过点B作AB⊥BD，过点D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，

连接AE交BD于点C，设BC=x，则AE的长即为代数 + 的最小值．

过点A作AF ∥BD交ED的延长线于点F，得矩形ABDF，

则AB=DF=2，AF=BD=12，EF=ED+DF=3+2=5，

所以AE= = =13，

即 + 的最小值为13．

故代数式 + 的最小值为13．

点评：此题主要考查了轴对称求最短路线以及勾股定理等知识，本题利用了数形结合的思想，求形如 的式子的最小值，可通过构造直角三角形，利用勾股定理求解．