余姚市2023初二年级数学上册期中试卷(含答案解析)

余姚市2023初二年级数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（每题3分，共36分）

1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）

A． 16 B． 18 C． 20 D． 16或20

2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A． a：b：c=2：3：4 B． a=3，b=4，c=3

C． ∠B=50°，∠C=80° D． ∠A：∠B：∠C=1：1：2

3．使不等 式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）

A． 3，4 B． 4，5 C． 3，4，5 D． 不存在

4．小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x千米远，则x的值应满足（）

A． x=3 B． x=7 C． x=3或x=7 D． 3≤x≤7

5．不等式组 的解集是（）

A． x＞ B． ﹣1≤x＜ C． x＜ D． x≥﹣1

6．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）

A． 20 B． 12 C． 14 D． 13

7．若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围为（）

A． B． m≤ C． D． m≤

8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）

A． 15° B． 25°C． 30° D． 10°

9．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

A． B． 6 C． D． 3

10．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）

A． 1 B． 1.5 C． 2 D． 2.5

11．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（）

A． n≤m B． n≤ C． n≤ D． n≤

12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）

A． 2 B． C． 2 D．

二、填空题（每小题2分，共18分）

13．命题“同位角相等”是命题（填“真”或“假”）．

14．如图，已知△ABC的面积是24，D是BC的中点，E是AC的中点，那么△CDE的面积是．

15．写出一个解为x≥1的一元一次不等式组．

16．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为．

17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于 cm．

18．线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有个

直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．

三、解答题（本题有8小题，共66分）

19．解不等式组： ，并在数轴上表示出不等式组的解集．

20．如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C．

21．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求证：AB=AC．

22．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60 °，且BP=BQ，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．

（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．

23．在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答 对得5分，答错或不答都扣3分．

（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？

（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？

24．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．解决下列问题：

（1）[﹣4.5]=，＜3.5＞=．

（2）若[x]=2，则x的取值范围是；若＜y＞=﹣1，则y的取值范围是．

（3）已知x，y满足方程组 ，求x，y的取值范围．

25．如图，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在AC上移动．

（1）当P移动到什么位置时，BP=AB．

（2）求∠C的取值范围．

26．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A B

进价（元/件） 2023 2023

售价（元/件） 2023 2023

（1）该商场购进A、B两种商品各 多少件；

（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于20230元，B种商品最低售价为每件多少元？

余姚市2023初二年级数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共36分）

1．等腰三角形两边长分别为4和8，则这个等腰三角形的周长为（）

A． 16 B． 18 C． 20 D． 16或20

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．

专题： 探究型．

分析： 由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．

解答： 解：①当4为腰时，4+4=8，故此种情况不存在；

②当8为腰时，8﹣4＜8＜8+4，符合题意．

故此三角形的周长=8+8+4=20．

故选：C．

点评： 本题考查的是等腰三角形的性质和三边关系，解答此题时注意分类讨论，不要漏解．

2．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A． a：b：c=2：3：4 B． a=3，b=4，c=3

C． ∠B=50°，∠C=80° D． ∠A：∠B：∠C=1：1：2

考点： 等腰三角形的判定．

分析： 由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．

解答： 解：A、∵a：b：c=2：3：4，

∴a≠b≠c，

∴△ABC不是等腰三角形；

B、∵a=3，b=4，c=3，

∴a=c，

∴△ABC是等腰三角形；

C、∵∠B=50°，∠C=80°，

∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，

∴∠A=∠B，

∴AC=BC，

∴△ABC是等腰三角形；

D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，

∵∠A=∠B，

∴AC=BC，

∴△ABC是等腰三角形．

故选A．

点评： 此题考查了等腰三角形的判定．此题比较简单，注意掌握等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理是解题的关键．

3．使不等式x﹣1≥2与3x﹣7＜8同时成立的x的整数值是（）

A． 3，4 B． 4，5 C． 3，4，5 D．不存在

考点： 一元一次不等式组的整数解．

分析： 先分别解出两个一元一次不等式，再确定x的取值范围，最后根据x的取值范围找出x的整数解即可．

解答： 解：根据题意得：

，

解得：3≤x＜5，

则x的整数值是3，4；

故选A．

点评： 此题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．

4．小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x千米远，则x的值应满足（）

A． x=3 B． x=7 C． x=3或x=7 D． 3≤x≤7

考点： 三角形三边关系．

专题： 应用题．

分析： 小明家、小丽家和学校可能三点共线，也可能构成一个三角形，由此可列出不等式5﹣2≤x≤5+2，化简即可得出答案．

解答： 解：依题意得：5﹣2≤x≤5+2，

即3≤x≤7．

故选D．

点评： 本题考查的是三角形三边关系定理的应用，解此类题目时要注意三个地点的位置关系．

5．不等式组 的解集是（）

A． x＞ B． ﹣1≤x＜ C． x＜ D． x≥﹣1

考点： 解一元一次不等式组．

分析： 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

解答： 解： ，由①得，x＞ ，由②得，x≥﹣1，

故此不等式组的解集为：x＞ ．

故选：A．

点评： 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

6．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）

A． 20 B． 12 C． 14 D． 13

考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质．

分析： 根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE= AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．

解答： 解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴AD⊥BC，CD=BD= BC=4，

∵点E为AC的中点，

∴DE=CE= AC=5，

∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14．

故选：C．

点评： 本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．

7．若关于x的一元一次不等式组 有解，则m的取值范围为（）

A． B． m≤ C． D． m≤

考点： 解一元一次不等式组．

分析： 先求出两个不等式的解集，再根据有解列出不等式组求解即可．

解答： 解： ，

解不等式①得，x＜2m，

解不等式②得，x＞2﹣m，

∵不等式组有解，

∴2m＞2﹣m，

∴m＞ ．

故选C．

点评： 本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．

8．如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（）

A． 15° B． 25° C． 30° D． 10°

考点： 三角形的外角性质．

专题： 探究型．

分析： 先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．

解答： 解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，

∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，

∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，

∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．

故选A．

点评： 本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

9．如图，在锐角△ABC中，A B=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

A． B． 6 C． D． 3

考点： 轴对称-最短路线问题．

分析： 作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值，再根据AD是∠BAC的平分线可知M′H=M′N′，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答： 解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′+M′N′为所求的最小值．

∵AD是∠BAC的平分线，

∴M′H=M′N′，

∴BH是点B到直线AC的最短距离（垂线段最短），

∵AB=6，∠BAC=45°，

∴BH=AB?sin45°=6× =3 ．

∵BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=3 ．

故选C．

点评： 本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值．

10．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为（）

A． 1 B． 1.5 C． 2 D． 2.5

考点： 等腰三角形的判定与性质．

分析： 延长BD与AC交于点E，由题意可推出BE=AE，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形BCE，可推出BC=CE，AE=BE=2BD，根据AC=5，BC=3，即可推出BD的长度．

解答： 解：延长BD与AC交于点E，

∵∠A=∠ABD，

∴BE=AE，

∵BD⊥CD，

∴BE⊥CD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ECD，

∴∠EBC=∠BEC，

∴△BEC为等腰三角形，

∴BC=CE，

∵BE⊥CD，

∴2BD=BE，

∵AC=5，BC=3，

∴CE=3，

∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，

∴BE=2，

∴BD=1．

故选A．

点评： 本题主要考查等腰三角形的判定与性质，比较简单，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形，通过等量代换，即可推出结论．

11．某商品的标价比成本价高m%，根据市场需要，该商品需降价n%出售，为了不亏本，n应满足（）

A． n≤m B． n≤ C． n≤ D． n≤

考点： 一元一次不等式的应用．

分析： 根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价，进而得出不等式即可．

解答： 解：设进价为a元，由题意可得：a（1+m%）（1﹣n%）﹣a≥0，

则（1+m%）（1﹣n%）﹣1≥0，

去括号得：1﹣n%+m%﹣ ﹣1≥0，

整理得：100n+mn≤100m，

故n≤ ．

故选：B．

点评： 此题主要考查了一元一次不等式的应用，得出正确的不等关系是解题关键．

12．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为（）

A． 2 B． C． 2 D．

考点： 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解．

解答： 解：∵AD∥BC，DE⊥BC，

∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°，

又∵点G为AF的中点，

∴DG=AG，

∴∠GAD=∠GDA，

∴∠CGD=2∠CAD，

∵∠ACD=2∠ACB=2∠CAD，

∴∠ACD=∠CGD，

∴CD=DG =3，

在Rt△CED中，DE= =2 ．

故选：C．

点评： 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=3．

二、填空题（每小题2分，共18分）

13．命题“同位角相等”是假命题（填“真”或“假”）．

考点： 命题与定理．

分析： 两直线平行，同位角相等，如果没有前提条件，并不能确定同位角相等，由此可作出判断．

解答： 解：两直线平行，同位角相等，

命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．

故答案为：假．

点评： 本题考查了命题与定理的知识，属于基础题，同学们一定要注意一些定理成立的前提条件．

14．如图，已知△ABC的面积是24，D是BC的中点，E是AC的中点，那么△CDE的面积是6．

考点： 三角形的面积．菁优网版 权所有

分析： 根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答．

解答： 解：∵D是BC的中点，

∴S△ACD= S△ABC，

∵E是AC的中点，

∴S△CDE= S△ACD= × S△ABC= S△ABC，

∵△ABC的面积是24，

∴△CDE的面积= ×24=6．

故答案为：6．

点评： 本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等，理解三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形是解题的关键．

15．写出一个解为x≥1的一元一次不等式组 ．

考点： 不等式的解集．

专题： 开放型．

分析： 根据两个不等式的解集都是大于一个数，可得答案．

解答： 解；写出一个解为x≥1的一元一次不等式组 ，

故答案为： ．

点评： 本题考查了不等式的解集，求不等式组的解集：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．注意两个不等式的解集都是大于，且最大的解集是1．

16．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的顶角应该为70°或40°．

考点： 等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．

分析： 题目给出了一个外角等于110°，没说明是顶角还是底角的外角，所以要分两种情况进行讨论．

解答： 解：（1）当110°角为顶角的外角时，顶角为180°﹣110°=70°；

（2）当110°为底角的外角时，底角为180°﹣110°=70°，

顶角为180°﹣70°× 2=40°；

故填70°或40°．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

17．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则△ABC的周长等于12 cm．

考点： 勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．

专题： 几何图形问题．

分析： 根据三角形的面积求得 = ，根据勾股定理求得AB2= BC2+36，依据这两个式子求出AB、BC的值，即可求得周长．

解答： 解：∵AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，

∴ AB?CE= BC?AD，

∵AD=6，CE=8，

∴ = ，

∴ = ，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴BD=DC= BC，

∵AB2﹣BD2=AD2，

∴AB2= BC2+36，

∴ = ，

整理得；BC2= ，

解得：BC= ，

∴AB= ×BC= × = ，

∴△ABC的周长=2AB+BC=2× + =12 ．

故答案为：12 ．

点评： 本题考查了三角形的面积以及勾股定理的应用，找出AB与BC的数量关系是本题的关键．

18．线段AB和直线l在同一平面上．则下列判断可能成立的有5个

直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形

直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形．

考点： 等腰三角形的判定．

专题： 压轴题；推理填空题．

分析： 根据等腰三角形的判定得出等腰三角形ABP可能是AB=BP或AB=AP或AP=BP，作出后得出5个点，即可推出答案．

解答： 解：要使△APB是等腰三角形，分为三种情况：①AP=BP（即作AB的垂直平分线于直线的交点，即有一个点）∴直线l上恰好只有个1点P，使△ABP为等腰三角形正确；

②AB=AP（以A为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点），

即直线l上恰好只有个2点P，使△ABP为等腰三角形正确；

直线l上恰好只有个3点P，使△ABP为等腰三角形正确；

③AB=BP（以B为圆心，以AB为半径画弧，交直线于两点）

即直线l上恰好只有个4点P，使△ABP为等腰三角形正确；

直线l上恰好只有个5点P，使△ABP为等腰三角形正确；

∵1+2+2=5，

∴直线l上恰好只有个6点P，使△ABP为等腰三角形错误；

故答案为：5．

点评： 本题考查了对等腰三角形的判定的理解，符合条件的情况有：AP=AB（2个点），BA=BP（2个点）AP=BP（1个点）

三、解答题（本题有8小题，共66分）

19．解不等式组： ，并在数轴上表示出不等式组的解集．

考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．

专题： 计算题．

分析： 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可．

解答： 解：解①得：x＞3，

解②得：x≥1．

，

则不等式组的解集是：x＞3．

点评： 本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不等式的解，若x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为x介于两数之间．

20．如图，已知AB∥CD，若∠A=20°，∠E=35°，求∠C．

考点： 三角形的外角性质；平行线的性质．

分析： 根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和以及平行线的性质进行求解．

解答： 解：∵∠A=20°，∠E=35°，

∴∠EFB=∠A+∠E=55°，

∵AB∥CD，

∴∠C=∠EFB=55°．

点评： 此题考查了三角形的外角的性质以及平行线的性质．三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和；两条直线平行，则同位角相等．

21．如图，已知AE∥BC，AE平分∠DAC．

求证：AB=AC．

考点： 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；等腰三角形的判定．

专题： 证明题；压轴题．

分析： 根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据两直线平行，同位角相等可得∠1=∠B，两直线平行，内错角相等可得∠2=∠C，从而得到∠B=∠C，然后根据等角对等边即可得证．

解答： 证明：∵AE平分∠DAC，

∴∠1=∠2，

∵AE∥BC，

∴∠1=∠B，∠2=∠C，

∴∠B=∠C，

∴AB=AC．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

22．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BP=BQ，连结CQ．

（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并说明理由．

（2）若PA=3，PB=4，PC=5，连结PQ，判断△PQC的形状并说明理由．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．

分析： （1）易证△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；

（2）根据PA=CQ，PB=BQ，即可判定△PQC为直角三角形．

解答： 解：（1）AP=CQ．理由如下：

∵∠PBQ=60°，且BQ=BP，

∴△BPQ为等边三角形，

∵∠ABP+∠CBP=60°，∠CBQ+∠CBP=60°，

∴∠CBQ=∠ABP，

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ（SAS），

∴AP=CQ；

（2）∵等边△ABC和等边△BPQ中，

PB=PQ=4，PA=QC=3，

∵PQ2+CQ2=PC2，

∴△PQC为直角三角形（勾股定理逆定理）．

点评： 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理逆定理的运用，本题中求证△ABP≌△CBQ是解题的关键．

23．在我市举行的中学生安全知识竞赛中共有20道题．每一题答对得5分，答错或不答都扣3分．

（1）小李考了60分，那么小李答对了多少道题？

（2）小王获得二等奖（75～85分），请你算算小王答对了几道题？

考点： 一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用．

专题： 应用题．

分析： （1）设小李答对了x道题，则有（20﹣x）道题答错或不答，根据答对题目的得分减去答错或不答题目的扣分等于60分，即可得到一个关于x的方程，解方程即可求解；

（2）先设小王答对了y道题，根据二等奖在75分～85分之间，列出不等式组，求出y的取值范围，再根据y只能取正整数，即可得出答案．

解答： 解：（1）设小李答对了x道 题．

依题意得 5x﹣3（20﹣x）=60．

解得x=15．

答：小李答对了15道题．

（2）设小王答对了y道题，依题意得：

，

解得： ≤y≤ ，

∵y是正整数，

∴y=17或18，

答：小王答对了17或18道题．

点评： 本题考查了一元一次方程的应用．利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．

24．我们用[a]表示不大于a的最大整数，例如：[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3；用＜a＞表示大于a的最小整数，例如：＜2.5＞=3，＜4＞=5，＜﹣1.5＞=﹣1．解决下列问题：

（1）[﹣4.5]=﹣5，＜3.5＞=4．

（2）若[x]=2，则x的取值范围是2≤x＜3；若＜y＞=﹣ 1，则y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1．

（3）已知x，y满足方程组 ，求x，y的取值范围．

考点： 一元一次不等式组的应用．

专题： 新定义．

分析： （1）根据题目所给信息求解；

（2）根据[2.5]=2，[3]=3，[﹣2.5]=﹣3，可得[x]=2中的2≤x＜3，根据＜a＞表示大于a的最小整数，可得＜y＞=﹣1中，﹣2≤y＜﹣1；

（3）先求出[x]和＜y＞的值，然后求出x和y的取值范围．

解答： 解：（1）由题意得，[﹣4.5]=﹣5，＜3.5＞=4；

（2）∵[x]=2，

∴x的取值范围是2≤x＜3；

∵＜y＞=﹣1，

∴y的取值范围是﹣2≤y＜﹣1；

（3）解方程组得： ，

∴x，y的取值范围分别为﹣1≤x＜0，2≤y＜3．

点评： 本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息进行解答．

25．如图，在△ABC中，∠A=2∠C，D是AC上的一点，且BD⊥BC，P在AC上移动．

（1）当P移动到什么位置时，BP=AB．

（2）求∠C的取值范围．

考点： 等腰三角形的判定与性质．

分析： （1）先判断出点P移动的位置为DC的中点．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DP=PC=BP，根据等边对等角求出∠C=∠PBC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠APB=2∠C，然后求出∠A=∠APB，再根据等角对等边求解即可；

（2）根据三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角可得∠BDC＞∠A，再根据直角三角形两锐角互余列出不等式，然后求解即可．

解答： 解：（1）∵BD⊥BC，

∴△DBC是直角三角形，

当P移动到DC的中点时，DP=PC=BP，

∴∠C=∠PBC，∠APB=∠C+∠PBC=2∠C，

又∵∠A=2∠C，

∴∠A=∠APB，

∴△ABP是等腰三角形，

∴BP=AB；

（2）根据三角形的外角性质，在△ABD中，∠BDC＞∠A，

∵∠BDC+∠C=90°，

∴∠A+∠C＜90°，

即2∠C+∠C＜90°，

解得0°＜∠C＜30°．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．

26．某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

A B

进价（元/件） 2023 2023

售价（元/件） 2023 2023

（1）该商场购进A、B两种商

（1）该商场购进A、B两种商品各多少件；

（2）商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原售价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于20230元，B种商品最低售价为每件多少元？

考点： 一元一次不等式组的应用．

专题： 销售问题．

分析： （1）设购进A种商品x件，B种商品y件，列出不等式方程组可求解．

（2）由（1）得A商品购进数量，再求出B商品的售价．

解答： 解：（1）设购进A种商品x件，B种商品y件，

根据题意得

化简得 ，解之得 ．

答：该商场购进A、B两种商品分别为200件和120件．

（2）由于第二次A商品购进400件，获利为

（2023﹣2023）×400=20230（元）

从而B商品售完获利应不少于20230﹣20230=2023（元）

设B商品每件售价为z元，则

120（z﹣2023）≥2023

解之得z≥2023

所以B种商品最低售价为每件2023元．

点评： 本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．准确地解不等式组是需要掌握的基本能力．