苏州市景范中学2023初二数学上册期中试卷(含答案解析)

苏州市景范中学2023初二数学上册期中试卷(含答案解析)

一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）

1．下面的图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

2．下列计算正确的是（）

A． B． C． D．

3．如果把 的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）

A． 不变 B． 扩大50倍

C． 扩大10倍 D． 缩小到原来的

4．设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A． 1和2 B． 2和3 C． 3和4 D． 4和5

5．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为（）

A． 16 cm B． 28 cm C． 26 cm D． 18 cm

6．如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（）

A． 100° B． 80° C． 70° D． 50°

7．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则 MC2﹣MB2等于（）

A． 9 B． 35 C． 45 D． 无法计算

8．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：

①BD=CE；

②BD⊥CE；

③∠ACE+∠DBC=45°；

④BE2=2（AD2+AB2），

其中结论正确的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

9． 的算术平方根是，﹣64的立方根是．

10．已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a=．

11．5.2023（保留三个有效数字），近似数7.02×105精确到位．

12．已知 ，则 =．

13．若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为．

14．如果b＜0，那么化简|b﹣ |的结果是．

15．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是．

16．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为．

17．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为．

18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为．

三、解答题（共9小题，满分64分）

19．计算：

（1） + ﹣（﹣ ） 2

（2）| |+|1﹣ |+（1﹣ ）

20．先化简，再求值： ，其中x是不等式组 的整数解．

21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；

（2）五边形ACBB′C′的周长为；

（3）四边形ACBB′的面积为；

（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为．

22．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．

23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．

（1）证明：DC=DG；

（2）若DG=5，EC=2，求DE的长．

24．如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答：

（1）符合条件的点P共有个；

（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数．

25．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

26．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，E是边CA上任意一点，DF⊥DE，交BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交AB于点H．

（1）说明：AE=CF；

（2）连接DG，说明：CG=GD；

（3）若AE=1，CH=4，求边AC的长．

27．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

苏州市景范中学2023初二数学上册期中试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题2分，满分16分）

1．下面的图形中，不是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念求解．

解答： 解：A、是轴对称图形，故错误；

B、是轴对称图形，故错误；

C、不是轴对称图形，故正确；

D、是轴对称图形，故错误．

故选C．

点评： 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．

2．下列计算正确的是（）

A． B． C． D．

考点： 算术平方根．

分析： 求出每个式子的值，再判断即可．

解答： 解：A、 = = ，故本选项正确；

B、 = = ，故本选项错误；

C、 =0.5，故本选项错误；

D、 没有意义，故本选项错误；

故选A．

点评： 本题考查了算术平方根的应用，主要考查学生的计算能力．关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．

3．如果把 的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）

A． 不变 B． 扩大50倍

C． 扩大10倍 D． 缩小到原来的

考点： 分式的基本性质．

专题： 计算题；压轴题．

分析： 依题意分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可．

解答： 解：分别用10x和10y去代换原分式中的x和y，得

= = ，可见新分式与原分式的值相等；

故选A．

点评： 本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．

4．设 ，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）

A． 1和2 B． 2和3 C． 3和4 D． 4和5

考点： 估算无理数的大小．

专题： 计算题．

分析： 先对 进行估算，再确定 是在哪两个相邻的整数之间，然后计算 介于哪两个相邻的整数之间．

解答： 解：∵16＜19＜25，

∴4＜ ＜5，

∴3＜ ﹣1＜4，

∴3＜a＜4，

∴a在两个相邻整数3和4之间；

故选C．

点评： 此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．

5．如图，DE是△ABC中边AC的垂直平分线，若BC=18cm，AB=10cm，则△ABD的周长为（）

A． 16 cm B． 28 cm C． 26 cm D． 18 cm

考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出△ABD的周长=AB+BC，代入数据进行计算即可得解．

解答： 解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AD=CD，

∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC，

∵BC=18cm，AB=10cm，

∴△ABD的周长=18+10=28cm．

故选B．

点评： 本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质 ，把△ABD的周长转化为AB、BC的和是解题的关键．

6．如图，△ABC内有一点D，且DA=DB=DC，若∠DAB=20°，∠DAC=30°，则∠BDC的大小是（）

A． 100° B． 80° C． 70° D． 50°

考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．

分析： 如果延长BD交AC于E，由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，所以∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD，又DA=DB=DC，根据等腰三角形等边对等角的性质得出∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°，进而得出结果．

解答： 解：延长BD交AC于E．

∵DA=DB=DC，

∴∠ABE=∠DAB=20°，∠ECD=∠DAC=30°．

又∵∠BAE= ∠BAD+∠DAC=50°，

∠BDC=∠DEC+∠ECD，∠DEC=∠ABE+∠BAE，

∴∠BDC=∠ABE+∠BAE+∠ECD=20°+50°+30°=100°．

故选A．

点评： 本题考查三角形外角的性质及等边对等角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．

7．如图所示，已知△ABC中，AB=6，AC=9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则 MC2﹣MB2等于（）

A． 9 B． 35 C． 45 D． 无法计算

考点： 勾股定理．

分析： 在RT△ABD及ADC中可分别表示出BD2及CD2，在RT △BDM及CDM中分别将BD2及CD2的表示形式代入表示出BM2和MC2，然后作差即可得出结果．

解答： 解：在RT△ABD和RT△ADC中，

BD2=AB2﹣AD2， CD2=AC2﹣AD2，

在RT△BDM和RT△CDM中，

BM2=BD2+MD2=AB2﹣AD2+MD2，MC2=CD2+MD2=AC2﹣AD2+MD2，

∴MC2﹣MB2=（AC2﹣AD2+MD2）﹣（AB2﹣AD2+MD2）

=AC2﹣AB2

=45．

故选C．

点评： 本题考查了勾股定理的知识，题目有一定的技巧性，比较新颖，解答本题需要认真观察，分别两次运用勾股定理求出MC2和MB2是本题的难点，重点还是在于勾股定理的熟练掌握．

8．已知：如图在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，点C，D，E三点在同一条直线上，连接BD，BE．以下四个结论：

①BD=CE；

②BD⊥CE；

③∠ACE+∠DBC=45°；

④BE2=2（AD2+AB2），

其中结论正确的个数是（）

A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

专题： 证明题．

分析： ①由AB=AC，AD=AE，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得出三角形ABD与三角形ACE全等，由全等三角形的对应边相等得到BD=CE；

②由三角形ABD与三角形ACE全等，得到一对角相等，再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到BD垂直于CE；

③由等腰直角三角形的性质得到∠ABD+∠DBC=45°，等量代换得到∠ACE+∠DBC=45°；

④由BD垂直于CE，在直角三角形BDE中，利用勾股定理列出关系式，等量代换即可作出判断．

解答： 解：①∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

即∠BAD=∠CAE，

∵在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴BD=CE，故①正确；

②∵△BAD≌△CAE，

∴∠ABD=∠ACE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

则BD⊥CE，故②正确；

③∵△ABC为等腰直角三角形，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABD+∠DBC=45°，

∵∠ABD=∠ACE

∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；

④∵BD⊥CE，

∴在Rt△BDE中，利用勾股定理得：

BE2=BD2+DE2，

∵△ADE为等腰直角三角形，

∴DE= AD ，

即DE2=2AD2，

∴BE2=BD2+DE2=BD2+2AD2，

而BD2≠2AB2，故④错误，

综上，正确的个数为3个．

故选：C．

点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．

二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）

9． 的算术平方根是 ，﹣64的立方根是﹣4．

考点： 算术平方根；立方根．

分析： 根据算术平方根及立方根的定义进行求解即可．

解答： 解： 的算术平方根是 ，﹣64的立方根是﹣4；

故答案为： ，﹣4．

点评： 此题考查了算术平方根与立方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，正数是它的算术平方根；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根式正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根式0．

10．已知分式 ，当x=2时，分式无意义，则a=6．

考点： 分式有意义的条件．

分析： 根据分式无意义，分母等于0，把x=2代入分母，解关于a的方程即可．

解答： 解：∵当x=2时，分式无意义，

∴x2﹣5x+a=22﹣5×2+a=0，

解得a=6．

故答案为：6．

点评： 本题考查的知识点为：分式无意义，分母为0．

11．5.2023（保留三个有效数字）5.60，近似数7.02×105精确到千位．

考点： 近似数和有效数字．

分析： 根据近似数的精确度和有效数字的定义把5.2023的千分位上的数字4进行四舍五入即可；由于近似数7.02×105数字2在千位上，则近似数7.02×105精确到千位．

解答： 解：5.2023≈5.60（保留三个有效数字）；

近似数7.02×105精确到千位．

故答案为5.60；千．

点评： 本题考查了近似数和有效数字：经过四舍五入得到的数叫近似数；从一个近似数左边第一个不为0的数数起到这个数完为止，所有数字都叫这个数的有效数字．

12．已知 ，则 = ．

考点： 分式的基本性质．

专题： 计算题．

分析： 首先设恒等式等于某一常数，然后得到x、y、z与这一常数的关系式，将各关系式代入求值．

解答： 解：设 =k，则x=2k，y=3k，z=4k，则 = = = ．

故答案为 ．

点评： 本题主要考查分式的基本性质，设出常数是解题的关键．

13．若等腰三角形的一个外角是110°，则其底角为70°或55°．

考点： 等腰三角形的性质．

专题： 分类讨论．

分析： 分这个外角为底角的外角和顶角的外角，分别求解即可．

解答： 解：

当110°外角为底角的外角时，则其底角为：180°﹣110°=70°；

当110°外角为顶角的外角时，则其顶角为：70°，则其底角为： =55°，

故答案为：70°或55°．

点评： 本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的应用，掌握等腰三角形的两底角相等和三角形三个内角的和为180°是解题的关键．

14．如果b＜0，那么化简|b﹣ |的结果是﹣2b．

考点： 算术平方根；绝对值．

分析： 根据二次根式的性质，可得 =﹣b，b＜0，再根据绝对值的意义，可得答案．

解答： 解；b＜0，|b﹣ |=|b﹣（﹣b）|=b+b|=﹣2b，

故答案为：﹣2b．

点评： 本题考查了算术平方根，利用了算术平方根的意义，绝对值的意义．

15．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是5．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

分析： 根据正方形性质得出AD=CD，∠ADC=90°，求出∠EAD=∠FDC，证△AED≌△DFC，求出DE=CF=2，在Rt△AED中，由勾股定理求出AD，即可求出正方形的面积．

解答： 解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=CD，∠ADC=90°，

∵AE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AED=∠DFC=90°，

∴∠ADE+∠CDF=180°﹣90°=90°，∠ADE+∠EAD=90°，

∴∠EAD=∠CDF，

在△AED和△DFC中，

，

∴△AED≌△DFC（AAS），

∴DE=CF=2，

在Rt△AED中，由勾股定理得：AD= = ，

即正方形ABCD的面积是5，

故答案为：5．

点评： 本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出DE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．

16．如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，则BE的长度为12．

考点： 勾股定理；直角三角形斜边上的中线．

分析： 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AB=2DE，再利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： 解：∵BE⊥AC，D为AB中点，

∴AB=2DE=2×10=20，

在Rt△ABE中，BE= = =12．

故答案为：12．

点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质与定理是解题的关键．

17．把图一的矩形纸片ABCD折叠，B、C两点恰好重合落在AD边上的点P处（如图二）．已知∠MPN=90°，PM=3，PN=4，那么矩形纸片ABCD的面积为 ．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

专题： 压轴题．

分析： 利用折叠的性质和勾股定理可知．

解答： 解：由勾股定理得，MN=5，

设Rt△PMN的斜边上的高为h，由矩形的宽AB也为h，

根据直角三角形的面积公式得，h=PM?PN÷MN= ，

由折叠的性质知，BC=PM+MN+PN=12，

∴矩形的面积=AB?BC= ．

点评： 本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，直角三角形和矩形的面积公式求解．

18．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为 ．

考点： 角平分线的性质；等腰直角三角形．

分析： 过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AC的距离也等于DE，然后利用△ABC的面积列方程求出DE，再判断出△ADE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出AE，再求出BE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答： 解：如图，过点D作DE⊥AB于E，

∵AD平分∠BAC，

∴点D到AC的距离也等于DE，

∴S△ABC= ×3?DE+ ×4?DE= ×3×4，

解得DE= ，

∵AD平分∠BAC，∠BAC=90°，

∴∠DAE=45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴AE=DE= ，

∴BE=3﹣ = ，

在Rt△BDE中，BD= = = ．

故答案为： ．

点评： 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出等腰直角三角形是解题的关键．

三、解答题（共9小题，满分64分）

19．计算：

（1） + ﹣（﹣ ） 2

（2）| |+|1﹣ |+（1﹣ ）

考点： 实数的运算．

专题： 计算题．

分析： （1）原式利用平方根及立方根定义计算即可得到结果；

（2）原式利用绝对值的代数意义化简，合并即可．

解答： 解：（1）原式=11﹣3﹣5=3；

（2）原式= ﹣ + ﹣1+1﹣ =0．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题 的关键．

20．先化简，再求值： ，其中x是不等式组 的整数解．

考点： 分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．

专题： 计算题．

分析： 将原式括号中的第一项分母利用平方差公式分解因式，然后找出两分母的最简公分母，通分并利用同分母分式的减法法则计算，分子进行合并整理，同时将除式的分母利用完全平方公式分解因式，然后利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后即可得到结果，分别求出x满足的不等式组两个一元一次不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，在解集中找出整数解，即为x的值，将x的值代入化简后的式子中计算，即可得到原式的值．

解答： 解：（ ﹣ ）÷

=[ ﹣ ]?

= ?

= ?

= ，

又 ，

由①解得：x＞﹣4，

由②解得：x＜﹣2，

∴不等式组的解集为﹣4＜x＜﹣2，

其整数解为﹣3，

当x=﹣3时，原式= =2．

点评： 此题考查了分式的化简求值，以及一元一次不等式的解法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分．

21．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上．

（1）在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；

（2）五边形ACBB′C′的周长为4 +2 +2；

（3）四边形ACBB′的面积为7；

（4）在直线l上找一点P，使PB+PC的长最短，则这个最短长度为 ．

考点： 作图-轴对称变换； 轴对称-最短路线问题．

分析： （1）根据轴对称的性质，可作出△ABC关于直线l成轴对称的△AB′C′；

（2）由勾股定理即可求得AC与BC的长，由对称性，可求得其它边长，继而求得答案；

（3）由S△ABC=S梯形AEFB﹣S△AEC﹣S△BCF，可求得△ABC的面积，易求得△ABB′的面积，继而求得答案；

（4）由点B′是点B关于l的对称点，连接B′C，交l于点P，然后由B′C的长即可．

解答： 解：（1）如图：△AB′C′即为所求；

（2）∵AC′=AC= =2 ，BC=BC′= = ，BB′=2，

∴五边形ACBB′C′的周长为：2×2 +2× +2=4 +2 +2；

故答案为：4 +2 +2；

（3）如图，S△ABC=S梯形AEFB﹣S△AEC﹣S△BCF= ×（1+2）×4﹣ ×2×2﹣ ×2×1=3，S△ABB′= ×2×4=4，

∴S四边形ACBB′=S△ABC+S△ABB′=3+4=7．

故答案为：7；

（4）如图，点B′是点B关于l的对称点，连接B′C，交l于点P，

此时PB+PC的长最短，

∴PB=PB′，

∴PB+PC=PB′+PC=B′C= = ．

故答案为： ．

点评： 此题考查了轴对称变换、三角形的面积以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

22．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 证明题．

分析： 利用∠1=∠2，即可得出∠ABE=∠CBF，再利用全等三角形的判定SAS得出即可．

解答： 证明：∵∠1=∠2，

∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，

在△ABE与△CBF中，

，

∴△ABE≌△CBF（SAS）．

点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．

（1）证明：DC=DG；

（2）若DG=5，EC=2，求DE的长．

考点： 直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质；勾股定理．

分析： （1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG；

（2）根据勾股定理即可求解．

解答： （1）证明：∵DE⊥BC，

∴∠DEB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠ADE+∠DEB=180°，

∴∠ADE=90°，

∵G为AF的中点，

∴DG=AG，

∴∠DAF=∠ADG，

∴∠DGC=∠DAF+∠ADG=2∠DAC，

∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAC，

∵∠ACD=2∠ACB，

∴∠DGC=∠DCA，

∴DC=DG；

（2）解：∵在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DG=DC=5，CE=2，

∴由勾股定理得：DE= = ．

点评： 本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，直角三角形的性质的应用，解此题的关键是求出DG=DC，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

24．如图，已知直线m⊥直线n于点O，点A到m、n的距离相等，在直线m或n上确定一点P，使△OAP为等腰三角形．试回答：

（1）符合条件的点P共有8个；

（2）若符合条件的点P在直线m上，请直接写出∠OAP的所有可能的度数．

考点： 等腰三角形的判定．

分析： （1）分别以点O、A为圆心，以OA的长为半径画圆，与直线相交六点，再连接两圆的交点，与直线相交于两点；

（2）连接AP，根据等腰三角形的性质即可得出结论．

解答： 解：（1）如图所示．

故答案为：8个；

（2）如图所示：

22.5°，90°，67.5°，45°．

点评： 本题考查的是等腰三角形的判定，熟知如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等是解答此题的关键．

25．如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．

专题： 几何综合题；压轴题．

分析： （1）由△ABC与△DCE是等边三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可证得∠ACD=∠BCE，所以根据SAS即可证得△ACD≌△BCE；

（2）首先过点C作CH⊥BQ于H，由等边三角形的性质，即可求得∠DAC=30°，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．

解答： （1）证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形，

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）解：过点C作CH⊥BQ于H，

∵△ABC是等边三角形，AO是角平分线，

∴∠DAC=30°，

∵△ACD≌△BCE，

∴∠PBC=∠DAC=30°，

∴在Rt△BHC中，CH= BC= ×8=4，

∵PC=CQ=5，CH=4，

∴PH=QH=3，

∴PQ=6．

点评： 此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形、等边三角形以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，但难度不大，解题时要注意数形结合思想的应用．

26．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD为边AB上的中线，E是边CA上任意一点，DF⊥DE，交BC于F点．G为EF的中点，连接CG并延长交AB于点H．

（1）说明：AE=CF；

（2）连接DG，说明：CG=GD；

（3）若AE=1，CH=4，求边AC的长．

考点： 全等三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．

分析： （1）通过全等三角形（△AED≌△CFD）的对应边相等证得AE=CF；

（2）根据Rt△ECF和Rt△EDF斜边上中线的性质来证明CG=GD；

（3）求出EF的长是4，在Rt△ECF中，CF=1，根据勾股定理求出EC，即可求出AC．

解答： 解：（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠A=∠B=45°，

∵CD为AB边上的中线，

∴CD⊥AB，AD=CD=BD，

∴∠DCB=∠B=45°，

∴∠A=∠DCB，

即∠A=∠DCF，

∵DF⊥DE，

∴∠ADE+∠EDC=90°，∠CDF+∠EDC=90°，

∴∠ADE=∠CDF，

在△AED和△CFD中，

∴△AED≌△CFD（ASA），

∴AE=CF；

（2）∵∠ACB=90°，G为EF的中点，

∴CG= EF，

∵DF⊥DE，G为EF的中点，

∴GD= EF，

∴CG=GD；

（3）∵AC=BC，CD是AB边上的中线，

∴CD⊥AB，

∴∠CDA=90°，

∴∠CHD+∠DCH=90°，∠CDG+∠HDG=90°，

∵CG=DG，

∴∠CDG=∠GCD，

∴∠GDH=∠GHD，

∴DG=GH，

∴CG=GH= CH=2，

∵G为EF的中点，

∴DG= EF，

∴EF=4，

∵AE=1，

∴CF=AE=1，

在Rt△ECF中，由勾股定理得：

CE= ，

∴AC=CE+AE= +1．

点评： 本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上1的中线性质以及勾股定理等知识的综合运用，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．

27．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的周长．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

考点： 等腰三角形的判定；一次函数综合题．

分析： （1）利用勾股定理AC=8cm和PB=2 cm，所以求出了三角形的周长．

（2）利用分类讨论的思想和等腰三角形的特点及三角形的面积求出答案．

（3）利用分类讨论的思想和周长的定义求出了答案．

解答：

解：（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴有勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm

∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．

∵∠C=90°，

∴有勾股定理得PB=2 cm

∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=6+10+2 =（16+2 ）cm；

（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有两种情况：

①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，

所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，

根据勾股定理求得BP=7.2cm，

所以P运动的路程为18﹣7.2=10.8cm，

∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；

③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，∴∠ACP=∠CAP，∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；

（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8﹣t，AQ=16﹣2t，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴8﹣t+16﹣2t=12，

∴t=4；

当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣8，AQ=2t﹣16，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t﹣8+2t﹣16=12，

∴t=12，

∴当t为4或12 秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评： 考查了等腰三角形的判定，利用了勾股定理求出三角形的一条直角边，还利用分类讨论的思想求出所要求的答案．