湖南省2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

湖南省2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．若分式 的值为零，那么x的值为（）

A． x=1或x=﹣1 B． x=1 C． x=﹣1 D． x=0

2．下列命题是真命题的是（）

A． 两边及一个角对应相等的两三角形全等

B． 两角及一边对应相等的两三角形全等

C． 三个角对应相等的两三角形全等

D． 面积相等的两三角形全等

3．下列运算正确的是（）

A． x2﹣x﹣2=x0 B． x2+x﹣2=x0 C． x2×x﹣2=x0 D． x2÷x﹣2=x0

4．下列计算错误的是（）

A． = B． =﹣1

C． =2 D． + =

5．如果把 的x与y都扩大到原来的10倍，那么这个代数式的值（）

A． 不变 B． 扩大10倍 C． 扩大100倍 D． 无法确定

6．在等腰△ABC中，∠A的相邻外角是70°，则∠B为（）

A． 70° B． 35° C． 110°或35° D． 110°

7．有4条线段，长分别是：2，3，4，5，从中任取3条，可以组成三角形的情况有（）

A． 0种 B． 1种 C． 2种 D． 3种

8．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为（）

A． 9 B． 12 C． 9或12 D． 7

9．适合条件∠A=2∠B=3∠C的△ABC是（）

A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等边三角形

10．如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，依据是三角形的全等判定（）

A． SAS B． ASA C． SSS D． AAS

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．当x=时，分式 的值为零．

12． ， ， 的最简公分母为．

13．计算： =．

14．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 74

mm2，这个数用科学记数法表示为．

15．写出“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题：．

16．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：．

17．如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是．

18．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠ECD的度数是．

19．如图，点D、E分别边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边的点F上，若∠B=50°，则∠BDF=．

20．已知a2+4a+1=0，且 ，则m=．

三、解答题（本题满分60分，21至26题，每小题8分，27题12分）

21．计算：

（1）（π﹣3.14）0+（﹣1）2023﹣（﹣ ）﹣2

（2）（ ﹣ ）?（x﹣y）2．

22．解方程：

（1） ﹣ =0

（2） = ．

23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

24．已知x+y=4，xy=2，求 + 的值．

25．某人骑自行车比步行每小时快8千米，坐汽车比骑自行车每小时快16千米，此人从A地出发，先步行4千米，然后乘坐汽车10千米就到B地，他又骑自行车从B 地返回A地，往返所用的时间相等，求此人步行的速度．

26．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．

求证：△ABC≌△MED．

27．（12分）（2023秋?洪江市期中）阅读下列材料：

x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ；

x﹣ =c﹣ （即x+ =c+ ）的解是x1=c，x2=﹣ ；

x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ；

x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ；

…

（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x+ =c+ （m≠0）的解，并验证你的结论；

（2）利用这个结论解关于x的方程：x+ ．

湖南省2023初二年级数学上册期中测试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1．若分式 的值为零，那么x的值为（）

A． x=1或x=﹣1 B． x=1 C． x=﹣1 D． x=0

考点： 分式的值为零的条件．

分析： 分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．

解答： 解：依题意，得

x2﹣1=0，且x+1≠0，

解得x=1．

故选：B．

点评： 本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

2．下列命题是真命题的是（）

A． 两边及一个角对应相等的两三角形全等

B． 两角及一边对应相等的两三角形全等

C． 三个角对应相等的两三角形全等

D． 面积相等的两三角形全等

考点： 全等三角形的判定；命题与定理．

分析： 根据三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．针对每个选项进行分析，即可选出答案．

解答： 解：A、根据两边及夹角对应相等的两三角形全等，故此选项错误；

B、两角及一边对应相等的两三角形全等，故此选项正确；

C、三个角对应相等的两三角形全等，边长不一定相等，故此选错误；

D、面积相等的两三角形不一定全等，故此选项错误．

故选：B．

点评： 本题考查三角形全等的判定方法；判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，不能添加，根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．

3．下列运算正确的是（）

A． x2﹣x﹣2=x0 B． x2+x﹣2=x0 C． x2×x﹣2=x0 D． x2÷x﹣2=x0

考点： 负整数指数幂；零指数幂．

分析： 根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得答案．

解答： 解：x2?x﹣2=x0，

故选：C．

点评： 此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

4．下列计算错误的是（）

A． = B． =﹣1

C． =2 D． + =

考点： 分式的基本性质．

分析： 根据分式的性质，可判断A、B、C；根据分式的加法，可判断D．

解答： 解：A、分式的分子分母都除以（x2y2），分式的值不变，故A正确；

B、分式的分子分母都除以（a﹣b），故B正确；

C、分子分母除以不同的数，分式的值变化，故C错误；

D、同分母分式相加，分子相加分母不变，故D正确；

故选：C．

点评： 本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变，注意同分母分式相加分子相加，分母不变．

5．如果把 的x与y都扩大到原来的10倍，那么这个代数式的值（）

A． 不变 B． 扩大10倍 C． 扩大100倍 D． 无法确定

考点： 分式的基本性质．

分析： 把x换成10x，y换成10y，然后根据分式的基本性质化简即可．

解答： 解：∵ = ，

∴这个代数式的值扩大10倍．

故选B．

点评： 本题考查了分式的基本性质，熟记性质是解题的关键．

6．在等腰△ABC中，∠A的相邻外角是70°，则∠B为（）

A． 70° B． 35° C． 110°或35° D． 110°

考点： 等腰三角形的性质．

分析： 根据邻补角的定义求出∠A的度数，然后根据等腰三角形两底角相等解答．

解答： 解：∵∠A的相邻外角是70°，

∴∠A=180°﹣70°=110°，

∴∠B= ×（180°﹣∠A）= ×（180°﹣110°）=35°．

故选B．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等的性质，熟记性质是解题的关键．

7．有4条线段，长分别是：2，3，4，5，从中任取3条，可以组成三角形的情况有（）

A． 0种 B． 1种 C． 2种 D． 3种

考点： 三角形三边关系．

分析： 从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．

解答： 解：首先任意的三个数组合可以是2，3，4或2，3，5或3，4，5或2，4，5．

根据三角形的三边关系：其中2+3=5，不能组成三角形．

∴只能组成3个．

故选D．

点评： 考查了三角形的三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

8．已知一个等腰三角形的两边长分别是2和5，那么这个等腰三角形的周长为（）

A． 9 B． 12 C． 9或12 D． 7

考点： 等腰三角形的性质；三角形三边关系．

分析： 题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

解答： 解：分两种情况：

当腰为2时，2+2＜5，所以不能构成三角形；

当腰为5时，2+5＞5，所以能构成三角形，周长是：2+5+5=12．

故选：B．

点评： 本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

9．适合条件∠A=2∠B=3∠C的△ABC是（）

A． 锐角三角形 B． 直角三角形 C． 钝角三角形 D． 等边三角形

考点： 三角形内角和定理．

专题： 计算题．

分析： 设∠C=x，由∠A=2∠B=3∠C，则∠A=3x，∠B= x，根据三角形内角和定理得到3x+ x+x=180°，解得x= ，则有∠A=3x=3× ＞90°，即可判断△ABC的形状．

解答： 解：设∠C=x，

∵∠A=2∠B=3∠C，

∴∠A=3x，∠B= x，

∵∠A+∠B+∠C=180°，

∴3x+ x+x=180°，

解得x= ，

∴∠A=3x=3× ＞90°，

∴△ABC为钝角三角形．

故选C．

点评： 本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°．

10．如图，某同学把一块三角形状的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是带③去，依据是三角形的全等判定（）

A． SAS B． ASA C． SSS D． AAS

考点： 全等三角形的应用．

分析： 根据全等三角形的判定，已知两角和夹边，就可以确定一个三角形．

解答： 解：根据三角形全等的判定方法，根据角边角可确定一个全等三角形，

只有第三块玻璃包括了两角和它们的夹边，只有带③去才能配一块完全一样的玻璃，是符合题意的．

故选：B．

点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，做题时要根据已知条件进行选择运用．

二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）

11．当x=﹣3时，分式 的值为零．

考点： 分式的值为零的条件．

专题： 计算题．

分析： 要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．

解答： 解：要使分式由分子x2﹣9=0解得：x=±3．

而x=﹣3时，分母x﹣3=﹣6≠0．

x=3时分母x﹣3=0，分式没有意义．

所以x的值为﹣3．

故答案为：﹣3．

点评： 本题考查了分式的值为零的条件，分式有意义的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

12． ， ， 的最简公分母为6x2y2．

考点： 最简公分母．

分析： 确定最简公分母的方法是：

（1）取各分母系数的最小公倍数；

（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；

（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．

解答： 解： ， ， 的分母分别是2xy、3x2、6xy2，故最简公分母为6x2y2．

故答案为6x2y2．

点评： 本题考查了最简公分母的定义及确定方法，通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．

13．计算： =x+y．

考点： 分式的加减法．

专题： 计算题．

分析： 首先把两分式分母化成相同，然后进行加减运算．

解答： 解：原式= = =x+y．故答案为x+y．

点评： 本题考查了分式的加减运算．解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式．

14．随着电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 74

mm2，这个数用科学记数法表示为7.4×10﹣7．

考点： 科学记数法—表示较小的数．

分析： 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解答： 解：0.000 000 74=7.4×10﹣7；

故答案为：7.4×10﹣7．

点评： 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

15．写出“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题：线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等．

考点： 命题与定理．

分析： 写出线段垂直平分线的性质定理即可．

解答： 解：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”的逆命题为：线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等．

故答案为线段的垂直平分线上的点到线段两端距离相等．

点评： 本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．

16．把命题“对顶角相等”改写成“如果…那么…”的形式：如果两个角是对顶角，那么它们相等．

考点： 命题与定理．

分析： 命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面．

解答： 解：题设为：对顶角，结论为：相等，

故写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是对顶角，那么它们相等，

故答案为：如果两个角是对顶角，那么它们相等．

点评： 本题主要考查了将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论，比较简单．

17．如图，线段AC与BD交于点O，且OA=OC，请添加一个条件，使△OAB≌△OCD，这个条件是∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 开放型．

分析： 本题要判定△OAB≌△OCD，已知OA=OC，∠AOB=∠COD，具备了一组边对应相等和一组角对应相等，故添加∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD后可分别根据ASA、AAS、SAS、AAS判定△OAB≌△OCD．

解答： 解：∵OA=OC，∠A=∠C，∠AOB=∠COD，

∴△OAB≌△OCD（ASA）．

∵OA=OC，∠B=∠D，∠AOB=∠COD，

∴△OAB≌△OCD（AAS）．

∵OA=OC，OD=OB，∠AOB=∠COD，

∴△OAB≌△OCD（SAS）．

∵AB∥CD，

∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），

∵OA=OC，

∴△OAB≌△OCD（AAS）．

故填∠A=∠C，∠B=∠D，OD=OB，AB∥CD．

点评： 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

18．如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连结EC，则∠ECD的度数是25°．

考点： 线段垂直平分线的性质．

分析： 根据角平分线定义求出∠EBC，根据线段垂直平分线得出NE=CE，推出∠ECD=∠EBC即可．

解答： 解：∵BE平分∠ABD，∠ABC=50°，

∴∠EBD= ∠ABC=25°，

∵AD垂直平分线段BC，

∴BE=CE，

∴∠ECD=∠EBC=25°，

故答案为：25°．

点评： 本题考查了线段垂直平分线和等腰三角形性质的应用，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．

19．如图，点D、E分别边AB、AC的中点，将△ADE沿着DE对折，点A落在BC边的点F上，若∠B=50°，则∠BDF=80°．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

专题： 探究型．

分析： 先根据点D、E分别边AB、AC的中点可知DE是△ABC的中位线，故可求出∠ADE=∠B=50°，再由翻折变换的性质可知∠EDF=50°，由平角的性质即可求解．

解答： 解：∵点D、E分别边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，

∴∠ADE=∠B=50°，

∵△DEF是△DEA经过翻折变换得到的，

∴∠EDF=50°，

∴∠BDF=180°﹣2∠ADE=180°﹣100°=80°．

故答案为：80°．

点评： 本题考查的是图形翻折变换的性质及平角的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．

20．已知a2+4a+1=0，且 ，则m= ．

考点： 分式的等式证明．

分析： 由a2+4a+1=0，得a2=﹣4a﹣1，代入所求的式子化简即可．

解答： 解：∵a2+4a+1=0，∴a2=﹣4a﹣1，

=

=

=

= =5，

∴（16+m）（﹣4a﹣1）+8a+2=5（m﹣12）（﹣4a﹣1），

原式可化为（16+m）（﹣4a﹣1）﹣5（m﹣12）（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，

即[（16+m）﹣5（m﹣12）]（﹣4a﹣1）=﹣8a﹣2，

∵a≠0，

∴（16+m）﹣5（m﹣12）=2，

解得m= ．

故答案为 ．

点评： 解题关键是两次用到了整体代入的思想，它在解题中起到了降幂，从而化难为易的作用．

三、解答题（本题满分60分，21至26题，每小题8分，27题12分）

21．计算：

（1）（π﹣3.14）0+（﹣1）2023﹣（﹣ ）﹣2

（2）（ ﹣ ）?（x﹣y）2．

考点： 分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．

专题： 计算题．

分析： （1）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；

（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．

解答： 解：（1）原式=1﹣1﹣4=﹣4；

（2）原式= ?（x﹣y）2= ?（x﹣y）2=x﹣y．

点评： 此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

22．解方程：

（1） ﹣ =0

（2） = ．

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．

解答： 解：（1）去分母得：2x﹣4﹣3x+9=0，

解得：x=5，

经检验x=5是分式方程的解；

（2）去分母得：3x+6=5x，

解得：x=3，

经检验x=3是分式方程的解．

点评： 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

23．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E．

求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．

考点： 角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质．

专题： 证明题．

分析： 由于DE⊥AB，易得∠AED=90°=∠ACB，而AD平分∠BAC，易知∠DAE=∠DAC，又因为AD=AD，利用AAS可证△AED≌△ACD，那么AE=AC，而AD平分∠BAC，利用等腰三角形三线合一定理可知AD⊥CE，即得证．

解答： 证明：∵DE⊥AB，

∴∠AED=90°=∠ACB，

又∵AD平分∠BAC，

∴∠DAE=∠DAC，

∵AD=AD，

∴△AED≌△ACD，

∴AE=AC，

∵AD平分∠BAC，

∴AD⊥CE，

即直线AD是线段CE的垂直平分线．

点评： 本题考查了线段垂直平分的定义、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理，解题的关键是证明AE=AC．

24．已知x+y=4，xy=2，求 + 的值．

考点： 分式的化简求值．

分析： 根据x+y=4，xy=2，得出x2+y2=（x+y）2﹣2xy=12，再把要求的式子进行通分，然后代值计算即可．

解答： 解：∵x+y=4，xy=2，

∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=42﹣4=12，

∴ + = + = = = ．

点评： 此题考查了分式的化简求值，用到的知识点是完全平方和平方差公式，关键是根据给出的条件求出x2+y2的值．

25．某人骑自行车比步行每小时快8千米，坐汽车比骑自行车每小时快16千米，此人从A地出发，先步行4千米，然后乘坐汽车10千米就到B地，他又骑自行车从B 地返回A地，往返所用的时间相等，求此人步行的速度．

考点： 分式方程的应用．

分析： 设步行的速度是x千米/小时，骑自行车的速度是（x+8）千米/小时，汽车的速度是（x+8+16）千米/小时，根据往返所用的时间相等，可列方程求解．

解答： 解：设步行的速度是x千米/小时，

+ = ，

x=6，

经检验x=6符合题意，

答：此人步行的速度6千米/小时．

点评： 本题考查理解题意的能力，关键是以往返所用的时间相等做为等量关系列方程求解．

26．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E．

求证：△ABC≌△MED．

考点： 全等三角形的判定．

专题： 证明题．

分析： 根据平行线的性质可得出∠B=∠MED，结合全等三角形的判定定理可判断△ABC≌△MED．

解答： 证明：∵MD⊥AB，

∴∠MDE=∠C=90°，

∵ME∥BC，

∴∠B=∠MED，

在△ABC与△MED中， ，

∴△ABC≌△MED（AAS）．

点评： 此题考查了全等三角形的判定，要求掌握三角形全等的判定定理，难度一般．

27．（12分）（2023秋?洪江市期中）阅读下列材料：

x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ；

x﹣ =c﹣ （即x+ =c+ ）的解是x1=c，x2=﹣ ；

x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ；

x+ =c+ 的解是x1=c，x2= ；

…

（1）请观察上述方程与解的特征，猜想方程x+ =c+ （m≠0）的解，并验证你的结论；

（2）利用这个结论解关于x的方程：x+ ．

考点： 解分式方程．

专题： 阅读型．

分析： 本题考查观察、比较，猜想、逻辑分析能力，观察所给式子，可看出：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成某个常数，那么这样的方程可直接解得．利用这个结论，可解题．

解答： 解：（1）有两种可能：x=c或 ．故x1=c，x2= ，

把x1=c，x2= 代入方程，方程右边的形式与左边完全相同．

（2）有两种可能：x﹣1=a或 ．故x1=a，x2= ．

点评： 本题要打破常规思维，能够大胆猜想，学会变形整理再去验证．