重庆市2023八年级数学下册期中重点试卷(含答案解析)

重庆市2023八年级数学下册期中重点试卷(含答案解析)

一．细心选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中．

1．在分式中，x的取值范围是（）

A． x≠1 B． x≠0 C． x＞1 D． x＜1

2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

3．已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则α+β的值是（）

A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3

4．如图，反比例函数y=的图象过点A，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C．若矩形ABOC的面积为2，则k的值为（）

A． 4 B． 2 C． 1 D．

5．如图所示，?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为（）

A． 3cm B． 6cm C． 9cm D． 12cm

6．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）

A． （x+3）2=14 B． （x﹣3）2=14 C． D． （x+3）2=4

7．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（）

A． 五边形 B． 六边形 C． 七边形 D． 八边形

8．分式方程的解是（）

A． x=﹣5 B． x=5 C． x=﹣3 D． x=3

9．如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为（）

A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°

10．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）

A． k＜1且k≠0 B． k≠0 C． k＜1 D． k＞1

11．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有9个，第（2）个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律．则第（10）个图形中面积为1的正方形的个数为（）

A． 72 B． 64 C． 54 D． 50

12．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）

A． 10 B． 5 C． D．

二、耐心填一填（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案填入下面的表格中．

13．分解因式：2m2﹣2=．

14．若分式的值为零，则x=．

15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，则对角线AC的长度为．

16．已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根，则m的值是．

17．由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在分钟内，师生不能呆在教室．

18．如图，在正方形ABCD中，AB=2，将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°（0＜α＜45），得到∠B′AD′，其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E，射线AD′与对角线BD交于点F，连接CF，并延长交AD于点M，当满足S四边形AEBF=S△CDM时，线段BE的长度为．

三．解答题（本大题共4个小题，19题10分，20题8分，21题8分，22题8分，共34分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

19．解方程：

（1）x2﹣6x﹣2=0

（2）=+1．

20．如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

21．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？

22．童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，

（1）降价前，童装店每天的利润是多少元？

（2）如果童装店每要每天销售这种童装盈利2023元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？

四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

23．先化简，再求值：（﹣）÷（﹣1），其中a是方程a2﹣4a+2=0的解．

24．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．

例如：点P1（1，2），点P1（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．

（1）已知点A（﹣），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

（2）如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．

五．解答题（本大题共2个小题，25题12分，26题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；

（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；

（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

26．如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=（x＞0）图象的交点，且点A的横坐标为1．

（1）求k的值；

（2）如图1，双曲线y=（x＞0）上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标；

（3）如图2所示，若已知反比例函数y=（x＞0）图象上一点B（3，1），点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数y=（x＞0）图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

重庆市2023八年级数学下册期中重点试卷(含答案解析)参考答案与试题解析

一．细心选一选：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填在表格中．

1．在分式中，x的取值范围是（）

A． x≠1 B． x≠0 C． x＞1 D． x＜1

考点： 分式有意义的条件．

分析： 根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．

解答： 解：由题意得，x﹣1≠0，

解得x≠1．

故选A．

点评： 本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义?分母为零；

（2）分式有意义?分母不为零；

（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．

2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A． B． C． D．

考点： 轴对称图形．

分析： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．

解答： 解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；

B、是轴对称图形，故本选项正确；

C、不是轴对称图形，故本选项错误；

D、不是轴对称图形，故本选项错误．

故选；B．

点评： 本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．已知α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，则α+β的值是（）

A． 2 B． ﹣2 C． 3 D． ﹣3

考点： 根与系数的关系．

分析： 根据根与系数的关系得到α+β=﹣=2，即可得出答案．

解答： 解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根，

∴α+β=﹣=2；

故选A．

点评： 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．

4．如图，反比例函数y=的图象过点A，过点A分别向x轴和y轴作垂线，垂足为B和C．若矩形ABOC的面积为2，则k的值为（）

A． 4 B． 2 C． 1 D．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．

分析： 设点A的坐标为（x，y），用x、y表示OB、AB的长，根据矩形ABOC的面积为2，列出算式求出k的值．

解答： 解：设点A的坐标为（x，y），

则OB=x，AB=y，

∵矩形ABOC的面积为2，

∴k=xy=2，

故选：B．

点评： 本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．

5．如图所示，?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是CD中点，连接OE，若OE=3cm，则AD的长为（）

A． 3cm B． 6cm C． 9cm D． 12cm

考点： 三角形中位线定理；平行四边形的性质．

分析： 由平行四边形的性质，易证OE是中位线，根据中位线定理求解．

解答： 解：根据平行四边形基本性质：平行四边形的对角线互相平分．可知点O是BD中点，所以OE是△BCD的中位线．

根据中位线定理可知AD=2OE=2×3=6（cm）．

故选B．

点评： 主要考查了平行四边形的基本性质和中位线性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：①平行四边形两组对边分别平行；②平行四边形的两组对边分别相等；③平行四边形的两组对角分别相等；④平行四边形的对角线互相平分．

6．方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）

A． （x+3）2=14 B． （x﹣3）2=14 C． D． （x+3）2=4

考点： 解一元二次方程-配方法．

专题： 配方法．

分析： 配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

解答： 解：由原方程移项，得

x2+6x=5，

等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即32，得

x2+6x+9=5+9，

∴（x+3）2=14．

故选A．

点评： 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

7．一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是（）

A． 五边形 B． 六边形 C． 七边形 D． 八边形

考点： 多边形内角与外角．

分析： 利用多边形的内角和=180（n﹣2）可得．

解答： 解：108=180（n﹣2）÷n

解得n=5．

故选A．

点评： 本题主要考查了多边形的内角和定理．

8．分式方程的解是（）

A． x=﹣5 B． x=5 C． x=﹣3 D． x=3

考点： 解分式方程．

专题： 计算题．

分析： 观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．

解答： 解：方程两边同乘以（x+1）（x﹣1），

得3（x+1）=2（x﹣1），

解得x=﹣5．

经检验：x=﹣5是原方程的解．

故选A．

点评： （1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．

（2）解分式方程一定注意要验根．

9．如图，菱形ABCD中，已知∠D=110°，则∠BAC的度数为（）

A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°

考点： 菱形的性质．

专题： 计算题．

分析： 先根据菱形的对边平行和直线平行的性质得到∠BAD=70°，然后根据菱形的每一条对角线平分一组对角求解．

解答： 解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AD∥AB，

∴∠BAD=180°﹣∠D=180°﹣110°=70°，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠BAD=35°．

故选B．

点评： 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．

10．若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围（）

A． k＜1且k≠0 B． k≠0 C． k＜1 D． k＞1

考点： 根的判别式；一元二次方程的定义．

专题： 计算题．

分析： 根据根的判别式和一元二次方程的定义，令△＞0且二次项系数不为0即可．

解答： 解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9=0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

即（﹣6）2﹣4×9k＞0，

解得，k＜1，

∵为一元二次方程，

∴k≠0，

∴k＜1且k≠0．

故选A．

点评： 本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，要知道：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；

（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．

11．下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第（1）个图形中面积为1的正方形有9个，第（2）个图形中面积为1的正方形有14个，…，按此规律．则第（10）个图形中面积为1的正方形的个数为（）

A． 72 B． 64 C． 54 D． 50

考点： 规律型：图形的变化类．

分析： 由第1个图形有9个边长为1的小正方形，第2个图形有9+5=14个边长为1的小正方形，第3个图形有9+5×2=19个边长为1的小正方形，…由此得出第n个图形有9+5×（n﹣1）=5n+4个边长为1的小正方形，由此求得答案即可．

解答： 解：第1个图形边长为1的小正方形有9个，

第2个图形边长为1的小正方形有9+5=14个，

第3个图形边长为1的小正方形有9+5×2=19个，

…

第n个图形边长为1的小正方形有9+5×（n﹣1）=5n+4个，

所以第10个图形中边长为1的小正方形的个数为5×10+4=54个．

故选：C．

点评： 此题考查图形的变化规律，找出图形与数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

12．已知四边形OABC是矩形，边OA在x轴上，边OC在y轴上，双曲线与边BC交于点D、与对角线OB交于点中点E，若△OBD的面积为10，则k的值是（）

A． 10 B． 5 C． D．

考点： 反比例函数系数k的几何意义．

分析： 设双曲线的解析式为：y=，E点的坐标是（x，y），根据E是OB的中点，得到B点的坐标，求出点E的坐标，根据三角形的面积公式求出k．

解答： 解：设双曲线的解析式为：y=，E点的坐标是（x，y），

∵E是OB的中点，

∴B点的坐标是（2x，2y），

则D点的坐标是（，2y），

∵△OBD的面积为10，

∴×（2x﹣）×2y=10，

解得，k=，

故选：D．

点评： 本题考查反比例系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．

二、耐心填一填（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的正确答案填入下面的表格中．

13．分解因式：2m2﹣2=2（m+1）（m﹣1）．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

专题： 压轴题．

分析： 先提取公因式2，再对剩余的多项式利用平方差公式继续分解因式．

解答： 解：2m2﹣2，

=2（m2﹣1），

=2（m+1）（m﹣1）．

故答案为：2（m+1）（m﹣1）．

点评： 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．

14．若分式的值为零，则x=﹣3．

考点： 分式的值为零的条件．

专题： 计算题．

分析： 分式的值为零，分子等于0，分母不为0．

解答： 解：根据题意，得

|x|﹣3=0且x﹣3≠0，

解得，x=﹣3．

故答案是：﹣3．

点评： 本题考查了分式的值为0的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．

15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=4，∠AOD=120°，则对角线AC的长度为8．

考点： 矩形的性质；含30度角的直角三角形．

分析： 由矩形的性质得出OA=OB，再证明△AOB是等边三角形，得出OA=OB=AB=4，得出AC=2OA即可．

解答： 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，

∴OA=OB，

∵∠AOD=120°，

∴∠AOB=60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA=OB=AB=4，

∴AC=2OA=8；

故答案为：8．

点评： 本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．

16．已知x=2是方程x2+mx+2=0的一个根，则m的值是﹣3．

考点： 一元二次方程的解．

分析： 将x=2代入方程即可得到一个关于m的方程，解方程即可求出m值．

解答： 解：把x=2代入方程可得：4+2m+2=0，

解得m=﹣3．

故答案为﹣3．

点评： 本题主要考查了方程的解的定义，把求未知系数的问题转化为方程求解的问题．

17．由于天气炎热，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“薰药消毒”．已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在75分钟内，师生不能呆在教室．

考点： 反比例函数的应用．

分析： 首先根据题意，药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；进一步求解可得答案．

解答： 解：设反比例函数解析式为y=（k≠0），

将（25，6）代入解析式得，k=25×6=150，

则函数解析式为y=（x≥15），

当y=2时，=2，

解得x=75．

答：从消毒开始，师生至少在75分钟内不能进入教室．

点评： 本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

18．如图，在正方形ABCD中，AB=2，将∠BAD绕着点A顺时针旋转α°（0＜α＜45），得到∠B′AD′，其中过点B作与对角线BD垂直的直线交射线AB′于点E，射线AD′与对角线BD交于点F，连接CF，并延长交AD于点M，当满足S四边形AEBF=S△CDM时，线段BE的长度为2﹣2．

考点： 旋转的性质；正方形的性质．

分析： 先根据旋转的性质得∠EAB=∠FAD=α，再根据正方形的性质得AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，则利用BE⊥BD得∠EBA=∠FDA=45°，于是可根据“ASA”判定△ABE≌△ADF，得到S△ABE=S△ADF，所以S四边形AEBF=S△ABD=4，则S△CDM=2，利用三角形面积公式可计算出DM=2，延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，接着根据勾股定理计算出CM=2，再通过证明△BCM≌△DCM得到CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，然后证∠M′NC=∠M′CN得到M′N=M′C=2，则BN=M′C﹣BM′=2﹣2．

解答： 解：∵∠BAD绕着点A顺时针旋转α°（0＜α＜45°），得到∠B′AD′，

∴∠EAB=∠FAD=α，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∵BE⊥BD，

∴∠EBD=90°，

∴∠EBA=45°，

∴∠EBA=∠FDA，

在△ABE和△ADF中，

，

∴△ABE≌△ADF（ASA），

∴S△ABE=S△ADF，

∴S四边形AEBF=S△ABE+S△ABF=S△ADF+S△ABF=S△ABD=×2×2=4，

∵S四边形AEBF=S△CDM，

∴S△CDM==2，

∴DM?2=2，解得DM=2，

延长AB到M′使BM′=DM=2，如图，

在Rt△CDM中，CM==2，

在△BCM′和△DCM中

，

∴△BCM≌△DCM（SAS），

∴CM′=CM=2，∠BCM′=∠DCM，

∵AB∥CD，

∴∠M′NC=∠DCN=∠DCM+∠NCM=∠BCM′+∠NCM，

而NC平分∠BCM，

∴∠NCM=∠BCN，

∴∠M′NC=∠BCM′+∠BCN=∠M′CN，

∴M′N=M′C=2，

∴BN=M′C﹣BM′=2﹣2．

故答案为：2﹣2．

点评： 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质．

三．解答题（本大题共4个小题，19题10分，20题8分，21题8分，22题8分，共34分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

19．解方程：

（1）x2﹣6x﹣2=0

（2）=+1．

考点： 解一元二次方程-配方法；解分式方程．

分析： （1）移项，配方，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，再进行检验即可．

解答： 解：（1）x2﹣6x﹣2=0，

x2﹣6x=2，

x2﹣6x+9=2+9，

（x﹣3）2=11，

x﹣3=，

x1=3+，x2=3﹣；

（2）方程两边都乘以x﹣2得：1﹣x=﹣1+x﹣2，

解这个方程得：x=2，

检验：当x=2时，x﹣2=0，

所以x=2不是原方程的解，

所以原方程无解．

点评： 本题考查了解一元二次方程，解分式方程的应用，解（1）小题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程．

20．如图，在?ABCD中，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F，连接BD．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）若AB=DB，求证：四边形DFBE是矩形．

考点： 矩形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．

专题： 证明题．

分析： （1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；

（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．

解答： 证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB．

∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，

∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．

∴∠ABE=∠CDF．

∵在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）∵△ABE≌△CDF，

∴AE=CF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴DE∥BF，DE=BF，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∵AB=DB，BE平分∠ABD，

∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．

∴平行四边形DFBE是矩形．

点评： 本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．

21．如图，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求点B的坐标，并根据图象回答：当x在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值？

考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．

专题： 数形结合；待定系数法．

分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据二元一次方程组，可得函数图象的交点，根据一次函数图象位于反比例函数图象的下方，可得答案．

解答： 解：（1）一次函数y=kx+b（k≠0）的图象过点P（﹣，0）和A（﹣2，1），

∴，解得，

∴一次函数的解析式为y=﹣2x﹣3，

反比例函数y=（m≠0）的图象过点A（﹣2，1），

∴，解得m=﹣2，

∴反比例函数的解析式为y=﹣；

（2），

解得，或，

∴B（，﹣4）

由图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．

点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法是求函数解析式的关键．

22．童装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某童装平均每天可售出20件．为了迎接“六一”，童装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件，

（1）降价前，童装店每天的利润是多少元？

（2）如果童装店每要每天销售这种童装盈利2023元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件童装应降价多少元？

考点： 一元二次方程的应用．

专题： 销售问题．

分析： （1）用降价前每件利润×销售量列式计算即可；

（2）设每件童装降价x元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种童装利润列出方程解答即可．

解答： 解：（1）童装店降价前每天销售该童装可盈利：

（100﹣60）×20=800（元）；

（2）设每件童装降价x元，根据题意，得

（100﹣60﹣x）（20+2x）=2023，

解得：x1=10，x2=20．

∵要使顾客得到更多的实惠，

∴取x=20．

答：童装店应该降价20元．

点评： 此题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．

四、解答题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

23．先化简，再求值：（﹣）÷（﹣1），其中a是方程a2﹣4a+2=0的解．

考点： 分式的化简求值；一元二次方程的解．

专题： 计算题．

分析： 原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值．

解答： 解：原式=[﹣]÷=?=，

由a2﹣4a+2=0，得a2﹣4a=﹣2，

则原式=．

点评： 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

24．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”，给出如下定义：

若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；

若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．

例如：点P1（1，2），点P1（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．

（1）已知点A（﹣），B为y轴上的一个动点，①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；

（2）如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是（0，1），求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．

考点： 一次函数综合题．

分析： （1）①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|=2，据此可以求得y的值；

②设点B的坐标为（0，y），根据|﹣﹣0|≥|0﹣y|，得出点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|，即可得出答案；

（2）设点C的坐标为（x0，x0+3）．根据材料“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”知，C、D两点的“非常距离”的最小值为﹣x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标；

解答： 解：（1）①∵B为y轴上的一个动点，

∴设点B的坐标为（0，y）．

∵|﹣﹣0|=≠2，

∴|0﹣y|=2，

解得，y=2或y=﹣2；

∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；

②设点B的坐标为（0，y）．

∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，

∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|=；

（2）如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，

则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答，此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|．

即AC=AD，

∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是（0，1），

∴设点C的坐标为（x0，x0+3），

∴﹣x0=x0+2，

此时，x0=﹣，

∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，

此时C（﹣，）．

点评： 本题考查了一次函数综合题．对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件．本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键．

五．解答题（本大题共2个小题，25题12分，26题12分，共24分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤．

25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF=AE，连接BE、EF．

（1）如图1，当E是线段AC的中点，且AB=2时，求△ABC的面积；

（2）如图2，当点E不是线段AC的中点时，求证：BE=EF；

（3）如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点时，（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）根据菱形的性质证明△ABC是等边三角形和AB=2，求出△ABC的面积；

（2）作EG∥BC交AB于G，证明△BGE≌△ECF，得到BE=EF；

（3）作EH∥BC交AB的延长线于H，证明△BHE≌△ECF，得到BE=EF．

解答： 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，又E是线段AC的中点，

∴BE⊥AC，AE=AB=1，

∴BE=，

∴△ABC的面积=×AC×BE=；

（2）如图2，作EG∥BC交AB于G，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AGE是等边三角形，

∴BG=CE，

∵EG∥BC，∠ABC=60°，

∴∠BGE=120°，

∵∠ACB=60°，

∴∠ECF=120°，

∴∠BGE=∠ECF，

在△BGE和△ECF中，

，

∴△BGE≌△ECF，

∴EB=EF；

（3）成立，

如图3，作EH∥BC交AB的延长线于H，

∵△ABC是等边三角形，

∴△AHE是等边三角形，

∴BH=CE，

在△BHE和△ECF中，

，

∴△BHE≌△ECF，

∴EB=EF．

点评： 本题考查的是菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、灵活运用相关的判定定理和性质定理是解题的关键．

26．如图，已知点A是直线y=2x+1与反比例函数y=（x＞0）图象的交点，且点A的横坐标为1．

（1）求k的值；

（2）如图1，双曲线y=（x＞0）上一点M，若S△AOM=4，求点M的坐标；

（3）如图2所示，若已知反比例函数y=（x＞0）图象上一点B（3，1），点P是直线y=x上一动点，点Q是反比例函数y=（x＞0）图象上另一点，是否存在以P、A、B、Q为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 反比例函数综合题．

分析： （1）点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，代入y=2×1+1=3，求得点A即可得到结果；

（2）如图1，设点M（m，），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，根据题意得：S△AOM=S梯形AEFM=（3+）（m﹣1）=4，解方程即可得到结果；

（3）首先求得反比例函数的解析式，然后设P（m，m），分若PQ为平行四边形的边和若PQ为平行四边形的对角线两种情况分类讨论即可确定点Q的坐标．

解答： 解：（1）∵点A是直线y=2x+1的点，点A的横坐标为1，

∴y=2×1+1=3，

∴A（1，3），

∵点A是反比例函数y=（x＞0）图象上的点，

∴k=3；

（2）如图1，设点M（m，），过A作AE⊥x轴于E，过M作MF⊥x轴于F，

根据题意得：S△AOM=S梯形AEFM=（3+）（m﹣1）=4，

解得：m=3（负值舍去），

∴M（3，1）；

（3）∵反比例函数y=（x＞0）图象经过点A（1，3），

∴k=1×3=3，

∴反比例函数的解析式为y=，

∵点P在直线y=x上，

∴设P（m，m）

，若PQ为平行四边形的边，

∵点A的横坐标比点B的横坐标小2，点A的纵坐标比点B的纵坐标大2，

∴点Q在点P的下方，则点Q的坐标为（m+2，m﹣2）如图2，

若点Q在点P的上方，则点Q的坐标为（m﹣2，m+2）如图3，

把Q（m+2，m﹣2）代入反比例函数的解析式得：m=±，

∵m＞0，

∴m=，

∴Q1（+2，﹣2），

同理可得另一点Q2（﹣2，+2）；

②若PQ为平行四边形的对角线，如图4，

∵A、B关于y=x对称，

∴OP⊥AB

此时点Q在直线y=x上，且为直线y=x与双曲线y=的交点，

由

解得，（舍去）

∴Q3（，）

综上所述，满足条件的点Q有三个，坐标分别为：Q1（+2，﹣2），Q2（﹣2，+2），Q3（，）．

点评： 本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求函数的解析式，平行四边形的判定和性质，准确的画出图形是解题的关键．