【活动2】尝试探究，解决问题 问题1 如图，要在燃气管道L上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 为什么这样做就能得到最短距离呢？ 问题2 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 看图：从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马 问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 做法： 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C．则点C 即为所求． 证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴ AC +BC = AC +B′C = AB′， AC′+BC′ = AC′+B′C′． 思考：证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 答：若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． 问题 3（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直。） 作法：1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E， 2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置，MN为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE, 所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN, 即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短。 | 教师出示问题1，学生先阅读明确题意。 思考：怎样把这个实际问题抽象为数学问题？ 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。 （连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。） 道理：两点之间，线段最短。 总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求． 教师出示问题2，学生先阅读明确题意。 追问1，这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 追问2 你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？ （将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线． ） （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）． 追问3 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB的和最小？ （1）对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持CB 与CB′的长度相等？ （2）你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B′吗？ 分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点，与直线l的交点M即为所求的点． 点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题.（师讲解做法见左栏） 追问4 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？（学生先思考，教师视情况点拨提示，讲解证法） 总结：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求． 运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同． 警误区 利用轴对称解决最值问题应注意题目要求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问． 教师出示问题3，学生先阅读明确题意。 同上引导学生将实际问题抽象为数学问题，然后引导分析思路，找出方法。 思路导引：从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示，而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程，连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥． 总结：选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决． 解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题． 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题． | 了解在生活中的应用，让学生感受到数学与生活实际的联系，了解数学的价值。 让学生体会在数学活动中探究问题的层次性，感受从简单到复杂、特殊到一般、实物到几何图形探究的转化思想。 引导学生培养学生探究得意识。 在探究过程中形成解决问题的一些基本策略。 |
【活动3】变式开放，灵活运用 1.如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然后将游客送往河岸BC 上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径． 2.如图，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到AB边反弹后再撞到黑球? 3.如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为多少？ | 学生自主探究，教师指导。 学生回答探究结果 基本思路： 由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q 在直线BC 的同侧，如何在BC上找到一点R，使PR与QR 的和最小”． | 让学生积极参与数学学习活动，满足学生对数学好奇心和求知欲。 培养学生的自主探究、动手实践是学生学习数学的重要方式。 |
