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教学目标： 1、能在观察活动中，发现点阵中隐含的规律，体会到图形与数的联系。 2、培养学生观察、想象、猜测、归纳、概括等能力。 3、增强学生的审美观念，培养学生的审美能力。 教学重点： 探索点阵中的规律。 教学难点： 根据点阵发现数之间的规律。 （1）边长为n的正方形点阵中点的总个数为n2 . （2）前n个连续奇数之和是n2 . （3）1+2+3++n++3+2+1= n2 教学过程 一、创设情境，引入课题 （课前看短片） 师：说一说，你看到什么了？有什么感受？ 生：队列，方队，特别齐 师：齐说明排列有规律。如果把每个人看作一个点，那么他们形成的就是一个点阵。在这些点阵中蕴 涵着一些非常有趣的数学知识，并有一些奇特的规律，今天我们就来研究点阵中的规律。 （板书课题：点阵中的规律） 二、操作探究，发现规律 师：先看看这里的几个点阵，想一想：如果接着摆下去应该是什么样子？ 这么快就发现规律了？ 聪明的同学往往善于用实际行动来验证自己的想法，你们那？（老师在黑板上摆磁扣） 学生黑板汇报摆法，请一名同学到黑板上把后面的点阵摆出来，边说边摆。 生1：我是先摆一行，再摆一列，然后再摆里面。 师：方法不错，你是一层一层的摆， 生2：我不是，我就是先摆第一行，再摆第二行，这样一直摆下去。 生3：我是按列摆的 师：你们都很善于思考，点阵看起来虽然简单，可摆起来的方法却各不相同。他们之间到底有什么规律那？ 拿出准备的材料， （1）学生活动 师：能结合刚才摆的过程想一想，可以怎样得出每个点阵中点的个数？可以用算式表示出来看谁发现的多？（强调在研究的过程中别让棋子发出声音） 活动要求 1、想一想可以怎样得出每个点阵中点的个数？也可以用算式表示出来。 2、通过这个活动我们还发现什么？看看哪组发现的多。 独立思考 师：把刚才的发现小组内交流，看哪个组发现的多？ （2）汇报交流 师：谁愿意把你们的发现和大家来分享一下？ （A）生：我们是一行一行观察的，得到 每个点阵中点的个数就是用每行的个数乘行数，因为点阵是正方形，也就等于边的平方。 师：像1，4，9，16，25这样可以写成某一个数的平方的数称为平方数，也因为这些数可以用正方形点阵表示出来，所以这些数也叫正方形数。 师：平方数还有谁？能写几个吗？对于平方数还发现什么规律了？ 生：几行几列的点阵的个数就是几乘几，也就是n行n列的点阵中点的个数是n2 。 （B） 生：我们发现的规律是：第一个是1，下一个加3，然后在加5，也就是每次加半圈， 师：你能写出来吗？ 生：1=1 4 =1+3 9= 1+3+5 16=1+3+5+7 25=1+3+5+7+9，只要把连续的奇数相加就可以了 师：把观察的顺序用线表示出来，非常的一目了然。你的想法非常有创意，你也非常富有想象力。 师：其他人有问题吗？ 生：点阵少可以加，如果是100个连续的奇数相加和是多少？ 师：你能解答吗？ 生：应该是 师：需要我提示吗？想象：如果是100个连续的奇数相加，应该是一个什么样的点阵？ 生：边长应该是100个点的正方形点阵，点的个数就是100乘100。 生：我发现点阵的边是几，就有几个连续的奇数相加，也就是几的平方。 师：了不起，这么重要的规律，你们发现了吗？ 生：从1开始有n个连续奇数的和是n2 （C） 生：如果斜着观察：以55的点阵为例有：1+2+3+4+5+4+3+2+1=55 1=1 4=1+2+1 9=1+2+3+2+1 16=1+2+3+4+3+2+1 生：正方形数还可以排列成从1开始连续加到n再递减加到1的连加算式；和等于n2，在连加算式中 出现的最大的一个数，它的平方就是这个正方形数。 师：小结：同学们真了不起，从不同的角度观察出了正方形点阵不同的排列，从而找到了所对应的正方形数的组成。 观察这几种表示正方形数方法之间有什么联系？ 生：连续奇数的个数的平方就是正方形数。 生：对称数列的中心数的平方就是正方形数。 师：根据这些规律，你能再写出几个平方数吗？ 生：因为1+3+5+7+9+11+13=72 =49 所以49是平方数。 生：因为1+2+3++9+10+9++2+1=102 =100 所以49是平方数。 三、联系实际，应用规律 师：你们真了不起，不但认识了正方形数，还学会了一些特殊数列的求和方法，现在可以直接说出他 们的结果吗？ 1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1= 1+2+3++n++3+2+1= 1+3+5+7++19= 四：体验文化，课后拓展 师：经过大家一起努力，我们找到了正方形点阵的规律，你们太棒了！这种用图形来研究数的思考方 法在我们的学习中是经常使用的一种方法，但是最早用这种方法研究问题的人，你们知道是谁吗？ 知识介绍：早在2023多年前，以毕答哥拉斯为代表的古希腊的数学家们就特别喜欢按小石子所排列的几何图形来给数分类，去寻找数的特点和规律，并能得到许多重要的计算公式。 师：看完这段介绍，你们难道不想说些什么吗？有什么感想？同学们，你们有没有兴趣继续探索其他 的几何图形的数的规律呢？利用手中的材料研究你喜欢的几何图形数，并找到其中的规律。 自由讨论研究 生：我们研究的是三角形数，发现每次增加的是递增的。 生：我们研究的是五边形数，但规律还没有发现。 师：同学们的积极性很高，可马上就要下课了，可以利用课后的时间继续研究，并根据自己的研究写一篇 数学日记。 板书设计： 点阵中的规律 | 
