高中数学复习：平面向量及其应用

简介：

平面向量及其应用

1. 掌握平面向量的加减运算、平面向量的坐标表示、平面向量数量积等基本概念、运算及其简单应用.复习时应强化向量的数量积运算，向量的平行、垂直及求有关向量的夹角问题要引起足够重视.

2. 在复习中要注意数学思想方法的渗透，如数形结合思想、转化与化归思想等.会用向量解决某些简单的几何问题.

1. 在ABCD中，=a，=b，=3，M为BC的中点，则=________.(用a、b表示)

2.设a与b是两个不共线向量，且向量a+λb与-(b-2a)共线，则λ=________.

3.若向量a，b满足|a|=1，|b|=2且a与b的夹角为，则|a-b|=________.

4.已知向量P=+，其中a、b均为非零向量，则|P|的取值范围是________.

【例1】已知向量a=，b=(2，cos2x).

(1) 若x∈，试判断a与b能否平行?

(2) 若x∈，求函数f(x)=a·b的最小值.

【例2】设向量a=(4cosα，sinα)，b=(sinβ，4cosβ)，c=(cosβ，-4sinβ).

(1) 若a与b-2c垂直，求tan(α+β)的值;

(2) 求|b+c|的最大值;

(3) 若tanαtanβ=16，求证：a∥b.

【例3】在△ABC中，已知2·=||·||=3BC2，求角A，B，C的大小.

【例4】已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m=(a，b)，n=(sinB，sinA)，p=(b-2，a-2) .

(1) 若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形;

(2) 若m⊥p，边长c=2，角C=，求△ABC的面积 .

1. (2023·安徽)在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若=(2,4)，=(1,3)，则=________.

2.(2023·上海)在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则·=________.

3.(2023·江苏)已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a=e1-2e2，b=ke1+e2，若a·b=0，则实数k的值为________.

4.(2023·浙江)若平面向量α，β满足|α|=1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是________.

5.(2023·江苏)在平面直角坐标系xOy中，点A(-1，-2)、B(2,3)、C(-2，-1).

(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;

(2) 设实数t满足(-t)·=0，求t的值.

6.(2023·陕西)叙述并证明余弦定理.

(2023·江苏泰州一模)(本小题满分14分)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.

(1) 设向量x=(sinB，sinC)，向量y=(cosB，cosC)，向量z=(cosB，-cosC)，若z∥(x+y)，求tanB+tanC的值;

(2) 已知a2-c2=8b，且sinAcosC+3cosAsinC=0，求b.

解：(1) 由题意：x+y=(sinB+cosB，sinC+cosC)，(1分)

∵ z∥(x+y)，

∴ cosB(sinC+cosC)=-cosC(sinB+cosB)，

∴ cosBsinC+cosCsinB=-2cosBcosC，(3分)

∴ =-2，

即：tanB+tanC=-2.(6分)

(2) ∵ sinAcosC+3cosAsinC=0，

∴ sinAcosC+cosAsinC=-2cosAsinC，(8分)

∴ sin(A+C)=-2cosAsinC，

即：sinB=-2cosAsinC.(10分)

∴ b=-2c·，(12分)

∴ -b2=b2+c2-a2，

即：a2-c2=2b2，又a2-c2=8b，

∴ 2b2=8b，

∴ b=0(舍去)或4.(14分)

向量及其应用

1. 已知△ABC外接圆的圆心为O，BC>CA>AB，则·，·，·的大小关系为________.

【答案】·>·>·解析： 0<∠AOB<∠AOC<∠BOC<π，y=cosx在(0，π)上单调减，∴ cos∠AOB>cos∠AOC>cos∠BOC,

∴ ·>·>·.

2. 在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且1+=.

(1) 求角A;

(2) 若m=(0，-1)，n=，试求|m+n|的最小值.

解： (1) 1+=1+=，

即=，

∴ =，∴ cosA=.

∵ 0

(2) m+n=(cosB,2cos2-1)=(cosB，cosC)，

∴ |m+n|2=cos2B+cos2C=cos2B+cos2=1-sin.

∵ A=，∴ B+C=，∴ B∈.

从而-<2B-<.

∴ 当sin=1，即B=时，|m+n|2取得最小值.

所以，|m+n|min=.

基础训练

1. -a+b解析：=(a+b)-(a+b)=-a+b.

2. -0.5解析：a+λb=m[-(b-2a)]，则λ=-.

3. 解析： |a-b|===.

4. [0,2]解析：设a与b的夹角为θ，则|P|==(θ∈[0，π]).

例题选讲

例1解：(1) 若a与b平行，则有·cos2x=·2，因为x∈，sinx≠0，所以得cos2x=-2，这与|cos2x|≤1相矛盾，故a与b不能平行.

(2) 由于f(x)=a·b=+===2sinx+，又因为x∈，所以sinx∈， 于是2sinx+≥2=2，当2sinx=，即sinx=，x=时取等号，故函数f(x)的最小值等于2.

变式训练已知向量m=(sinA，cosA)，n=(1，-2)，且m·n=0.

(1) 求tanA的值;

(2) 求函数f(x)=cos2x+tanAsinx(x∈R)的值域.

点拨： 平面向量与三角结合是高考中的一个热点，本题主要考查平面向量数量积的坐标运算.

解： (1) m·n=sinA-2cosA=0tanA=2.

(2) f(x)=cos2x+2sinx=-22+，

∵ x∈R, ∴ sinx∈[-1,1]，

当sinx=时，f(x)取最大值;当sinx=-1时，f(x)取最小值-3.所以函数f(x)的值域为.

例2(1)解：b-2c=(sinβ-2cosβ，4cosβ+8sinβ)，a与b-2c垂直，

∴ 4cosα(sinβ-2cosβ)+sinα(4cosβ+8sinβ)=0，sin(α+β)=2cos(α+β)，即tan(α+β)=2.

(2) 解：b+c=(sinβ+cosβ，4cosβ-4sinβ)，

|b+c|==≤=4，

|b+c|的最大值为4.

(3) 证明：由tanαtanβ=16得sinαsinβ=16cosαcosβ，

即4cosα4cosβ-sinαsinβ=0，所以a∥b.

变式训练已知向量a=(sinθ，cosθ-2sinθ)，b=(1,2).

(1) 若a∥b，求tanθ的值;

(2) 若|a|=|b|,0<θ<π，求θ的值.

解： (1) 因为a∥b，所以2sinθ=cosθ-2sinθ，

于是4sinθ=cosθ，故tanθ=.

(2) 由|a|=|b|知，sin2θ+(cosθ-2sinθ)2=5，

所以1-2sin2θ+4sin2θ=5.

从而-2sin2θ+2(1-cos2θ)=4，即sin2θ+cos2θ=-1，

于是sin=-.

又由0<θ<π知，<2θ+<，

所以2θ+=或2θ+=.

因此θ=或.

例3解：设BC=a，AC=b，AB=c，

由2·=||·||得2bccosA=bc，所以cosA=，

又A∈(0，π)，因此A=.

由 ||·||=3BC2得bc=a2，于是sinC·sinB=sin2A，

所以sinC·sin=，sinC·=，

因此2sinC·cosC+2sin2C=，sin2C-cos2C=0，

即sin=0.

由A=知0

从而2C-=0或2C-=π，即C=或，

故A=，B=，C=或A=，B=，C=.

例4(1) 证明：∵ m∥n，∴ asinA=bsinB.

即a·=b·，其中R是三角形ABC外接圆半径，a=b，

∴ △ABC为等腰三角形.

(2) 解：由题意可知m·p=0，即a(b-2)+b(a-2)=0，∴ a+b=ab，

由余弦定理可知，4=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，即(ab)2-3ab-4=0.

∴ ab=4或-1(舍去)，∴ S=absinC=×4×sin=.

高考回顾

1. (-3，-5)解析：取A(0,0)则B(2,4)，C(1,3).由=得D(-1，-1).即=(-3，-5).

2. 解析：·=·(+)=·+·=32+3×1×cos=.

3. 解析：a·b=0，(e1-2e2)·(ke1+e2)=0，k-+k=0，k=.

4. 解析：|α||β|sinθ=，sinθ=≥，又θ∈(0，π)，

∴ θ∈.

5. 解：(1)(解法1)由题设知=(3,5)，=(-1,1)，

则+=(2,6)，-=(4,4).

所以|+|=2，|-|=4.

故所求的两条对角线的长分别为4、2.

(解法2)设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，

则：E为B、C的中点，E(0,1)，

又E(0,1)为A、D的中点，所以D(1,4)，

故所求的两条对角线的长分别为BC=4、AD=2;

(2) 由题设知：=(-2，-1)，-t=(3+2t,5+t).

由(-t)·=0，得：(3+2t,5+t)·(-2，-1)=0，

从而5t=-11，所以t=-.

或者：·=t2，=(3,5)，t==-.

6. 解： 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，则有

a2=b2+c2-2bccosA;

b2=a2+c2-2accosB;

c2=a2+b2-2abcosC.

证明： 如图

a2=·

=(-)·(-)

=2-2·+2

=-2||||cosA+2

=b2-2bccosA+c2，

即a2=b2+c2-2bccosA.同理可证b2=a2+c2-2accosB，

c2=a2+b2-2abcosC.