|
简介： 三角函数与平面向量 三角函数的图象与性质 1. 掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质;会用“五点法”作出正弦函数及余弦函数的图象;掌握函数y=Asin(ωx+φ)的图象及性质. 2. 高考试题中，三角函数题相对比较传统，位置靠前，通常是以简单题形式出现.因此在本讲复习中要注重三角知识的基础性，特别是要熟练掌握三角函数的定义、三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调、奇偶、最值、对称、图象平移及变换等). 3. 三角函数是每年高考的必考内容，多数为基础题，难度属中档偏易.这几年的高考中加强了对三角函数定义、图象和性质的考查.在这一讲复习中要重视解三角函数题的一些特殊方法，如函数法、待定系数法、数形结合法等的训练. 1. 函数y=2sin2-1是最小正周期为________的________(填“奇”或“偶”)函数. 2.函数f(x)=-cosx在[0，+∞)内的零点个数为________. 3.函数f(x)=2cos2x+sin2x的最小值是________. 4.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)=sinx，则f的值为________. 【例1】设函数f(θ)=sinθ+cosθ，其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(x，y)，且0≤θ≤π. (1) 若点P的坐标是，求f(θ)的值; (2) 若点P(x，y)为平面区域上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f(θ)的最小值和最大值. 【例2】函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示. (1) 求f(0)的值; (2) 若0<φ<π，求函数f(x)在区间上的取值范围. 【例3】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π，ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为. (1) 求f的值; (2) 将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间. 【例4】已知函数f(x)=2sin2-cos2x-1，x∈R. (1) 求f(x)的最小正周期; (2) 若h(x)=f(x+t)的图象关于点对称，且t∈(0，π)，求t的值; (3) 当x∈时，不等式|f(x)-m|<3恒成立，求实数m的取值范围. 1. (2023·江西)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若P(4，y)是角θ终边上一点，且sinθ=-，则y=________. 2.(2023·全国)函数f(x)=sin-2sin2x的最小正周期是________. 3.(2023·全国)函数y=sincos的最大值为________. 4.(2023·广东)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)，y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π，则f(x)的单调递增区间是________. (2023·四川)已知函数f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1(x∈R). (1) 求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值; (2) 若f(x0)=，x0∈，求cos2x0的值. 5.(2023·福建)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，其中ω>0，|φ|<. (1) 若coscosφ-sinπsinφ=0，求φ的值; (2) 在(1)的条件下，若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m，使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数. (2023·重庆)(本小题满分13分)设函数f(x)=sin-2cos2+1. (1) 求f(x)的最小正周期; (2) 若函数y=g(x)与y=f(x)的图象关于直线x=1对称，求当x∈时，y=g(x)的最大值. 解：(1) f(x)=sinxcos-cosxsin-cosx =sinx-cosx(3分) =sin，(5分) 故f(x)的最小正周期为T ==8.(7分) (2) (解法1)在y=g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x=1的对称点为(2-x，g(x)). 由题设条件，点(2-x，g(x))在y=f(x)的图象上，从而 g(x)=f(2-x)=sin=sin=cos.(10分) 当0≤x≤时，≤x+≤，因此y=g(x)在区间上的最大值为g(x)max=cos=.(13分) (解法2)因区间关于x=1的对称区间为，且y=g(x)与y=f(x)的图象关于x=1对称，故y=g(x)在上的最大值为y=f(x)在上的最大值， 由(1)知f(x)=sin， 当≤x≤2时，-≤x-≤， 因此y=g(x)在上的最大值为g(x)max=sin=.(13分) 第7讲三角函数的图象与性质 1. 若 【答案】-8解析：令tanx=t∈(1，+∞)，y=，y′(t)= 得t=时y取最大值-8. 2. 已知函数f(x)=2cos2x+sin2x. (1) 求f的值; (2) 求f(x)的最大值和最小值. 解：(1) f=2cos+sin2=-1+=-. (2) f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)=3cos2x-1，x∈R. 因为cosx∈[-1,1]，所以当cosx=±1时，f(x)取最大值2;当cosx=0时，f(x)取最小值-1. 基础训练 1. π奇解析：y=-cos=-sin2x. 2. 1解析：在[0，+∞)内作出函数y=，y=cosx的图象，可得到答案. 3. -+1解析：f(x)=2cos2x+sin2x=sin+1. 4. -解析：f=f=f=sin=-. 例题选讲 例1解：(1) 根据三角函数定义得sinθ=，cosθ=，∴ f(θ)=2.(本题也可以根据定义及角的范围得角θ=，从而求出 f(θ)=2). (2) 在直角坐标系中画出可行域知0≤θ≤，f(θ)=sinθ+cosθ=2sin，∴ θ=0，f(θ)min=1;θ=，f(θ)max=2. (注： 注意条件，使用三角函数的定义; 一般情况下，研究三角函数的周期、最值、单调性及有关计算等问题时，常可以先将函数化简变形为y=Asin(ωx+φ)的形式) 例2解：(1)由题图可知：A=，=π-=，ω=2， 2×+φ=2kπ+，φ=2kπ+，k∈Z， f(0)=sin=. (2) φ=，f(x)=sin. 因为0≤x≤，所以≤2x+≤π，所以0≤sin≤1. 即f(x)的取值范围为[0，]. (注：本题主要考查正弦、余弦、正切函数及y=Asin(ωx+φ)的图像与性质以及诱导公式，运用数形结合思想，属于中档题) 变式训练已知A为△ABC的内角，求y=cos2A+cos2的取值范围. 解： y=cos2A+cos2=+ =1++ =1+=1+cos. ∵ A为三角形内角，∴ 0 ∴ y=cos2A+cos2的取值范围是. 例3解：(1) f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2 =2sin. 因为f(x)为偶函数， 所以对x∈R，f(-x)=f(x)恒成立， 因此sin=sin. 即-sinωxcos+cosωxsin =sinωxcos+cosωxsin， 整理得sinωxcos=0. 因为ω>0，且x∈R，所以cos=0. 又因为0<φ<π，故φ-=. 所以f(x)=2sin=2cosωx. 由题意得=2×，所以ω=2. 故f(x)=2cos2x. 因此f=2cos=. (2) 将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象， 所以g(x)=f=2cos=2cos. 当2kπ≤2x-≤2kπ+π(k∈Z)， 即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时，g(x)单调递减， 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z). 例4解：(1)函数可化为f(x)=-cos-cos2x=2sin，故f(x)的最小正周期为π. (2) h(x)=2sin.令2×+2t-=kπ，k∈Z. 又t∈(0，π)，故t=或. (3) 当x∈时，2x-∈， ∴ f(x)∈[1,2]. |f(x)-m|<3，即f(x)-3 变式训练设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4，x∈R，其中|t|≤1，将f(x)的最小值记为g(t). (1) 求g(t)的表达式; (2) 讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. 解：(1) f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4 =sin2x-2tsinx+4t3+t2-3t+3 =(sinx-t)2+4t3-3t+3. 由于(sinx-t)2≥0，|t|≤1，故当sinx=t时，f(x)达到其最小值g(t)，即 g(t)=4t3-3t+3. (2) g′(t)=12t2-3=3(2t+1)(2t-1)，-1 列表如下： t - g′(t) + 0 - 0 + g(t) 极大值 极小值 由此可见，g(t)在区间和上单调增，在区间上单调减，极小值为g=2，极大值为g=4. 高考回顾 1. —8解析：sinθ==-，解得y=-8或8(舍). 2. π解析：f(x)=sin-2sin2x=sin-. 3. 解析： y=cosx=sin+. 4. ，k∈Z解析： f(x)=sinωx+cosωx(ω>0)=2sin. ∵ 周期为π，∴ ω=2，∴ f(x)=2sin. 2kπ-≤2x+≤2kπ+，即kπ-≤x≤kπ+，k∈Z. 5. 解： (1) 由f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，得 f(x)=(2sinxcosx)+(2cos2x-1)=sin2x+cos2x=2sin. 所以函数的最小正周期为T==π. 因为x∈，所以2x+∈. 所以2x+∈，即x∈时，函数f(x)为增函数，而在x∈时，函数f(x)为减函数，所以f=2sin=2为最大值，f=2sin=-1为最小值. (2) 由(1)知，f(x0)=2sin. 又由已知f(x0)=，则sin=. 因为x0∈，则2x0+∈.因此cos<0， 所以cos=-，于是cos2x0=cos， =coscos+sinsin =-×+×=. 6. 解：(1) 由coscosφ-sinπsinφ=0得coscosφ-sinsinφ=0 即cos=0，又|φ|<，∴ φ=. (2) 由(1)得f(x)=sin，依题意，=，又T=，故ω=3， ∴ f(x)=sin，函数的图像向左平移m个单位后对应的函数为g(x)=sin，g(x)是偶函数，当且仅当3m+=kπ+(k∈Z)，即m=+(k∈Z)，从而最小正实数m=. | 
