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问题：（2023•吉林）如图①，在边长为8cm正方形ABCD中，E，F是对角线AC上的两个动点，它们分别从点A，点C同时出发，沿对角线以1cm/s同速度运动，过E作EH垂直AC交的直角边于H；过F作FG垂直AC交Rt△AC
答案：↓↓↓ 雷洋的回答： 网友采纳 （1）根据正方形的性质可知△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF，即可求出结论． 根据正方形的边长可求出AC的长，过B作BO⊥AC于O，OB即为△ABE的高，设AE=x，YO用含x的关系式表示出S1、S2即可求出x的值． （2）①因为当x=8时，EF重合此时S1=0，y=S2故应分0≤x＜8与8≤x≤16两种情况讨论． ②同①分两种情况用含x的代数式表示出y的值，然后根据二次函数的最值即可求出y的最大值． 【解析】 （1）根据正方形的性质可知∠HAE=∠GCF，由于A、C运动的速度相同， 故AE=CF，易证△AEH≌△CFG，由平行线的判定定理可知HE∥GF， 所以，以E，F，G，H为顶点的四边形是矩形．（1分） ∵正方形边长为， ∴AC=16． ∵AE=x，过B作BO⊥AC于O，则BO=8． ∴S2=4x（2分） ∵HE=x，EF=16-2x， ∴S1=x（16-2x）．（3分） 当S1=S2时，x（16-2x）=4x． 解得x1=0（舍去），x2=6．（4分） ∴当x=6时，S1=S2． （2）①当0≤x＜8时，y=x（16-2x）+4x=-2x2+20x．（5分） 当8≤x≤16时，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2（16-x）=2x-16．（6分） ∴S1=（16-x）（2x-16）． ∴y=（16-x）（2x-16）+4x=-2x2+52x-256．（7分） ②解法1：当0≤x＜8时，y=-2x2+20x=-2（x2-10x+25）+50=-2（x-5）2+50， ∴当x=5时，y的最大值为50．（8分） 当8≤x≤16时，y=-2x2+52x-256=-2（x-13）2+82， ∴当x=13时，y的最大值为82．（9分） 综上可得，y的最大值为82．（10） 解法2：y=-2x2+20x（0≤x＜8）， 当x=-=5时，y的最大值为50．（8分） y=-2x2+52x-256（8≤x≤16）， 当x=-=13时，y的最大值为82．（9分） 综上可得，y的最大值为82．（10） 说明：（1）自变量取值含0，8，16或不含均可不扣分． （2）图②中的草图不正确不扣分． | 
