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【求(tanx-sinx)/(sinx)^3的极限,我是这么算的,先把分式拆开,求两个极限之差,然后用等价无穷小,得到lim(1-x^2)-lim(1-x^2)结果是0可正确答案是0,我想知道为什么我这种做法错了正确答案是0.5.打错啦】

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问题:【求(tanx-sinx)/(sinx)^3的极限,我是这么算的,先把分式拆开,求两个极限之差,然后用等价无穷小,得到lim(1-x^2)-lim(1-x^2)结果是0可正确答案是0,我想知道为什么我这种做法错了正确答案是0.5.打错啦】

答案:↓↓↓

网友采纳  1.原则上说是可以分开之后展开,再对每个分式使用无穷小的  但是这需要你分开的两个式子的极限相减有意义才行  此处不然  其次看着你的等价无穷小有错  tanx~x  sinx~x  注意分母是(sinx)^3~x^3  因为  tanx/(sinx)^3x/x^3=1/x^2极限是正无穷  sinx/(sinx)^3x/x^3=1/x^2极限是正无穷  正无穷-正无穷是不定型  2.如果直接taylor展开到一定阶数也是可以的(一般不用)  但是由于分母的阶是x^3  你分子必须至少展开到x^3,才能保证不犯错.  3.正确做法:  tanx=sinx/cosx  原式上下同乘cosx  =(sinx-sinxcosx)/[(sinx)^3cosx]  同除sinx(因为取极限,x≠0,只是趋向于0)  =(1-cosx)/[(sinx)^2cosx]  此时再用等价无穷小  1-cosx~x^2/2  sinx~x  cosx~1  =(x^2/2)/[x^2*1]  =1/2  所以先尽可能化简,然后再等价无穷小,注意只有乘除可以用等价无穷小.
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