|
问题：【椭圆离心率设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1（agt;bgt;0）的右焦点为F,过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点,直线l的倾斜角为60度,向量AF=2FB.求椭圆C的离心率.如果|AB|=15/4,求椭圆C的方程、第一小问，有一种不用】
答案：↓↓↓ 冯桂华的回答： 网友采纳 （1）设椭圆的右准线为l.设|FB|=m,则|FA|=2m. 过A、B两点向准线l作垂线AC、BD, 由椭圆第二定义知：|AC|=1/e|FA|=2m/e,|BD|=1/e|FB|=m/e （e为椭圆的离心率）, 过B作BE⊥AC,E为垂足. |AE|=|AC|-|CE|=1/e|AC|-1/e|BD|=2m/e-m/e=m/e. |AB|=|FA|+|FB|=3m. 直线的斜率k=tan∠AFx=tan∠BAE=√3. ∠BAE=60°,则|AB|=2|AE|, 3m=2×m/e, 所以e=2/3. （2）这个小题可采用一楼的解法 |AB|=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^2)|3y2| 因为e=2/3,所以c=2/3a,b=√5/3a,代入y2=(2b^2c/√3)/(1/3b^2+a^2) 所以y2=5√3/24a |AB|=√(1+1/k^2)|3y2|=(2√3/3)|5√3/8a|=5/4a=15/4, 所以a=3,b=√5 所以x^2/9+y^2/5=1 下面是两道类似的题目,仅供参考： 已知直线y=k(x+2)(k＞0）与抛物线C:y²=8x相较于AB两点,F为C的焦点.FA=2FB 则K的值为多少? 设抛物线的准线为l:x=-2.设|FB|=m,则|FA|=2m. 过A、B两点向准线l作垂线AC、BD, 由抛物线定义知：|AC|=|FA|=2m,|BD|=|FB|=m, 过B作BE⊥AC,E为垂足. |AE|=|AC|-|CE|=|AC|-|BD|=2m-m=m. |AB|=|FA|+|FB|=3m. 在直角三角形AEB中,|BE|=√(|AB|²-|AE|²)=2√2m, tan∠BAE=|BE|/|AE|=2√2, 直线的斜率k=tan∠AFx=tan∠BAE=2√2. 已知双曲线C;x²/a²-y²/b²=1（a＞0,b＞0）的右焦点为点F,过F且斜率为√3的直线交双曲线右支于A、B两点,若AF=4FB,则C的离心率为多少? 设双曲线的准线为l.设|FB|=m,则|FA|=4m. 过A、B两点向准线l作垂线AC、BD, 由双曲线第二定义知：|AC|=1/e|FA|=4m/e,|BD|=1/e|FB|=m/e （e为双曲线的离心率）, 过B作BE⊥AC,E为垂足. |AE|=|AC|-|CE|=1/e|AC|-1/e|BD|=4m/e-m/e=3m/e. |AB|=|FA|+|FB|=5m. 直线的斜率k=tan∠AFx=tan∠BAE=√3. ∠BAE=60°,则|AB|=2|AE|, 5m=2×3m/e, 所以e=6/5. | 
