求解带初值的微分方程xy#39;#39;-xy#39;-y=0y(0)=0,y#39;(0)=1

问题：求解带初值的微分方程xy#39;#39;-xy#39;-y=0y(0)=0,y#39;(0)=1

答案：↓↓↓

冯俊小的回答：

网友采纳　　(xy)'=y+xy'(xy)''=xy''+2y'xy''-xy'-y=0xy''=xy'+y(xy)''-2y'=(xy)'u=xy,v=yu''-2v'=u'u''-u'=2v'两边积分得u'-u=2vu=C1e^v+e^(-v)+C即xy=C1e^y+e(-y)+Cy(0)=0,即0=C1+1+C

马海宽的回答：

网友采纳　　方法很精彩，但是从u'-u=2v到u=C1e^v+e^(-v)+C好像有点没对，那是个一阶微分方程，你是套用的2阶常系数微分方程的公式？最后答案是xe^x，我看看能不能借你的方法算出了O(∩_∩)O

冯俊小的回答：

网友采纳　　我没有解，观察得的通解和特解。

马海宽的回答：

网友采纳　　你的解答中好像没有得到y=xe^x哦

冯俊小的回答：

网友采纳　　哈哈，这个题目到这个地方，观察得的通解和特解，然后再初值条件，不过y'好象可能带到前面去啊(xy)''-2y'=(xy)'，带到这个地方解更方便啊。对了，就是代到这个地方解。

马海宽的回答：

网友采纳　　算了半天始终不对，终于发现问题在哪里了u''-u'=2v'两边积分得u'-u=2v这里得到的是du/dx-u=2v(x),不是du/dv-u=2v哦，就说怎么算出来的是错的.....

冯俊小的回答：

网友采纳　　噢，我菜了

马海宽的回答：

网友采纳　　没事，你前面的方法很精彩，能再看看吗？谢了

冯俊小的回答：

网友采纳　　u''-u'=2v'两边积分得u'-u=2v这一步两边对x积分有错误吗？我感觉u,v都是x的函数，同对x积分应该是可以的啊

马海宽的回答：

网友采纳　　积分是没有错，但是得到u'-u=2v后不能把这个方程看成u关于自变量v的一阶微分方程，因为u'=du/dx而不是du/dv，因此u'-u=2v不能用常规一阶方程求解.....

冯俊小的回答：

网友采纳　　那不要v如何？因为u=vx=xy,也就是y=u/xu'-u=2vu'-u=2u/x即u'=u(1+2/x)分离变量得du/u=(1+2/x)dx两边积分得lnu=x+2lnx取自然指数u=e^x*x^2xy=e^x*x^2y=xe^x

马海宽的回答：

网友采纳　　你少写了一个常数，应该是u'-u=2u/x+C分离变量得到的是du/u=(1+2/x+C/u)dx.................

冯俊小的回答：

网友采纳　　哈哈，对的啊。那个地方是不定积分！这次续的答案应该基本正确了。(xy)'=y+xy'(xy)''=xy''+2y'xy''-xy'-y=0xy''=xy'+y(xy)''-2y'=(xy)'两边对x积分得(xy)'-2y=xy+C把y(0)=0代入得C＝0即(xy)'-2y=xy(xy)'-2xy/x=xy(xy)'=xy(1+2/x)分离变量得(xy)'/xy=(1+2/x)dx两边对x积分得lnxy=x+2lnx+C两边取自然指数得xy=e^C*x^2*e^xy=e^C*xe^xy'=e^Ce^x+e^C*xe^x把y'(0)=1代入得1=e^CC=0故y=xe^x