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问题：S(x)=x^4/(2*4)+x^6/(2*4*6)+x^8/(2*4*6*8)+...(1)求满足S(x)的一阶微分方程(2)解(1)中的微分方程求S(x)
答案：↓↓↓ 阮建山的回答： 网友采纳 （1）对S(x)求导一次（之所以求一次,是根据式子的特征来的）,得到 S`(x)=x(x^2/2+x^4/(2*4)+x^6/(2*4*6)+x^8/(2*4*6*8)+...) =x(x^2/2+S(x)) 其中,由原式易求的, S(0)=0 所以转化成S(x)的一阶微分方程的初值问题 有S`(x)=x(x²/2+S(x)),其中S(0)=0 （2）显然,令S(x)=y,有 y`-xy=x^3/2 根据y`+P(x)y=Q(x)型的微分方程求解公式,即 y=exp(-∫P(x)dx)(C+∫exp(∫P(x)dx)Q(x)dx) 代入式子,得 y=exp(-∫-xdx)(C+∫exp(∫-xdx)x^3/2dx) =exp(x²/2)(C+∫exp(-x²/2)x^3/2dx) 对∫exp(-x²/2)x^3/2dx进行分部积分求解,有 ∫exp(-x²/2)x^3/2dx=∫-x²/2dexp(-x²/2) =-x²/2exp(-x²/2)+∫exp(-x²/2)d(x²/2) =-x²/2exp(-x²/2)-∫exp(-x²/2)d(-x²/2) =-x²/2exp(-x²/2)-exp(-x²/2) =-exp(-x²/2)(x²/2+1) 所以,y=exp(x²/2)[C-exp(-x²/2)(x²/2+1)] 又y(0)=0,代入可得C-1=0即C=1 所以,y=exp(x²/2)[1-exp(-x²/2)(x²/2+1)] =exp(x²/2)-x²/2-1 综上所述,所求S(x)=exp(x²/2)-x²/2-1 呼呼~求完之后才发现,原来就是一个迈克劳林展开式变形而已... 不错,很不错的题目 | 
