|
问题：【（2023•荆门）如图，等腰Rt△ABC的直角边AB=2，点P、Q分别从A、C两点同时出发，以相同速度作直线运动．已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．（1）设AP的长为】
答案：↓↓↓ 唐乐乐的回答： 网友采纳 （1）本题要分两种情况进行讨论： ①当P在线段AB上；②当P在AB延长线上． △PCQ都是以CQ为底，PB为高，可据此得出S、x的函数关系式． （2）先计算出△ABC的面积，然后将其值代入（1）中得出的两个函数式中，即可得出所求的AP的长． （3）本题要分两种情况进行计算： ①当P在线段AB上时，过P作PF∥QB交AC于F，那么不难得出△PFD≌△QCD，因此DF=CD=，而CF=AC-2AE，因此根据DE=EF+DF即可得出DE的长． ②当P在线段AB延长线上时，DE=EF-FD． 然后比较①②的DE的长是否相等即可判断出线段DE的长度是否改变． 【解析】 （1）①当点P在线段AB上时（如图1），S△PCQ=CQ•PB． ∵AP=CQ=x，PB=2-x． ∴S△PCQ=x（2-x）． 即S=（2x-x2）（0＜x＜2）； ②当点P在AB延长线上时（如图2），S△PCQ=CQ•PB． ∵AP=CQ=x，PB=x-2． ∴S△PCQ=x（x-2）． 即S=（x2-2x）（x＞2）； （2）S△ABC=×2×2=2． ①令（2x-x2）=2，即x2-2x+4=0，此方程无解； ②令（x2-2x）=2，即x2-2x-4=0，解得x=1±． 故当AP的长为1+时，S△PCQ=S△ABC． （3）作PF∥BC交AC交延长线于F，则AP=PF=CQ． ∴△PFD≌△QCD． ∴FD=CD=． ∵AP=x， ∴AE=EF=． ∵AB=2， ∴AC=2． ①当点P在线段AB上时， ∵CF=AC-AF=2-x，FD==-x． ∴DE=EF+DF=-x+=； ②当点P在AB延长线上时， ∵CF=AF-AC=x-2．FD==x-． ∴DE=EF-FD=AF-AE-DF=x-x-（x-）=． 故当P、Q运动时，线段DE的长度保持不变，始终等于． | 
