【已知f(x)在[0,1]上连续且在(a,b)内可导,又f(0)=0,0≤f#39;(x)≤1证明(∫(0~1)f(x)dx)^2≥∫(0~1)f(x)^3dx】

问题：【已知f(x)在[0,1]上连续且在(a,b)内可导,又f(0)=0,0≤f#39;(x)≤1证明(∫(0~1)f(x)dx)^2≥∫(0~1)f(x)^3dx】

答案：↓↓↓

钱晓明的回答：

网友采纳　　设g(u)=(∫(0~u)f(x)dx)^2-∫(0~u)f(x)^3dx,0=0,则f(u)单增,f(0)=0,则f(u)>=0　　下面将中括号里的部分设为一个新的函数h(u)=2∫(0~u)f(x)dx-f(u)^2　　h'(u)=2f(u)-2f(u)f'(u),由于f(u)>=0,00　　因此h(u)为单增函数,由h(0)=0知,h(u)>=0　　因此g'(u)=f(u)h(u)>=0,则g(u)单增　　g(1)>=g(0)=0　　则(∫(0~1)f(x)dx)^2-∫(0~1)f(x)^3dx>=0　　即原式成立