已知函数fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0f1=1,证明：存在c属于（0,1）,使得f(c)=1-c

问题：已知函数fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0f1=1,证明：存在c属于（0,1）,使得f(c)=1-c

答案：↓↓↓

龙连文的回答：

网友采纳　　令：F(x)=x^2*f(x)　　当x=0时,F(0)=0^2*f(0)=0　　当x=1时,F(1)=1^2*f(1)=0　　而且F(x)在[0,1]内连续,F(x)在(0,1)内可导　　故根据Rolle中值定理得:　　存在g∈(0,1),使得f'(g)=0　　而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)　　故有：2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)　　即得：-2f(g)=g*f'(g)　　故：f'(g)=-2f(g)/g