【已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：证明：在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0】

问题：【已知G(x)=xf(x),如f(x)在［0,1］上有二阶导数,且f(0)=f(1)=0,证明：证明：在(0,1)内至少存在一点m,使得G’’(m)=0】

答案：↓↓↓

舒云星的回答：

网友采纳　　证明：　　∵f(x)在[0,1]上有二阶导数　　∴f(x)及f'(x)在[0,1]上连续可导　　∴G(x)及G'(x)在[0,1]上也连续可导　　又f(0)=f(1)=0　　∴G(0)=0*f(0)=0,G(1)=f(1)=0　　由罗尔定理知　　在(0,1)内至少存在一点ξ1,使G'(ξ1)=0　　又G'(x)=f(x)+xf'(x)　　且f(0)=f(1)=0　　∴G'(0)=f(0)+0*f'(0)=0　　∴G'(0)=G'(ξ1)=0　　∴由罗尔定理知　　在(0,ξ1),即(0,1)内至少存在一点m,使G''(m)=0　　证毕