设f(x)在[0,1]上可微,且f（0）=0,f`(x)的绝对值小于等于pf（x）的绝对值,0小于p小于1,证明.设f(x)在[0,1]上可微,且f（0）=0,f`(x)的绝对值小于等于pf（x）的绝对值,0小于p小于1,证明[0,1]上f（x）恒等于

问题：设f(x)在[0,1]上可微,且f（0）=0,f`(x)的绝对值小于等于pf（x）的绝对值,0小于p小于1,证明.设f(x)在[0,1]上可微,且f（0）=0,f`(x)的绝对值小于等于pf（x）的绝对值,0小于p小于1,证明[0,1]上f（x）恒等于

答案：↓↓↓

刘家学的回答：

网友采纳　　设|f(x)|在[0,1]上最大值为|f(a)|,0≤a≤1　　则|f(a)|=|∫[0->a]f'(t)dt|≤p∫[0->a]|f(t)|dt　　≤p∫[0->a]|f(a)|dt=ap|f(a)|　　∴|f(a)|(1-ap)≤0,而0≤ap≤p0,∴|f(a)|≤0,即|f(a)|=0　　∴而x∈[0,1]时,|f(x)|≤|f(a)|=0　　∴|f(x)|=0,即f(x)=0,x∈[0,1]