【高数微分中值定理已知函数f(x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证：存在一点ζ使得f(ζ)+f#39;(ζ)=0成立】

问题：【高数微分中值定理已知函数f(x)在[a,b]内连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.求证：存在一点ζ使得f(ζ)+f#39;(ζ)=0成立】

答案：↓↓↓

梁益庆的回答：

网友采纳　　可以证明存在一点ζ使得f(ζ)+ζf'(ζ)=0成立.

麻昌德的回答：

网友采纳　　大哥能否写下过程谢谢

梁益庆的回答：

网友采纳　　令F(x)=xf(x)，在[a,b]上用罗尔定理，还需要写过程吗？

麻昌德的回答：

网友采纳　　过程倒是不用了，谢谢再想问一下f(ζ)+f'(ζ)=0为什么可以转化为证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0

梁益庆的回答：

网友采纳　　不是f(ζ)+f'(ζ)=0可以转化为证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0是在原题条件下可以证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0以为是题目打漏字母ζ了如果确实是证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0，SD_LY_LS的辅助函数F(x)=e^x*f(x)是对的

麻昌德的回答：

网友采纳　　题目没打漏只是不理解为什么证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0和f(ζ)+ζf'(ζ)=0等价

梁益庆的回答：

网友采纳　　证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0和f(ζ)+f'(ζ)=0不等价啊是我以为你题目打漏字母ζ了，以为原题是要证明f(ζ)+ζf'(ζ)=0呢证明过程如下：证明：令F(x)=e^x*f(x)，则因为f(x)在[a,b]内连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=0，所以F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且F(a)=F(b)=0，由罗尔定理，至少存在一点ζ∈(a,b)使得F'(ζ)=0成立，而F'(x)=e^x*[f(x)+f'(x)]，所以F'(ζ)=0即e^ζ*[f(ζ)+f'(ζ)]=0，因为e^ζ≠0，所以成立f(ζ)+f'(ζ)=0。证毕。