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问题：【一道微积分证明题……求救啊积分上限π/2,下限0函数是f（x）绝对值sinnxn趋向正无穷还有一个是上限和下限同上积函数是f（x）证明上一个定积分是下一个的2/π倍右边还要乘以2/π】
答案：↓↓↓ 韩立新的回答： 网友采纳 (0,π/2)∫f(x)|sinnx|dx 换元nx=t =1/n*(0,nπ/2)∫f(t/n)|sint|dt =1/n*[(0,π)∫f(x/n)sinxdx-(π,2π)∫f(x/n)sinxdx+...+(-1)^k(kπ,(k+1)π))∫f(x/n)sinxdx+...] 对负项,换元x-kπ=t,从而-((k-1)π,kπ))∫f(x/n)sinxdx=(0,π))∫f[(t+k)/n]sintdt 所以原式 =1/n*[(0,π)∫f(x/n)sinxdx+(0,π)∫f[(x+π)/n]sinxdx+...+(0,π))∫f[(x+kπ)/n)sinxdx+...] k和n之间的关系 当nπ/2为偶数时,2k=n 当nπ/2为奇数时,2k+1=n 当n→∞,有限项皆可略去,方便起见,就取2k=n 原式 =1/(2k)*{(0,π)∫f[x/(2k)]sinxdx+(0,π)∫f[(x+π)/(2k)]sinxdx+...+(0,π))∫f[(x+kπ)/(2k)sinxdx+...} =1/(2k)*(0,π)∫sinx{f[x/(2k)]+∫f[(x+π)/(2k)]+...+f[(x+kπ)/(2k)]+...}dx 根据定积分的定义k→∞ 结束项（上限）lim(x+kπ)/(2k)=t,开始项（下限）=limx/2k=0 积分区间长=lim(kπ+x-x)/(2k)=π/2,所以limπ/2/k=limπ/(2k)=dt 所以原式 =1/π*(0,π)∫sinx[(0,π/2)∫f(t)dt]dx =1/π*(0,π)∫sinxdx(0,π/2)∫f(t)dt =2/π*(0,π/2)∫f(t)dt =2/π*(0,π/2)∫f(x)dx 证毕 | 
