设fx在01上连续在01内可导且满足f1=2∫(0→1/2)xfxdx求证存在ξ,f#39;ξ=-fξξ

问题：设fx在01上连续在01内可导且满足f1=2∫(0→1/2)xfxdx求证存在ξ,f#39;ξ=-fξξ

答案：↓↓↓

陈嘉琦的回答：

网友采纳　　从积分形式入手,构造有利函数：　　证明由积分中值定理　　存在η∈(0,1/2)使得　　f(1)=2∫xf(x)dx　　=2·1/2·ηf(η)　　=ηf(η)　　构造函数g(x)=xf(x),　　则g(x)在[0,1]上连续可导,　　由g(η)=g(1)可知存在ξ∈(η,1),使得g'(ξ)=0　　即f(ξ)+ξf'(ξ)=0