设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续(agt;0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点ε,使得a^3f#39;#39;(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx

问题：设f(x)在[-a,a]上二阶导函数连续(agt;0),且f(0)=0,证明:在[-a,a]上至少存在一点ε,使得a^3f#39;#39;(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx

答案：↓↓↓

冯彦民的回答：

网友采纳　　f''(x)在[-a,a]上连续,∴f''(x)在[-a,a]上能取到最大值和最小值,　　设该最大值为A,该最小值为B,则A≤f''(x)≤B,x∈[-a,a]　　则∫[0,x]Adt≤∫[0,x]f''(t)dt≤∫[0,x]Bdt,x∈[-a,a]　　=>Ax≤f'(x)-f'(0)≤Bx　　=>Ax+f'(0)≤f'(x)≤Bx+f'(0)　　再从0到x积分得　　Ax²/2+f'(0)x≤f(x)-f(0)≤Bx²/2+f'(0)x,∵f(0)=0　　所以上式对x从-a到a积分得　　a³A/3≤∫[-a,a]f(x)dx≤a³B/3,即　　a³A≤3∫[-a,a]f(x)dx≤a³B　　∴3∫[-a,a]f(x)dx∈[a³A,a³B]　　而[a³A,a³B]为连续函数a³f''(x)在[-a,a]上的值域　　∴由介值定理知存在ε∈[-a,a],使得a³f''(ε)=3∫[-a,a]f(x)dx

卢立军的回答：

网友采纳　　上式对x从-a到a积分得a³A/3≤∫[-a,a]f(x)dx≤a³B/3，这一步f'(0)怎么等于0了？这是一个常数啊

冯彦民的回答：

网友采纳　　f'(0)x从-a到a积分不是等于0吗