【设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3（1）求f(0),f#39;(0)和f#39;#39;(0)(2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x)】

问题：【设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3（1）求f(0),f#39;(0)和f#39;#39;(0)(2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x)】

答案：↓↓↓

郭凤梅的回答：

网友采纳　　(1)lim(x->0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3=e^lim(x->0)1/x*ln[(1+x+f(x)/x)]　　故有　　lim(x->0)ln[(1+x+f(x)/x)]/x=3　　分母趋于0,故分子必趋于0,于是有　　lim(x->0)[1+x+f(x)/x)]=1　　得　　lim(x->0)f(x)/x=0　　同样道理,分母趋于0,则分子必趋于0,于是有f(0)=0　　利用罗比塔法则：　　0=lim(x->0)f(x)/x=lim(x->0)f'(x)/1　　得f'(0)=0　　再利用罗比塔法则：　　3=lim(x->0)ln[(1+x+f(x)/x)]/x=lim(x->0)1/[(1+x+f(x)/x)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1=　　lim(x->0)1/[(1+0+0)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1　　故有　　2=lim(x->0)[f'(x)*x-f(x)]/x^2（下面利用罗比塔法则）　　=lim(x->0)[f''(x)*x+f'(x)-f'(x)]/(2x)　　=lim(x->0)f''(x)*x/(2x)　　=lim(x->0)f''(x)/2　　故有f''(0)=4　　(2)lim(x->0)(1+f(x)/x)^(1/x)=e^lim(x->0)ln[1+f(x)/x]/x（下面利用罗比塔法则）　　=e^lim(x->0)1/[1+f(x)/x]*[xf'(x)-f(x)]/x^2（下面利用罗比塔法则）　　=e^lim(x->0)1/[1+0]*[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x)（x消掉）　　=e^lim(x->0)f''(x)/2　　=e^(4/2)　　=e^2　　不明白请追问.

宋佰春的回答：

网友采纳　　我还没学洛必达法则