【已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数（I）求a的值；（II）求λ的取值范围；（III）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成】

问题：【已知函数f（x）=ln（ex+a）（a为常数）是实数集R上的奇函数，函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数（I）求a的值；（II）求λ的取值范围；（III）若g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成】

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刘书楼的回答：

网友采纳　　（1）∵函数f（x）=ln（ex+a）是实数集R上的奇函数，∴f（0）=0所以a=0．…（3分）　　（2）g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数g′（x）=λ+cosx≤0在[-1，1]上恒成立∴λ≤-cosx．…（5分）　　又∵cosx∈[cos1，1]，∴-cosx∈[-1，-cos1]．∴λ≤-1．…（8分）　　（3）∵g（x）在区间[-1，1]上单调递减，∴g（x）max=g（-1）=-λ-sin1．　　只需-λ-sin1≤t2+λt+1．∴(t+1)λ+t