设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0,1),使f#39;(x)=-f(ε)/ε.（提示中值定理的综合运用）应为设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈

问题：设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈(0,1),使f#39;(x)=-f(ε)/ε.（提示中值定理的综合运用）应为设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,有f(1)=0.证明:至少存在一点ε∈

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戴肖锋的回答：

网友采纳　　证明：设g(x)=xf(x),　　则g'(x)=xf'(x)+f(x),g(1)=1f(1)=0,g(0)=0*f(0)=0　　所以g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导且g(0)=g(1),由罗尔中值定理得：　　存在一点ε∈(0,1),使g'(ε)=εf'(ε)+f(ε)=(g(1)-g(0))/(1-0)=0　　所以f'(ε)=-f(ε)/ε