【若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得f#39;#39;(ξ)=2f#39;(ξ)/(1-ξ).用泰勒公式证明麻烦写下详细过程】

问题：【若函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内二阶可导,且f(0)=f(1)=0,证明:在(0,1)内必存在一点ξ,使得f#39;#39;(ξ)=2f#39;(ξ)/(1-ξ).用泰勒公式证明麻烦写下详细过程】

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白星振的回答：

网友采纳　　用微分中值定理不行吗?　　由f(x)在[0,1]连续,在(0,1)可导,且f(0)=f(1).　　根据Rolle定理,存在c∈(0,1),使f'(c)=0.　　考虑g(x)=f'(x)(x-1)²,有g(x)在[c,1]连续,在(c,1)可导,且g(c)=0=g(1).　　根据Rolle定理,存在ξ∈(c,1),使g'(ξ)=0,即有f"(ξ)(ξ-1)²+2(ξ-1)f'(ξ)=0.　　而ξ