约数与倍数的奥数题例题详解 标签：约数倍数
<p>4月份各种奥数杯赛接踵而来。希望杯，迎春杯，华杯赛，走美，春蕾杯等等，应接不暇。优学奥数网为大家提供了约数与倍数的奥数题例题，希望大家在复习时能 够合理的使用。</p><p>约数与倍数的奥数题例题详解</p><p>已知x、y为正整数，且满足xy-( x+y )=2p+q，其中p、q分别是x与y的最大公约数和最小公倍数，求所有这样的数对(x，y ) (x≥y )</p><p>考点：约数与倍数.</p><p>分析：此题需分类讨论，①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).解方程k(y-2)=3;②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp.解方程abp-1=(a-1)(b-1)即可.解答：解：①当x是y的倍数时，设x=ky(k是正整数).</p><p>则由原方程，得</p><p>ky•y-(ky+y)=2y+ky，</p><p>∵y≠0，</p><p>∴ky-(k+1)=2+k，</p><p>∴k(y-2)=3，</p><p>当k=1时，x=5，y=5;</p><p>当k=3时，x=9，y=3;</p><p>②当x不是y的倍数时，令x=ap，y=bp，a，b互质，则q=abp，代入原式</p><p>得：abp2-(ap+bp)=2p+abp，即abp-1=(a-1)(b+1)</p><p>当p=1时，a+b=2，可求得a=1，b=1，此时不满足条件;</p><p>当p>1时，abp≥2ab-1=ab+(ab-1)≥ab>(a-1)(b-1)</p><p>此时，abp-1=(a-1)(b+1)不满足条件;</p><p>综上所述，满足条件的数对有</p><p>点评：本题主要考查的是最大公约数与最小公倍数.由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的积.即(a，b)×=a×b.所以，求两个数的最小公倍数，就可以先求出它们的最大公约数，然后用上述公式求出它们的最小公倍数.</p>
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