独家解析华杯试题：计算和数论 标签：华杯赛
<p><strong>一、直接计算</strong></p><p>直接进行计算作为每一年杯赛的<strong>必考题</strong>，这是不仅是考察学生对重要公式的理解掌握，还要求学生在做题时具备细心的品质。经归纳，我们可以发现计算题的类型以及考点主要集中在以下三个方面：</p><p>1、分式的四则运算</p><p>2、小数化分数</p><p>3、完全平方公式</p><p><strong>真题分析</strong></p><p>【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】</p><p>下面有四个算式：</p><p><strong>解：</strong></p><p><strong></strong></p><p><strong>分析：</strong>在一个题目中，同时考到了分数的四则运算以及小数化分数</p><p>因此对于学生应当掌握以下几点：</p><p>1、小数、循环小数化分数的基本公式</p><p>2、分数的化简、约分</p><p>3、分数的加法法则、乘法法则</p><p>4、假分数和带分数的互换</p><!--分页--><p><strong>二、速算、巧算和估算</strong></p><p>速算、巧算与估算的内容往往很多、分类较细，而且通常含有大量的公式、法则和运算技巧。特别是和数论相结合后，题目的难度就会大大上升。这一块分作为<strong>必考的重点部分</strong>，常常在一套试卷中会出现两题左右。</p><p>经剖析试题后，我们发现这一部分的知识重点主要集中考察<strong>等比数列、等差数列求和公式</strong></p><p><strong>真题分析</strong></p><p>【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】</p><p>在68个连续的奇数l，3，5，…，135中选取k个数，使得它们的和为2023，那么k的最大值是多少？</p><p><strong>解：</strong>因为要求K最大，那么当然前面的越小越好，</p><p>也就是说，1，3，5，7...这些最小的数字都要用到，</p><p>也就是说1+3+5+7+...+（2K-1）=2023</p><p>即K+2K(K-1)/2=2023(等差数列的求和公式)</p><p>即K的平方=2023</p><p>因为452=2023，2023=76</p><p>删除最少的数使它们的和为76就可以了</p><p>显然是2个（1和75，3和73。。。。）</p><p>所以K最大为43<strong></p><p></strong></p><p><strong>分析：</strong>该试题用到了等差数列的求和公式，然后再根据数的运算结果特征进行分析和排除。因此我们在处理这一类问题的时候可以遵循以下几个基本步骤：</p><p>1、通过分离常数等方法，将题目给出的一列数变成我们所需要的等比或等差数列</p><p>2、利用数列求和公式将和的形式写出</p><p>3、通过数字的运算结果特征和性质对答案进行猜想、假设、计算检验和排除</p><p>三、质数、质因数分解</p><p>有关质数、分解质因数这一类知识点对学生的计算和分析能力也有很高的要求。学生需十分熟悉判断质数、分解质因数的方法，通过数的两两互质将数分类等等都在近年试题中频频出现，特别是在<strong>第十四届的试题</strong>中，有<strong>三道题</strong>都是对质数部分的考察，占了全部试题的<strong>12.5%</strong>。</p><p><strong>真题分析</strong></p><p>【13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】</p><p>将六个自然数14，20，33，117，143，175分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至少需要将这些数分成3 组</p><p><strong>解：</strong>14＝2×7，20＝2×2×5，33＝3×11，117＝3×3×13，143＝11×13，175＝5×5×7含有因数2的2个，含有因数3的2个，含有因数5的2个，含有因数7的2个，含有因数11的2个，含有因数13的2个。</p><p>14放到A组→20放到B组→175不能放到A，只能放到C组</p><p>33、117、143也同样推理分别放到ABC组</p><p><strong>分析：</strong>通过观察上面这个题，我们可以得到解决这类问题的一些方法技巧：</p><p>1、将题目中所给的数字分解质因数。（此类题目分解出的质因数常常有7、11、13）</p><p>2、如果要求所得数互质，那么必须把相同的质因数放在一起相乘。然后利用排列组合的方法算出分类的种数。</p><!--分页--><p><strong>真题训练</strong></p><p>1、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】</p><p>2、【第12届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】</p><p>算式等于（）</p><p>A. 3B. 2C. 1D. 0</p><p>3、【第12届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】</p><p>将×0.63的积写成小数形式是</p><p>4、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】</p><p>计算：(105×95＋103×97)－(107×93+lOl×99)=</p><p>5、【第12届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛】</p><p>设， 其中a、b、c、d都是非零自然数，</p><p>则a+b+c+d＝</p><p>6、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】</p><p>1+2+3+…+n（n＞2）的和的个位数为3，十位数为0，则n的最小值是。</p><p>7、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】</p><p>8、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】</p><p>林林倒满一杯纯牛奶，第一次喝了，然后加入豆浆，将被子斟满并搅拌均匀，第二次，林林又喝了，继续用豆浆将杯子斟满并搅拌均匀，重复上述过程，那么第四次后，林林共喝了一杯纯牛奶总量的(用分数表示)</p><p><strong>解题小贴士：</strong></p><p>1、在解决平均数问题的时候，我们可以设未知数，列方程。将多个方程进行系数的变换，进行加减消元，得到我们所需要的含有未知数的的等式。</p><p>2、在平均数的循环题型中，我们可以将所有方程相加，得到所有未知数的和的倍数，然后求出所有未知数的和。再与所列的方程相比较，便可以分别求出各个未知数。</p><p>3、分数比较大小时，我们常用的方法有以下几种：</p><p>A、通分：</p><p>通分母：化成分母相同的分数比较，分子小的分数小</p><p>通分子：化成分子相同的分数比较，分母小的分数大</p><p>B、比倒数：倒数大的分数小</p><p>C、与1相减比较法：</p><p>D、经典结论：＜</p><p>E、化成小数比较：小数比较大小的关键是小数点对齐，从高位比起</p><p>F、两数相处进行比较</p><!--分页--><p>9、【14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】</p><p>方格中的图形符号"◇"，"○"，""，"☆"代表填入方格中的数，相同的符号表示相同的数。如图所示，若第一列，第三列，第二行，第四行的四个数的和分别为36，50，41，37，则第三行的四个数的和为。</p><p>10、【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】</p><p>从4个整数中任意选出3个，求出它们的平均值，然后再求这个平均值和余下1个数的和，这样可以得到4个数：4、6、和，则原来给定的4个整数的和为（）。</p><p>小李应聘某公司主任职位时，要根据下表回答主任的月薪是多少，请你来回答这个问题。</p><p>12、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛】</p><p>对于大于零的分数，有如下4个结论：</p><p>1.两个真分数的和是真分数；</p><p>2.两个真分数的积是真分数；</p><p>3.一个真分数与一个假分数的和是一个假分数；</p><p>4.一个真分数与一个假分数的积是一个假分数。</p><p>其中正确结论的编号是（）</p><p>13、【第13届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】</p><p>14、【第12届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛初赛】</p><p>如图，某公园有两段路，AB＝175米，BC＝125米，在这两段路上安装路灯，要求A、B、C三点各设一个路灯，相邻两个路灯间的距离都相等，则在这两段路上至少要安装路灯（ ）个。</p><p>15、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】</p><p>六个分数的和在哪两个连续自然数之间？</p><p>16、【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】</p><p>在大于2023的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有（）个。</p><p>17、【第14届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛】</p><p>在19，197，2023这三个数中，质数的个数是（）。</p><p>（A）0（B）1（C）2 （D）3</p><p>18、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】</p><p>某班学生要栽一批树苗。若每个人分配k棵树苗，则剩下20棵；若每个学生分配9棵树苗，则还差3棵。那么k=</p><p>19、【第14届"华罗庚金杯"少年数学邀请赛决赛B卷】</p><p>已知三个合数A，B，C两两互质，且A×B×C=2023×28×11，那么A+B+C的最小值为。</p><p><strong>真题答案：</strong></p><p><strong>1、答案：2</strong></p><p><strong></strong>3×2023＝3×6×2023＝3×6×2023÷4＝9/2×2023，分子分母对应都是2倍</p><p><strong>2、答案：B</strong></p><p>原式＝＝＝2</p><p><strong>3、答案：</strong></p><p><strong></strong>×0.63＝5 ×0.63＝＝＝</p><p><strong>4、答案：16</strong></p><p>(105×95＋103×97)－(107×93+lOl×99)</p><p>=（100+5）×（100-5）+（100+3）×（100-3）-</p><p>（100+7）×（100-7）-（100+1）×（100-1）</p><p>=2023-52+2023-32-2023+72-2023+12</p><p>=16</p><p><strong>5、答案：19</strong></p><p><strong></strong></p><p><strong></strong>∴a+b+c+d＝2+3+5+9＝19</p><p><strong>6、答案：37</strong></p><p>假定百位以上为a,则该数为a03,乘以2后变成b06(b=2a)</p><p>而两个1+2+3+...+n=n(n+1)/2,因此有n(n+1)=b06</p><p>两个相邻数相乘末位是6的只有7*8和2*3.</p><p>首先看7*8:</p><p>假定n的十位是c，则有c7*c8=b06，而c7*c8的十位是由8c+5+7c=15c+5的个位得来的。</p><p>显然，要使其个位为0，只需要让c为奇数即可。再来看百位，由于b=2a，因此b的个位（即n(n+1)的百位）</p><p>必定是偶数。c7*c8的百位为：c^2加上15c+5除以10后的商。由于c是奇数，c^2也是奇数，因此必须保证15c+5除以10的商为奇数。显然c最小取3可以达到要求（15*3+5=50)。此时有37*38=2023，n=37</p><p>再来看2*3:</p><p>假定n的十位是c，则有c2*c3=b06，而c2*c3的十位是由2c+3c=5c的个位得来的。</p><p>显然，要使其个位为0，只需要让c为偶数即可。c2*c3的百位为：c^2加上5c除以10后的商。由于c是偶数，c^2也是偶数，因此必须保证5c除以10的商为偶数。显然c最小取4可以达到要求（5*4=20)。此时有42*43=2023,n=42</p><p>所以最小的n值就是37。</p><p><strong>7、答案：9</strong></p><p>原式＝10－(1/2＋1/4＋1/8＋……＋1/2023)＝10－2023/2023＝9又1/2023</p><p>（1/2+1/4=3/4，3/4+1/8=7/8，7/8+1/16=15/16，……递推往后相加1/2＋1/4＋1/8＋……＋1/2023＝2023/2023）</p><p><strong>8、答案：65/81</strong></p><p>先求剩下的（1－1/3）×（1－1/3）×（1－1/3）×（1－1/3）=16/81</p><p>喝了1－16/81＝65/81</p><p><strong>9、答案：33</strong></p><p>方格中的图形符号"◇","○","","☆"代表填入方格中的数,相同的符号</p><p>表示相同的数.如图所示,若第一列,第三列,第二行,第四行的四个数的和分别为36,50,41,37,则第三行的四个数的和为33.(方程解法)</p><p>3◇+○=36</p><p>2+2○=50</p><p>3○+☆=41</p><p>3◇+=37</p><p>解得=13,○=12,◇=8,☆=5</p><p>则第三行的四个数的和为33。</p><p><strong>10、答案：10</strong></p><p>设四个数分别为a、b、c、d，则得到的4个数分别是</p><p>（a+b+c)÷3+d=4</p><p>（a+b+d)÷3+c=6</p><p>（a+c+d)÷3+b=16/3</p><p>（b+c+d)÷3+a=14/3</p><p>整理一下，得</p><p>a+b+c+3d=12</p><p>a+b+d+3c=18</p><p>a+c+d+3b=16</p><p>b+c+d+3a=14</p><p>四式相加，得</p><p>6（a+b+c+d）=60</p><p>a+b+c+d=10</p><p>答：原来给定的4个整数的和是10</p><p><strong>11、答案：2023</strong></p><p>会计＋出纳=2023</p><p>出纳＋秘书=2023</p><p>秘书＋主管=2023</p><p>主管＋主任=2023</p><p>主任＋会计=2023</p><p>五个式子相加后除以2可得：</p><p>会计＋出纳＋秘书＋主管＋主任=2023</p><p>再减去第一个和第三个式子，可得主任月薪为：</p><p>2023-2023=2023元</p><p><strong>12、答案：2、3</strong></p><p>①1/2+1/2=1;④2/5×3/2＝3/5</p><p><strong>13、答案：D</strong></p><p>这道题很简单，即分数比较大小，可以先比较ab的大小，它们有共同部分，只看不同部分，而且"对于小于1的分数，当分子和分母的差一样的情况下，分母越大，分数越大"，记住这个性质非常容易解决。</p><p><strong>14、答案：11</strong></p><p>175与125的最大公约数为25，所以取25米为两灯间距，175＝25×7，125＝25×5，AB段应按7盏灯，BC段应按5盏灯，但在B点不需重复按灯，故共需安装7+5－1＝11（盏）</p><p><strong>15、</strong></p><p><strong>16、答案：22个</strong></p><p>N=57n+n=58n>2023，其中n<57,</p><p>n>34</p><p>故34<n<57</p><p>n可能取到的值有57-34-1=22个</p><p><strong>17、答案：C</strong></p><p>19是常见的质数，197容易检验知也是质数，本题主要是考察2023这个数是否是质数。实际上，2023=7×41，是个合数，所以在19，197，2023这三个数中有2个质数。正确答案为C</p><p><strong>18、答案：8</strong></p><p>设有n个人，则可列方程9n-3=kn+20</p><p>移项：(9-k)n=23</p><p>注意到23是个质数，而n，k都要是整数，且n不等于1（不止一个学生），所以n=23，9-k=1，所以k=8</p><p><strong>19、答案：222</strong></p><p>A×B×C=20231×28=4×7×7×11×11×13</p><p>因为两两互质，三个数的乘积一定,当三个数靠近时甚至相等时,三个数的和最小</p><p>所以A=4×13,B=7×7,C=11×11(A，B，C的值可交换）</p><p>所以A+B+C的最小值为52+49+121=222</p>
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