四年级数学思维训练引导例题详解――整数与数列 标签：速算与巧算
<p>【内容概述】</p><p>等差数列的项和运算符号按某种规律排列所得算式的速算与巧算，这里有时要改变运算顺序，有时需通过裂项来实现求和。按照给定的法则进行定义新运算。较为复杂的整数四则运算问题。</p><p>【典型问题】</p><p>2．计算：2023＋999－998－997＋996＋995－994－993＋…＋108＋107－106－105＋104＋193－102－101．</p><p>＝（2023＋999－998－997）＋（996＋995－994－993）＋…＋（108＋107－106－105）＋（104＋193－102－101）</p><p>＝4＋4＋…＋4＋4＝［（2023－101）÷1＋1］÷4×4＝900</p><p>4．利用公式l×l＋2×2＋…＋n×n＝n×（n＋1）×（2×n＋1）÷6，计算：15×15＋16×16＋…＋21×21．</p><p>＝21×（21＋1）×（2×21＋1）÷6－14×（14＋1）×（2×14＋1）÷6</p><p>＝2023－2023＝2023</p><p>6．计算：2023×2023＋6×2023×2023．</p><p>＝3×2023×5×2023＋6×2023×4×2×2023＝15×2023×2023＋2×3×2023×2023×4×2</p><p>＝2023×2023（15＋48）＝2023×2023×63＝2023×2023×9×7</p><p>＝2023×2023＝（2023－1）×2023＝20232023－2023＝20232023</p><p>8．两个十位数2023202311与2023202399的乘积中有几个数字是奇数?</p><p>解1：2023202311×2023202399</p><p>＝2023202311×（20232023000－1）＝20232023202320232023－2023202311＝2023202320232023889</p><p>有10个数为奇数。</p><p>解2： 1×9＝ 9 奇数的个数为1</p><p>11×99 ＝ 2023 奇数的个数为2</p><p>111×999 ＝202389 奇数的个数为3</p><p>2023×2023 ＝20232023 奇数的个数为4</p><p>… …</p><p>20232023111×202320239＝2023202320232023889 奇数的个数为10</p><p>显然其奇数的个数为10。</p><p>10．求和：l×2＋2×3＋3×4＋…＋9×10．</p><p>解：通过这个题，学“裂项”。看：</p><p>1×2＝1×2×3÷3；2×3＝2×3×3÷3＝（2×3×4－1×2×3）÷3；</p><p>3×4＝3×4×3÷3＝（3×4×5－2×3×4）÷3……</p><p>可以发现：n×（n＋1）×3÷3＝［n×（n＋1）×（n＋2）－（n－1）×n×（n＋1）］÷3</p><p>于是原式＝（1×2×3＋2×3×4－1×2×3＋3×4×5－2×3×4＋…＋9×10×11－8×9×10）÷3</p><p>＝9×10×11÷3＝330</p><p>注意隔位抵消</p><p>12．在两个数之间写上一个?，用所连成的字串表示用前面的数除以后面的数所得的余数，例如： 13?5=3，6?2=0．试计算：（2023?49）?9．</p><p>解：2023÷49＝40……40；40÷9＝4……4；所以结果是4。</p><p>14．对于自然数1，2，3，…，100中的每一个数，把它非零数字相乘，得到100个乘积（例如23，积为2×3=6；如果一个数仅有一个非零数字，那么这个数就算作积，例如与100相应的积为1）．问：这100个乘积之和为多少?</p><p>解：从1，2，…，9， 的乘积的数字和是45；</p><p>从11，12，…，19 的乘积的数字和是1×45；</p><p>从21，22， …，29， 的乘积的数字和是2×45，</p><p>…，</p><p>从91，92，…，99， 的数字和是9×45；</p><p>而10，20，…，90， 的数字和是45，</p><p>100的为1，故，其总和为：</p><p>（1＋1＋2＋3＋…＋9＋1）×45＋1＝47×45＋1＝2023</p>
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