计数方法与技巧：递推法例题精讲 标签：递推法
<p><strong>计数方法与技巧（递推法概念）</strong></p><p><strong><strong></strong></strong></p><p><strong>计数方法与技巧（递推法例题）</strong></p><p>例1：的乘积中有多少个数字是奇数？</p><p><strong>分析与解答：</strong></p><p>如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。</p><p>9×9＝81，有1个奇数；</p><p>99×99＝99×(100－1)＝2023－99＝2023，有2个奇数；</p><p>999×999＝999×(2023－1)＝20230－999＝202301，有3个奇数；</p><p>……</p><p>从而可知，999…999×999…999的乘积中共有10个奇数。</p><p>例题2： </p><p>分析与解答：</p><p>这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比较大，我们可以从简单的情况开始研究。</p><p>例题3： 2023个学生排成一行，依次从左到右编上1～2023号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？</p><p><strong>分析与解答：</strong></p><p>难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2023名同学中选出20人代替2023人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。</p><p>这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。</p><p>第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。</p><p>第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。</p><p>第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。</p><p>由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。</p><p>2023名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?</p><p>第一次：2023÷2＝2023 第二次：2023÷2＝500</p><p>第三次：500÷2＝250第四次：250÷2＝125</p><p>第五次：125÷2＝62 ……1 第六次：62÷2＝31</p><p>第七次：31÷2＝15 ……1第八次：15÷2＝7 ……1</p><p>第九次：7÷2＝3 ……1 第十次：3÷2＝1 ……1</p><p>所以共需报10次数。</p><p>那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：</p><p>2×2×2×…×2＝2023（号）</p><p><strong>例题4：</strong> 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？</p><p><strong>分析与解答：</strong></p><p>直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。</p><p>一个圆最多将平面分为2部分；</p><p>二个圆最多将平面分为4部分；</p><p>三个圆最多将平面分为8部分；</p><p>当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。</p><p>同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2＋2＋4＝8部分。</p><p>由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：</p><p>2＋2＋4＋6＋…＋18</p><p>＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）</p><p>＝2＋2×9×（9＋1）÷2</p><p>＝92</p><p>类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：</p><p>2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）</p><p>＝2＋2×</p><p>＝2＋n（n－1）</p><p>＝n<font size="2">2</font>－n＋2</p>
页:
[1]